【备考2014】2013高考数学 (真题 模拟新题分类汇编) 解析几何 文

解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
21．B12，H1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 2e －x
. (1)求f(x)的极小值和极大值；
(2)当曲线y ＝f(x)的切线l 的斜率为负数时，求l 在x 轴上截距的取值范围． 21．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．
f ′(x)＝－e －x
x(x －2)．①
当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0； 当x∈(0，2)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，0)，(2，＋∞)单调递减，在(0，2)单调递增．
故当x ＝0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)＝0；当x ＝2时，f(x)取得极大值，极大
值为f(2)＝4e －2
.
(2)设切点为(t ，f(t))，则l 的方程为 y ＝f′(t)(x－t)＋f(t)． 所以l 在x 轴上的截距为
m(t)＝t －
f （t ）f′（t ）＝t ＋t t －2＝t －2＋2
t －2
＋3.
由已知和①得t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)．
令h(x)＝x ＋2
x (x≠0)，则当x∈(0，＋∞)时，h(x)的取值范围为[2 2，＋∞)；当x∈(－
∞，－2)时，h(x)的取值范围是(－∞，－3)．
所以当t∈(－∞，0)∪(2，＋∞)时，m(t)的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)． 综上，l 在x 轴上的截距的取值范围是(－∞，0)∪[2 2＋3，＋∞)．
5．H1，H4[2013·天津卷] 已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2
＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )
A ．－1
2 B ．1
C ．2 D.1
2
5．C [解析] 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y －2＝k(x －2)，由题意得|k －2|1＋k
2
＝5，
解之得k ＝－1
2
.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a＝2.
15．H1，C8，E8[2013·四川卷] 在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________．
15．(2，4) [解析] 在以A ，B ，C ，D 为顶点构成的四边形中，由平面几何知识：三角形两边之和大于第三边，可知当动点落在四边形两条对角线AC ，BD 交点上时，到四个顶点的距离之和最小．AC 所在直线方程为y ＝2x ，BD 所在直线方程为y ＝－x ＋6，交点坐标为(2，4)，即为所求．
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离
20．H2，H4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.
(1)求圆心P 的轨迹方程；
(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为
2
2
，求圆P 的方程． 20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.
由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2
＋3.
故P 点的轨迹方程为y 2－x 2
＝1. (2)设P(x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2
＝2
2. 又P 点在双曲线y 2
－x 2
＝1上，从而得⎩
⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，
y 20－x 20＝1.
由⎩⎪⎨⎪
⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0
＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.
故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2
＝3.
4．H2、H3和H4[2013·重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2
＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.
H3 圆的方程
14．H3[2013·江西卷] 若圆C 经过坐标原点和点(4，0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________．
14．(x －2)2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322
＝254 [解析] r 2＝4＋(r －1)2
，得r ＝52，圆心为⎝
⎛⎭⎪⎫2，－32.故圆C
的方程是(x －2)2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋322
＝25
4.
21．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝
2
2
，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．
图1－5
21．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2
a 2
＋22
b 2＝1，从而e 2
＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2
＝b 2
1－e 2＝16.
故该椭圆的标准方程为x 2
16＋y
2
8
＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2
＝(x －x 0)2
＋y 2
＝x 2
－2x 0x ＋x 20
＋8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
16 ＝12
(x －2x 0)2－x 2
0＋8(x∈[－4，4])． 设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，
又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 2
0.
由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以
S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝1
2
×2 8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
116|x 0|＝
2（4－x 2
0）x 2
0＝2－（x 2
0－2）2
＋4.
当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2.
此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 2
0＝6，因此，这样的圆有
两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2
＝6.
4．H2、H3和H4[2013·重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2
＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.
H4 直线与圆、圆与圆的位置关系
6．H4[2013·安徽卷] 直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2
＋y 2
－2x －4y ＝0截得的弦长为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．4 6
6．C [解析] 圆的标准方程是(x －1)2＋(y －2)2
＝5，圆心(1，2)到直线x ＋2y －5＋5＝
0的距离d ＝1，所以直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0所截得的弦长l ＝2r 2－d 2
＝4.
7．H4[2013·广东卷] 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2
＝1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x ＋y ＋1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋2＝0
7．A [解析] 设直线方程为y ＝－x ＋m ，且原点到此直线的距离是1，即1＝m 2，解得m
＝± 2.当m ＝－2时，直线和圆切于第Ⅲ象限，故舍去，选A.
14．H4[2013·湖北卷] 已知圆O ：x 2＋y 2
＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2.
设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________．
14．4 [解析] 圆心到直线的距离d ＝1，r ＝5，r －d>d ，所以圆O 上共有4个点到直
线的距离为1，k ＝4.
10．H4[2013·江西卷] 如图1－3所示，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y ＝f(t)的图像大致为( )
图1－3
图1－4
10.
B [解析] 如图，设∠MOA＝α，cos α＝1－t ，cos 2α＝2cos 2
α－1＝2t 2
－4t ＋1，
x ＝2α·1＝2α，y ＝cos x ＝cos 2α＝2t 2
－4t ＋1，故选B.
