高二数学第五讲 等比数列的性质

等比数列的性质
【知识要点】
1. 等比数列的性质
（1）{}n a 成等比数列，若q p n m +=+，则q p n m a a a a ⋅=⋅（其中*∈N q p n m ,,,）. （2）若*∈N n m ,，则n m n m q a a -⋅=；
（3）若{}n a ，{}n b 成等比数列，则{}{}⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⋅n n n n n b a b a ka ,,也成等比数列.
（4）若公比为q ，则⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是以q 1
为公比的等比数列；
（5）有n 3项的等比数列，前n 项和、中间n 项和、后n 项和也构成等比数列．
（6）在等比数列中，当10,1a q >>或10,01<<<q a 时，等比数列是递增的；当10,01<<>q a 或1,01><q a 时，等比数列是递减的．
（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等于首末两项之积，特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方，即12131n n n a a a a a a a --⋅=⋅=⋅=
=2
中
. （8）若k p n m k p n m a a a a a a a a k p n m N k p n m ,,,,,,,,,其中则且⋅=⋅+=+∈*是数列中的项，特别地，当p n m 2=+时，有2m n p a a a ⋅=.类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应注意等式两边下标和相等，也应要求等式两边作积的项数应是一样多的．
（9）在等比数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等比数列．一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂，一个等比数列的偶数项，也组成一个等比数列，新公比是原公比的二次幂．
（10）等比数列{}n a n 前项和（均不为零）构成等比数列，即 ,,,232n n n n n S S S S S --构成等比数列且公比为n q .
（11）前n 项和公式，一定要分11≠=q q 与两种情况.
【典例分析】
例1.设{}n a 是公比为q 的等比数列，n S 使它的前n 项和，若{}n S 是等差数列，则q
= .
例2.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比为1≠q ，且(),,,3,2,10n i b i =>若111111,b a b a ==，则（ ）
（A ）66b a =
（B ）66b a > （C ）66b a < （D ）6666b a b a <>或
例3.在等比数列{}n a 中，若,30,341551=-=+a a a a 若则3a 等于 （ ）
A.8
B.-8
C.8±
D.16
例4.在等比数列{}n a 中，设前n 项的和为n S ，则()n n n n n S S S y S S x 322
22
,+=+=的大小关系是（ ）
A.y x >
B. y x =
C. y x < D .不确定
例5.数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且对任意自然数n 总有()1n n S p a =-().1,0≠≠p p p 为常数，且
（1） 求数列{}n a 的通项公式；
（2） 数列{}n b 中，()p b a b a q q n b n 求，且有是常数,,22211<=+=的取值范围.
例6.n a a a ,,,21 为各项都大于零的等比数列，公比为1≠q ，则 （ ） A.5481a a a a +>+ B.5481a a a a +<+
C.5481a a a a +=+
D. 的大小不确定与5481a a a a ++ 例7.在等比数列{}n a 中，已知5127=a a ，则=111098a a a a .
例8.在等比数列{}n a 中，已知3000,4,31>==n s q a 则使的最小自然数=n . 例9.设{}n a 为等比数列，(),21121n n n a a a n na T +++-+=- 已知4,121==T T . （1）求数列{}n a 的首项和公比； （2）求数列{}n T 的通项公式.
例10.已知数列{}n a ，[()]n
n n a 12---=求10S ，若求99S 呢？
【经典练习】
1.若数列n a 是等比数列，下列命题正确的个数为 （ ）
n n a a 22
,是等比数列；
ln n a 成等差数列；
n n
a a ,1
成等比数列； ()0,≠±k k a ca n n 成等比数列
A.5
B.4
C.3
D.2
2.若{}n a 是等比数列，且252,0645342=⋅+⋅+->a a a a a a a n ，那么53a a +的值等于 （ ） A.1 B.5 C.10 D.15
3.已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，其公比为1≠q ，且()111111,,3,2,10b a b a n i b i ===>若 ，则（ ）
A. 66b a =
B. 66b a >
C. 66b a <
D. 66b a >或66b a <
4.已知某数列前n 项和为3n ，且前n 个偶数项的和为()342+n n ，则前n 个奇数项的和为（ ）
A .()132+-n n
B .()342-n n
C .23n - D.32
1n
5.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若5631323109,log log a a a log a a ⋅=+++=则（ ）
A.12
B.10
C.8
D.5log 23+
6.已知正项等比数列{}n a 的项数为偶数，它的所有项之和等于它的偶数项之和的4倍，第二项与第四项之积是第三项与第四项之和的9倍，求使数列{}n a lg 的前n 项和最大的n 的值.
7.数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知() ,3,2,12
,111=+=
=+n S n
n a a n n ，证明：
（Ⅰ）数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 是等比数列
（Ⅱ）n n a S 41=+
8.在等比数列{}n a 中，()*+∈<==+N n a a a a a a n n 14361,32,33且. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若n n a a a T lg lg lg 21+++= ，求n T 的最大值及此时n 的值．
9.若公比为c 的等比数列{}n a 的首项,11=a 且满足() ,4,32
2
1=+=--n a a a n n n . （Ⅰ）求c 的值；
（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n S .
10.已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且231,,a a a 成等差数列．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{}n b是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为n s．当2≥n时，比较n S 与
b的大小，并说明理由．
n
11.已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求这个数列的公比和项数．。