20．H2，H4[2013·新课标全国卷Ⅱ] 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为2 2，在y 轴上截得线段长为2 3.
(1)求圆心P 的轨迹方程；
(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为
2
2
，求圆P 的方程． 20．解：(1)设P(x ，y)，圆P 的半径为r.
由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2.从而y 2＋2＝x 2
＋3.
故P 点的轨迹方程为y 2－x 2
＝1. (2)设P(x 0，y 0)，由已知得 |x 0－y 0|2
＝2
2. 又P 点在双曲线y 2
－x 2
＝1上，从而得⎩
⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，
y 20－x 20＝1.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝0，
y 0＝－1. 此时，圆P 的半径r ＝ 3.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1， 此时，圆P 的半径r ＝ 3.
故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2
＝3.
13．H4[2013·山东卷] 过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2
＝4的弦，其中最短弦的长为________．
13．2 2 [解析] 设弦与圆的交点为A 、B ，最短弦长以(3，1)为中点，由垂径定理得⎝ ⎛⎭
⎪⎫
|AB|22
＋(3－2)2
＋(2－1)2
＝4，解之得|AB|＝2 2.
8．H4[2013·陕西卷] 已知点M(a ，b)在圆O ：x 2
＋y 2
＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定
8．B [解析] 由题意点M(a ，b)在圆x 2＋y 2＝1外，则满足a 2＋b 2
>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b
2
<1，故直线ax ＋by ＝1与圆O 相交． 5．H1，H4[2013·天津卷] 已知过点P(2，2)的直线与圆(x －1)2＋y 2
＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )
A ．－1
2 B ．1
C ．2 D.1
2
5．C [解析] 设过点P(2，2)的圆的切线方程为y －2＝k(x －2)，由题意得|k －2|1＋k
2
＝5，
解之得k ＝－1
2
.又∵切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a＝2.
20．H4，E8，B1[2013·四川卷] 已知圆C 的方程为x 2
＋(y －4)2
＝4，点O 是坐标原点．直
线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．
(1)求k 的取值范围；
(2)设Q(m ，n)是线段MN 上的点，且2|OQ|2＝1|OM|2＋1
|ON|2.请将n 表示为m 的函数．
20．解：(1)将y ＝kx 代入x 2
＋(y －4)2
＝4，得
(1＋k 2)x 2
－8kx ＋12＝0.(*)
由Δ＝(－8k)2－4(1＋k 2)×12>0，得k 2
>3.
所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3＋∞)．
(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则
|OM|2＝(1＋k 2)x 21，|ON|2＝(1＋k 2)x 2
2.
又|OQ|2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2
， 由
2|OQ|2＝1|OM|2＋1|ON|
2，得 2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22， 即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2
－2x 1x 2x 21x 2
2
. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2，x 1x 2＝121＋k 2，
所以m 2
＝365k 2－3
.
因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝n m ，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2
＝36.
由m 2
＝
365k 2
－3
及k 2>3，可知0<m 2
<3，即m∈(－3，0)∪(0，3)． 根据题意，点Q 在圆C 内，则n>0， 所以n ＝
36＋3m 2
5＝15m 2
＋180
5
. 于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2
＋180
5
(m∈(－3，0)∪(0，3))．
13．H4[2013·浙江卷] 直线y ＝2x ＋3被圆x 2
＋y 2
－6x －8y ＝0所截得的弦长等于________．
13．4 5 [解析] 圆的标准方程为(x －3)2
＋(y －4)2
＝25，圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|5
＝5，所以弦长为252－（5）2
＝220＝4 5. 4．H2、H3和H4[2013·重庆卷] 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2
＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
4．B [解析] |PQ|的最小值为圆心到直线距离减去半径．因为圆的圆心为(3，－1)，半径为2，所以|PQ|的最小值d ＝3－(－3)－2＝4.
H5 椭圆及其几何性质
21．H5，H10[2013·安徽卷] 已知椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(2，
3)．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)设Q(x 0，y 0)(x 0y 0≠0)为椭圆C 上一点，过点Q 作x 轴的垂线，垂足为E ，取点A(0，22)，联结AE ，过点A 作AE 的垂线交x 轴于点D ，点G 是点D 关于y 轴的对称点，作直线QG ，问这样作出的直线QG 是否与椭圆C 一定有唯一的公共点？并说明理由．
21．解：(1)因为焦距为4，所以a 2－b 2
＝4.又因为椭圆C 过点P(2，3)，所以2a 2＋3b 2＝
1，故a 2
＝8，b 2
＝4，
从而椭圆C 的方程为x 2
8＋y
2
4
＝1.
(2)由题意，E 点坐标为(x 0，0)，设D(x D ，0)，则AE →＝(x 0，－22)，AD →
＝(x D ，－22)． 再由AD⊥AE 知，AE →·AD →
＝0，即x 0x D ＋8＝0.由于x 0y 0≠0，故x D ＝－8x 0.
因为点G 是点D 关于y 轴的对称点，所以G 8
x 0，0，
故直线QG 的斜率k QG ＝y 0x 0－
8x 0
＝x 0y 0
x 20－8.
又因Q(x 0，y 0)在椭圆C 上，所以x 2
0＋2y 2
0＝8.① 从而k QG ＝－x 0
2y 0
.
故直线QG 的方程为y ＝－x 02y 0x －8
x 0
.②
将②代入椭圆C 方程，得(x 2
0＋2y 2
0)x 2
－16x 0x ＋64－16y 2
0＝0.③
再将①代入③，化简得x 2－2x 0x ＋x 2
0＝0，
解得x ＝x 0，y ＝y 0，即直线QG 与椭圆C 一定有唯一的公共点．
19．M2，H5，H10[2013·北京卷] 直线y ＝kx ＋m(m≠0)与椭圆W ：x 2
4＋y 2
＝1相交于A ，C
两点，O 是坐标原点．
(1)当点B 的坐标为(0，1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长；
(2)当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形．
19．解：(1)因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．
所以可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12，代入椭圆方程得t 2
4＋14＝1，即t ＝± 3. 所以|AC|＝2 3.
(2)证明：假设四边形OABC 为菱形．
因为点B 不是W 的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.
由⎩⎪⎨⎪⎧x 2
＋4y 2
＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得
(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2
－4＝0. 设A(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)，则
x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k·x 1＋x 22＋m ＝m
1＋4k
2. 所以AC 的中点为M ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2. 因为M 为AC 和OB 的交点，且m≠0，k≠0，所以直线OB 的斜率为－1
4k
.
因为k·⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14k ≠－1，所以AC 与OB 不垂直． 所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．
所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．
15．H5[2013·全国卷] 若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x≥0，x ＋3y≥4，3x ＋y≤4，则z ＝－x ＋y 的最小值为
________．
15．0 [解析] 已知不等式组表示区域如图中的三角形ABC 及其内部，目标函数的几何意义是直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，显然在点A 取得最小值，点A(1，1)，故z min ＝－1＋1＝0.
8．H5[2013·全国卷] 已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB|＝3，则C 的方程为( )
A.x 2
2＋y 2
＝1 B.x 2
3＋y 2
2＝1 C.x 2
4＋y 2
3＝1 D.x 2
5＋y
2
4
＝1 8．C [解析] 设椭圆C 的方程为x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，与直线x ＝1联立得y ＝±b
2
a (c ＝1)，
所以2b 2
＝3a ，即2(a 2
－1)＝3a ，2a 2
－3a －2＝0，a>0，解得a ＝2(负值舍去)，所以b 2
＝3，故所求椭圆方程为x 2
4＋y
2
3
＝1.
15．H5，H8[2013·福建卷] 椭圆Γ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦
距为2c.若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．
15.3－1 [解析] 如图，△MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝60°，所以∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°.又|F 1F 2|＝2c ，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c.根据椭圆定义得2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ，得e ＝c a ＝23＋1
＝3－1. 9．H5[2013·广东卷] 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F(1，0)，离心率等于1
2，则
C 的方程是( )
A.x 23＋y 24＝1
B.x 24＋y
23
＝1 C.x 2
4＋y 2
2＝1 D.x 2
4＋y
2
3
＝1 9．D [解析] 设椭圆C 的标准方程为x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，由题知
c ＝1，c a ＝1
2，解得a ＝2，
b 2
＝a 2
－c 2
＝4－1＝3，选D.
12．H5[2013·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>0，
b>0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．
12.33 [解析] 由题意知F(c ，0)，l ：x ＝a 2
c ，不妨设B(0，b)，则直线BF ：x c ＋y
b ＝1，
即bx ＋cy －bc ＝0.
于是d 1＝|－bc|b 2＋c
2
＝bc
a ， d 2＝a 2
c －c ＝a 2
－c 2
c ＝b
2
c
.
由d 2＝6d 1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2
c 2＝6⎝ ⎛⎭
⎪⎫bc a 2
，
化简得6c 4
＋a 2c 2
－a 4
＝0，
即6e 4＋e 2
－1＝0，
解得e 2＝13或e 2
＝－12(舍去)，
故e ＝
33，故椭圆C 的离心率为33
. 20．H5，H8[2013·江西卷] 椭圆C ：x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝3
2，a ＋b ＝3.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图1－8所示，A ，B ，D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意一点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m.
证明：2m －k 为定值．
图1－8
20．解：(1)因为e ＝32＝c a
， 所以a ＝
23c ，b ＝
13
c ，代入a ＋b ＝3得，c ＝3，a ＝2，b ＝1，
故椭圆C 的方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)方法一：因为B(2，0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k(x －2)⎝
⎛⎭⎪⎫k≠0，k≠ ±12，① ①代入x 2
4＋y 2
＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2
－24k 2＋1
，－4k 4k 2＋1.
直线AD 的方程为y ＝1
2x ＋1.②
①与②联立解得M ⎝
⎛⎭
⎪
⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.
由D(0，1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2
－2
4k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N(x ，0)三点共线知
－
4k
4k 2
＋1－18k 2
－24k 2
＋1
－0＝0－1x －0，解得N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4k －22k ＋1，0.
所以MN 的斜率为m ＝4k
2k －1－04k ＋22k －1－
4k －22k ＋1＝4k （2k ＋1）2（2k ＋1）2－2（2k －1）2＝
2k ＋1
4
， 则2m －k ＝2k ＋12－k ＝1
2(定值)．
方法二：
设P(x 0，y 0)(x 0≠0，±2)，则k ＝
y 0
x 0－2
. 直线AD 的方程为：y ＝1
2(x ＋2)，
直线BP 的方程为：y ＝y 0
x 0－2
(x －2)，
直线DP 的方程为：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1可得N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－x 0y 0－1，0，
联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1
2（x ＋2），y ＝y
0x 0
－2（x －2），
解得M ⎝
⎛⎭
⎪
⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，
因此MN 的斜率为
m ＝4y 0
2y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋
x 0y 0－1＝4y 0（y 0－1）
4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 2
0＋4
＝
4y 0（y 0－1）4y 20－8y 0＋4x 0y 0－（4－4y 2
0）＋4＝y 0－1
2y 0＋x 0－2
. 所以2m －k ＝2（y 0－1）2y 0＋x 0－2－y 0
x 0－2
＝
2（y 0－1）（x 0－2）－y 0（2y 0＋x 0－2）
（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）
＝2（y 0－1）（x 0－2）－2y 2
0－y 0（x 0－2）（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）
＝2（y 0－1）（x 0－2）－12
（4－x 2
0）－y 0（x 0－2）
（2y 0＋x 0－2）（x 0－2）
＝1
2
(定值)． 11．H5[2013·辽宁卷] 已知椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线
相交于A ，B 两点，联结AF ，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos ∠ABF ＝4
5
，则C 的离心率为( )
A.35
B.57
C.45
D.67
11．B [解析] 设椭圆的右焦点为Q ，由已知|BF|＝8，利用椭圆的对称性可以得到|AQ|＝8，△FAQ 为直角三角形，然后利用椭圆的定义可以得到2a ＝14，2c ＝10，所以e ＝57
.
5．H5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设椭圆C ：x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )
A.
36 B.13
C.12
D.33
5．D [解析] 设PF 2＝x, 则PF 1＝2x ，由椭圆定义得3x ＝2a ，结合图形知，2a 32c ＝
3
3c a
＝3
3
，故选D. 22．H5，H8[2013·山东卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为
22
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)A ，B 为椭圆C 上满足△AOB 的面积为6
4
的任意两点，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P.设OP →＝tOE →
，求实数t 的值．
22．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2
a 2＋y
2
b
2＝1(a ＞b ＞0)，
故题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2
，
c a ＝2
2，
2b ＝2，
解得a ＝2，b ＝1，
因此椭圆C 的方程为x 22＋y 2
＝1.
(2)(i)当A ，B 两点关于x 轴对称时，
设直线AB 的方程为x ＝m ，由题意－2＜m ＜0或0＜m ＜ 2.
将x ＝m 代入椭圆方程x 22＋y 2
＝1，
得|y|＝
2－m
2
2
. 所以S △AOB ＝|m|
2－m 2
2＝6
4
. 解得m 2＝32或m 2
＝12
.①
又OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝1
2t(2m ，0)＝(mt ，0)，
因为P 为椭圆C 上一点， 所以（mt ）
2
2＝1.②
由①②得 t 2＝4或t 2
＝43
，
又因为t>0，所以t ＝2或t ＝2 3
3.
(ii)当A ，B 两点关于x 轴不对称时， 设直线AB 的方程为y ＝kx ＋h.
将其代入椭圆的方程x 2
2＋y 2
＝1，
得(1＋2k 2
)x 2
＋4khx ＋2h 2
－2＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．
由判别式Δ>0可得1＋2k 2>h 2
， 此时x 1＋x 2＝－4kh 1＋2k 2，x 1x 2＝2h 2
－2
1＋2k 2，
y 1＋y 2＝k(x 1＋x 2)＋2h ＝2h
1＋2k
2， 所以|AB|＝1＋k
2
（x 1＋x 2）2
－4x 1x 2＝
2 21＋k 2
1＋2k 2
－h
2
1＋2k 2
. 因为点O 到直线AB 的距离d ＝|h|1＋k
2
，
所以S △AOB ＝1
2
|AB|d
＝12×2 21＋k 2 1＋2k 2
－h 2
1＋2k 2
|h|1＋k
2
＝ 2 1＋2k 2
－h 2
1＋2k 2
|h|. 又S △AOB ＝
64
， 所以 2 1＋2k 2
－h 2
1＋2k 2
|h|＝6
4
.③ 令n ＝1＋2k 2
，代入③整理得3n 2
－16h 2
n ＋16h 4
＝0， 解得n ＝4h 2
或n ＝43
h 2，
即1＋2k 2＝4h 2或1＋2k 2
＝43
h 2.④
又OP →＝tOE →＝12t(OA →＋OB →)＝12t(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kht 1＋2k 2，ht 1＋2k 2， 因为P 为椭圆C 上一点，
所以t 2
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫－2kh 1＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫h 1＋2k 22＝1，
即h 2
1＋2k
2t 2
＝1.⑤ 将④代入⑤得t 2＝4或t 2
＝43，又知t>0，
故t ＝2或t ＝2 3
3，
经检验，适合题意．
综合(i)(ii)得t ＝2或t ＝2 3
3
.
20．H5，H8[2013·陕西卷] 已知动点M(x ，y)到直线l ：x ＝4的距离是它到点N(1，0)的距离的2倍．
(1)求动点M 的轨迹C 的方程；
(2)过点P(0，3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点．若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．
20．解： (1)设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN|. 由此得|4－x|＝2（x －1）2
＋y 2
.
化简得x 24＋y
23＝1，
所以，动点M 的轨迹方程为x 2
4＋y
2
3
＝1.
(2)方法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．
将y ＝kx ＋3代入x 2
4＋y 2
3＝1中，有(3＋4k 2)x 2
＋24kx ＋24＝0，
其中，Δ＝(24k)2
－4×24(3＋4k 2
)＝96(2k 2
－3)>0. 由求根公式得，x 1＋x 2＝－24k
3＋4k 2，①
x 1x 2＝24
3＋4k
2.②
又因A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1.③ 将③代入①，②，得 x 1＝－8k 3＋4k 2，x 2
1＝123＋4k
2，
可得⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22
＝123＋4k 2
，且k 2>32， 解得k ＝－32或k ＝32，
所以，直线m 的斜率为－32或3
2
.
方法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)． ∵A 是PB 的中点，
∴x 1＝x 2
2，①
y 1＝3＋y 2
2.②
又x 2
14＋y 2
1
3＝1，③ x 2
24＋y 22
3
＝1，④ 联立①，②，③，④解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0， 即点B 的坐标为(2，0)或(－2，0)， 所以，直线m 的斜率为－32或3
2
.
9．H5[2013·四川卷] 从椭圆x 2
a 2＋y
2
b 2＝1(a>b>0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点
F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB∥OP(O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A.24
B.12
C.
22 D.32
9．C [解析] 由已知，P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2
a ，A(a ，0)，B(0，b)，于是由k AB ＝k OP 得－
b a ＝
b
2
a －c ，整理得
b ＝
c ，从而a ＝b 2＋c 2
＝2c.于是，离心率e ＝c a ＝22
. 18．H5，H8[2013·天津卷] 设椭圆x 2
a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左焦点为F ，离心率为3
3，过点F
且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为4 3
3
.
(1)求椭圆的方程； (2)设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB →＋AD →·CB →
＝8，求k 的值．
18．解：(1)设F(－c ，0)，由c a ＝3
3，知a ＝3c.过点F 且与x 轴垂直的直线为x ＝－c ，
代入椭圆方程有（－c ）2
a 2
＋y 2
b 2＝1，解得y ＝±6b 3.于是2 6b 3＝4 33，解得b ＝ 2.又a 2
－c 2
＝b 2
，从而a ＝3，c ＝1，所以椭圆的方程为x 2
3＋y
2
2
＝1.
(2)设点C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，由F(－1，0)得直线CD 的方程为y ＝k(x ＋1)．
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23＋y 2
2
＝1消去y ，整理得(2＋3k 2)x 2＋6k 2x ＋3k 2
－6＝0.
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6k 2
2＋3k 2，x 1x 2＝3k 2
－6
2＋3k 2.因为A(－3，0)，B(3，0)，所
以AC →·DB →＋AD →·CB →
＝(x 1＋3，y 1)·(3－x 2，－y 2)＋(x 2＋3，y 2)·(3－x 1，－y 1)
＝6－2x 1x 2－2y 1y 2＝6－2x 1x 2－2k 2
(x 1＋1)(x 2＋1)
＝6－(2＋2k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)－2k 2
＝6＋2k 2
＋122＋3k
2.
由已知得6＋2k 2
＋12
2＋3k
2＝8，解得k ＝± 2.
21．H5、H9、H10[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知圆M ：(x ＋1)2
＋y 2
＝1，圆N ：(x －1)2
＋y 2
＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C.
(1)求C 的方程；
(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.
21．解：由已知得圆M 的圆心为M(－1，0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N(1，0)，半径r 2＝3.
设圆P 的圆心为P(x ，y)，半径为R.
(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM|＋|PN|＝(R ＋r 1)＋(r 2－R)＝r 1＋r 2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭
圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y
23＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C 上任意一点P(x ，y)，由于|PM|－|PN|＝2R －2≤2，所以R≤2，当且仅当
圆P 的圆心为(2，0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2
＝4.
若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB|＝2 3.
若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ， 则
|QP||QM|＝R
r 1
，可求得Q(－4，0)，所以可设l ：y ＝k(x ＋4)． 由l 与圆M 相切得
|3k|1＋k
2
＝1，解得k ＝±2
4
. 当k ＝24时，将y ＝24x ＋2代入x 2
4＋y 2
3＝1，并整理得7x 2
＋8x －8＝0，解得x 1，2＝
－4±6 27
， 所以|AB|＝1＋k 2
|x 2－x 1|＝187.
当k ＝－
24时，由图形的对称性得|AB|＝187
.
综上，|AB|＝2 3或|AB|＝18
7
.
9．H5，H6[2013·浙江卷] 如图1－4所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1与双曲线C 2的公
共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
图1－4
A. 2
B. 3
C.32
D. 62
9．D [解析] 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，
⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2
＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2
－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝6
2
，选择D.
21．F2、F3、H3、H5和H8[2013·重庆卷] 如图1－5所示，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝
2
2
，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A′两点，|AA′|＝4. (1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P′，过P ，P′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．
图1－5
21．解：(1)由题意知点A(－c ，2)在椭圆上，则（－c ）2
a 2
＋22
b 2＝1，从而e 2
＋4b 2＝1. 由e ＝22得b 2＝41－e 2＝8，从而a 2
＝b 2
1－e 2＝16.
故该椭圆的标准方程为x 2
16＋y
2
8
＝1.
(2)由椭圆的对称性，可设Q(x 0，0)，又设M(x ，y)是椭圆上任意一点，则
|QM|2
＝(x －x 0)2
＋y 2
＝x 2
－2x 0x ＋x 20
＋8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
16 ＝12
(x －2x 0)2－x 2
0＋8(x∈[－4，4])．
设P(x 1，y 1)，由题意，P 是椭圆上到Q 的距离最小的点，因此，上式当x ＝x 1时取最小值，
又因为x 1∈(－4，4)，所以上式当x ＝2x 0时取最小值，所以x 1＝2x 0，且|QP|2＝8－x 2
0.
由对称性知P′(x 1，－y 1)，故|PP′|＝|2y 1|，所以
S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝1
2
×2 8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
116|x 0|＝
2（4－x 2
0）x 2
0＝2－（x 2
0－2）2
＋4.
当x 0＝±2时，△PP′Q 的面积S 取到最大值2 2.
此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q(±2，0)，半径|QP|＝8－x 2
0＝6，因此，这样的圆有
两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2
＝6.
H6 双曲线及其几何性质
22．H6、H8、D3[2013·全国卷] 已知双曲线C ：x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.
(1)求a ，b ；
(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．
22．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2
＋b 2
a 2＝9，故
b 2＝8a 2
.
所以C 的方程为8x 2
－y 2
＝8a 2
. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2
＋12
.
由题设知，2
a 2＋12
＝6，解得a 2
＝1.
所以a ＝1，b ＝2 2.
(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2
＝8.①
由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，代入①并化简得(k 2
－8)x 2
－6k 2
x ＋9k 2
＋8＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2
k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8
k 2－8.
于是
|AF 1|＝（x 1＋3）2
＋y 2
1＝（x 1＋3）2
＋8x 2
1－8＝－(3x 1＋1)，
|BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 2
2－8＝3x 2＋1.
由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－2
3.
故6k 2
k 2－8＝－23，解得k 2
＝45，从而x 1x 2＝－199
. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2
＋y 2
1＝（x 1－3）2
＋8x 2
1－8＝1－3x 1，
|BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 2
2－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.
因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2
，
所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．
4．H6[2013·福建卷] 双曲线x 2－y 2
＝1的顶点到其渐近线的距离等于( ) A.12 B.22 C ．1 D. 2
4．B [解析] 取一顶点(1，0)，一条渐近线x －y ＝0，d ＝
12
＝
2
2
，故选B. 2．H6[2013·湖北卷] 已知0＜θ＜π4，则双曲线C 1：x 2
sin 2θ－y 2
cos 2θ＝1与C 2：y
2
cos 2θ－
x
2
sin 2
θ
＝1的( ) A ．实轴长相等 B ．虚轴长相等 C ．离心率相等 D ．焦距相等
2．D [解析] c 1＝c 2＝sin 2
θ＋cos 2
θ＝1，故焦距相等．
14．H6[2013·湖南卷] 设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y
2b 2＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C
上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．
14.3＋1 [解析] 如图，因PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，故|PF 2|＝1
2|F 1F 2|＝c ，则|PF 1|
＝3c ，又由双曲线定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即3c －c ＝2a ，故c a ＝2
3－1
＝3＋1.
3．H6[2013·江苏卷] 双曲线x 2
16－y
2
9＝1的两条渐近线的方程为________．
3．y ＝±34x [解析] 令x 2
16－y 29＝0，得渐近线方程为y ＝±3
4
x.
11．H6，H7[2013·山东卷] 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 2
3－y 2
＝1的右
焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )
A.
316 B.38 C.2 33 D.4 3
3
11．D [解析] 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，p 2，双曲线x 2
3－y 2
＝1的右焦
点坐标为(2，0)，连线的方程为y ＝－p
4(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p
4（x －2），y ＝1
2p x
2
得2x 2
＋p 2
x －2p 2
＝
0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12p x 2′错误!错误!＝错误!.又
∵双曲线x 2
3－y 2
＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入
2x 2＋p 2x －2p 2
＝0得，p ＝4 33
或p ＝0(舍去)．
11．H6[2013·陕西卷] 双曲线x 2
16－y
2
9
＝1的离心率为________．
11.54 [解析] 由双曲线方程中a 2＝16, b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2
＝25，则e ＝c a ＝54. 11．H6，H7[2013·天津卷] 已知抛物线y 2
＝8x 的准线过双曲线x 2
a 2－y
2
b
2＝1(a>0，b>0)的一
个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
11．x 2
－y 2
3
＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2
＝4，又∵双曲线的离
心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1.
7．A2，H6[2013·北京卷] 双曲线x 2
－y
2
m
＝1的离心率大于2的充分必要条件是( )
A ．m>1
2 B ．m ≥1
C ．m>1
D ．m>2
7．C [解析] 双曲线的离心率e ＝c
a
＝1＋m>2，解得m>1.故选C.
4．H6[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知双曲线C ：x 2
a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为5
2，
则C 的渐近线方程为( )
A ．y ＝±14x
B ．y ＝±1
3x
C ．y ＝±1
2x D ．y ＝±x
4．C [解析] 52＝c
a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
，所以b a ＝12，故所求的双曲线渐近线方程是y ＝±12x.
9．H5，H6[2013·浙江卷] 如图1－4所示，F 1，F 2是椭圆C 1：x 2
4＋y 2
＝1与双曲线C 2的公
共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．若四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )
图1－4
A. 2
B. 3
C.32
D. 62
9．D [解析] 设双曲线实半轴长为a ，焦半距为c ，|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ，由题意知c ＝3，
⎩
⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝（2c ）2
＝12，2mn ＝(m ＋n)2－(m 2＋n 2)＝4，(m －n)2＝m 2＋n 2
－2mn ＝8，2a ＝m －n ＝2 2，a ＝2，则双曲线的离心率e ＝c a ＝32＝6
2
，选择D.
10．E1、H6和H8[2013·重庆卷] 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，
所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤2 3
3，2 B.⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
2 33，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2 33
，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2 33，＋∞
10．A [解析] 设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的斜率b
a 必须满
足33<b a ≤3，所以13<⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤3，43<1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2≤4，即有23 3<
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
≤2.又双曲线的离心率
为e ＝c a
＝
1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a 2
，所以23 3<e ≤2.
H7 抛物线及其几何性质
9．H7[2013·北京卷] 若抛物线y 2
＝2px 的焦点坐标为(1，0)，则p ＝________；准线方程为________.
9．2 x ＝－1 [解析] ∵抛物线y 2
＝2px 的焦点坐标为(1，0)，∴p 2＝1，解得p ＝2，∴
准线方程为x ＝－1.
20．H7，H8[2013·福建卷] 如图1－5，抛物线E ：y 2
＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.
(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|；
(2)若|AF|2
＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径．
图1－5
20．解：(1)抛物线y 2
＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)， 所以点C 到准线l 的距离d ＝2，又|CO|＝5，
所以|MN|＝2 |CO|2－d 2
＝2 5－4＝2.
(2)设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2
04，y 0，则圆C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 2
042
＋(y －y 0)2＝y 4016＋y 20，即x 2－y 2
02x ＋y 2
－2y 0y ＝0.
由x ＝－1，得y 2
－2y 0y ＋1＋y 2
2
＝0.
设M(－1，y 1)，N(－1，y 2)，则
⎩
⎪⎨⎪⎧Δ＝4y 20－4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋y 202＝2y 2
0－4>0，
y 1y 2＝y 2
2
＋1.
由|AF|2
＝|AM|·|AN|，得|y 1y 2|＝4， 所以y 2
2
＋1＝4，解得y 0＝±6，此时Δ>0.
所以圆心C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6或⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，－6， 从而|CO|2
＝334，|CO|＝332，即圆C 的半径为332
.
20．H7，H8，H10[2013·广东卷] 已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c>0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为3 2
2，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，
PB ，其中A ，B 为切点．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)当点P(x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF|·|BF|的最小值． 20．解：
21．B12[2013·广东卷] 设函数f(x)＝x 3－kx 2
＋x(k∈R )． (1)当k ＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)当k<0时，求函数f(x)在[k ，－k]上的最小值m 和最大值M. 21．解：
9．H7[2013·江西卷] 已知点A(2，0)，抛物线C ：x 2
＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线
C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|∶|MN|＝( )
A ．2∶ 5
B ．1∶2
C ．1∶ 5
D ．1∶3
9．C [解析] FA ：y ＝－12x ＋1，与x 2
＝4y 联立，得x M ＝5－1，FA ：y ＝－12x ＋1，与y
＝－1联立，得N(4，－1)，由三角形相似知|FM||MN|＝x M 4－x M ＝1
5
，故选C.
10．H7[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设抛物线C ：y 2
＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF|＝3|BF|，则l 的方程为( )
A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1
B ．y ＝
33(x －1)或y ＝－3
3(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝
22(x －1)或y ＝－2
2
(x －1)
10．C [解析] 抛物线的焦点为F(1，0)，若A 在第一象限，如图1－5，设AF ＝3m ，BF ＝m.过B 作AD 的垂线交AD 于G ，则AG ＝2m ，由于AB ＝4m ，故BG ＝23m ，tan ∠GAB ＝ 3.∴直线AB 的斜率为 3.同理，若A 在第四象限，直线AB 的斜率为－3，故答案为C.
图1－5
11．H6，H7[2013·山东卷] 抛物线C 1：y ＝12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2：x 2
3－y 2
＝1的右
焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )
A.
316 B.38 C.2 33 D.4 3
3
11．D [解析] 抛物线C 1：y ＝12p x 2()p>0的焦点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，p 2，双曲线x 2
3－y 2
＝1的右焦
点坐标为(2，0)，连线的方程为y ＝－p
4(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p
4（x －2），y ＝1
2p x
2
得2x 2
＋p 2
x －2p 2
＝
0.设点M 的横坐标为a ，则在点M 处切线的斜率为y′|x ＝a ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12p x 2′
⎪⎪⎪ )
x ＝a ＝a
p
.又∵双曲线x 2
3－y 2＝1的渐近线方程为x 3
±y ＝0，其与切线平行，∴a p ＝33，即a ＝33p ，代入2x 2
＋
p 2x －2p 2
＝0得，p ＝4 33
或p ＝0(舍去)．
11．H6，H7[2013·天津卷] 已知抛物线y 2
＝8x 的准线过双曲线x 2
a 2－y
2
b
2＝1(a>0，b>0)的一
个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________．
11．x 2
－y 2
3
＝1 [解析] 由抛物线的准线方程为x ＝－2，得a 2＋b 2
＝4，又∵双曲线的离
心率为2，得c a ＝2，得a ＝1，b 2＝3，∴双曲线的方程为x 2
－y 2
3
＝1.
5．H7，H8[2013·四川卷] 抛物线y 2
＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是( )
A ．2 3
B ．2 C. 3 D ．1
5．D [解析] 抛物线y 2
＝8x 的焦点为F(2，0)，该点到直线x －3y ＝0的距离为d ＝|2|12
＋（－3）
2
＝1.
8．H7[2013·新课标全国卷Ⅰ] O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2
＝4 2x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝4 2，则△POF 的面积为( )
A ．2
B ．2 2
C ．2 3
D ．4
8．C [解析] 设P(x 0，y 0)，根据抛物线定义得|PF|＝x 0＋2，所以x 0＝3 2，代入抛
物线方程得y 2
＝24，解得|y|＝2 6，所以△POF 的面积等于12·|OF|·|y|＝12×2×2 6＝
2 3.
H8 直线与圆锥曲线(AB 课时作业)
22．H6、H8、D3[2013·全国卷] 已知双曲线C ：x 2
a 2－y
2
b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.
(1)求a ，b ；
(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．
22．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2
＋b 2
a 2＝9，故
b 2＝8a 2
.
所以C 的方程为8x 2
－y 2
＝8a 2
. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2
＋12
.
由题设知，2
a 2＋12
＝6，解得a 2
＝1.
所以a ＝1，b ＝2 2.
(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2
＝8.①
由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，代入①并化简得(k 2
－8)x 2
－6k 2
x ＋9k 2
＋8＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2
＋8
k 2－8.
于是
|AF 1|＝（x 1＋3）2
＋y 2
1＝（x 1＋3）2
＋8x 2
1－8＝－(3x 1＋1)，
|BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 2
2－8＝3x 2＋1.
由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－2
3.
故6k 2
k 2－8＝－23，解得k 2
＝45，从而x 1x 2＝－199
. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2
＋y 2
1＝（x 1－3）2
＋8x 2
1－8＝1－3x 1，
|BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 2
2－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.
因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2
，
所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．
12．F3、H8[2013·全国卷] 已知抛物线C ：y 2
＝8x 与点M(－2，2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →
＝0，则k ＝( )
A.12
B.22
C. 2 D ．2
12．D [解析] 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l 的方程为x ＝ty ＋2，与抛物线方
程联立得y 2
－8ty －16＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝8t ，x 1＋x 2＝t(y 1
＋y 2)＋4＝8t 2＋4，x 1x 2＝t 2y 1y 2＋2t(y 1＋y 2)＋4＝－16t 2＋16t 2
＋4＝4.
MA →·MB →
＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋4 ＝4＋16t 2＋8＋4－16－16t ＋4＝16t 2－16t ＋4＝4(2t －1)2
＝0，解得t ＝12，所以k ＝1t ＝
2.
20．H7，H8[2013·福建卷] 如图1－5，抛物线E ：y 2
＝4x 的焦点为F ，准线l 与x 轴的
交点为A.点C 在抛物线E 上，以C 为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C 与准线l 交于不同的两点M ，N.
(1)若点C 的纵坐标为2，求|MN|；
(2)若|AF|2
＝|AM|·|AN|，求圆C 的半径．
图1－5
20．解：(1)抛物线y 2
＝4x 的准线l 的方程为x ＝－1. 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1，2)，。