高中数学选修2-2精品学案：§1.4 生活中的优化问题举例

学习目标
1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．
知识点生活中的优化问题
(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为____________．
(2)利用导数解决优化问题的实质是______________．
(3)解决优化问题的基本思路：
上述解决优化问题的过程是一个典型的____________过程．
类型一平面几何中的最值问题
例1如图所示，在二次函数f(x)＝4x－x2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值．
反思与感悟平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值．
跟踪训练1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场．如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l 的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化．设△ABM的面积为S(单位：m2)，∠AON＝θ(单位：弧度)．
(1)将S表示为θ的函数；
(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积．
类型二立体几何中的最值问题
例2某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱体，
左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为64π
3立方米．假设该容器的建造费用仅与
其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元，半球体部分每平方米建造费用为4千元．设该容器的总建造费用为y千元．
(1)将y 表示成r 的函数，并求该函数的定义域；
(2)确定r 和l 为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用． 引申探究
例2中，若r ∈(0,1]，求最小建造费用．
反思与感悟 (1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题．
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程．
跟踪训练2 周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________ cm 3.
类型三 实际生活中的最值问题
命题角度1 利润最大问题
例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，
且R (x )＝⎩⎨⎧
10.8－1
30
x 2，0<x ≤10，
108x －1 000
3x 2
，x >10.
(1)求年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数[解析]式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．
反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有
(1)利润＝收入－成本．
(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．
跟踪训练3某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价
格x(单位：元/千克)满足关系式y＝
a
x－3
＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数．已知销售价格
为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
(1)求a的值；
(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
命题角度2费用(用材)最省问题
例4已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8<v≤v0)．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，当v＝12 km/h时，每小时的燃料费为720元，为了使全程燃料费最省，船的实际速度为多少？反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．
跟踪训练4为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑
物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝
k 3x＋5
(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．
1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为()
A．4 B．6 C．4.5 D．8
2．某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数，y1＝17x2；生产总成本y2(万元)也是x 的函数，y2＝2x3－x2(x>0)，为使利润最大，应生产()
A．9千台B．8千台
C．6千台D．3千台
3．将一段长100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm.
4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．
5．某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤
(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；
(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．
2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数[解析]式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；
(3)必要时注意分类讨论思想的应用．
[答案]精析
知识梳理 知识点
(1)优化问题 (2)求函数最值 (3)数学建模 题型探究
例1 解 设点B 的坐标为(x,0)，且0<x <2， ∵f (x )＝4x －x 2图象的对称轴为x ＝2， ∴点C 的坐标为(4－x,0)， ∴|BC |＝4－2x ，|BA |＝f (x )＝4x －x 2.
∴矩形面积为y ＝(4－2x )(4x －x 2)＝16x －12x 2＋2x 3， ∴y ′＝16－24x ＋6x 2＝2(3x 2－12x ＋8)， 令y ′＝0，解得x ＝2±2
33，
∵0<x <2，∴x ＝2－2
3
3.
∵当0<x <2－23
3时，y ′>0，函数递增；
当2－233
<x <2时，y ′<0，函数递减，
∴当x ＝2－233时，矩形面积取到最大值y max ＝32
9
3.
跟踪训练1 解 (1)由题干图知BM ＝AO sin θ＝100sin θ，AB ＝MO ＋AO cos θ＝100＋100cos θ，则S ＝12MB ·AB ＝1
2×100sin θ×(100＋100cos θ)
＝5 000(sin θ＋sin θcos θ)，θ∈(0，π)． (2)S ′＝5 000(2cos 2θ＋cos θ－1) ＝5 000(2cos θ－1)(cos θ＋1)．
令S ′＝0，得cos θ＝12或cos θ＝－1(舍去)，此时θ＝π
3
.
所以当θ＝π
3时，S 取得最大值，S max ＝3 750 3 m 2，此时AB ＝150 m ，即点A 到北京路一边
l 的距离为150 m.
例2 解 (1)因为容器的体积为64π
3 立方米，
所以4πr 33＋πr 2l ＝64π3，解得l ＝643r 2－4r 3.
所以圆柱的侧面积为
2πrl ＝2πr (643r 2－4r 3)＝128π3r －8πr 2
3，
两端两个半球的表面积之和为4πr 2. 所以y ＝(128π3r －8πr 2
3)×3＋4πr 2×4
＝
128π
r
＋8πr 2. 又l ＝643r 2－4r 3>0⇒r <243，
所以定义域为(0,243)．
(2)因为y ′＝－128π
r 2＋16πr
＝16π(r 3－8)r 2
，
所以令y ′>0，得2<r <24
3；
令y ′<0，得0<r <2.
所以当r ＝2米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l ＝8
3米．
引申探究
解 由例2(2)可知，
y ＝128πr ＋8πr 2在(0,1]上单调递减，
∴当r ＝1时，y min ＝136π. ∴最小建造费用为136π千元． 跟踪训练2
4 000
27
π [解析] 设矩形的长为x cm ，
则宽为(10－x ) cm (0<x <10)． 由题意可知圆柱体积为 V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3. ∴V ′＝20πx －3πx 2，
令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20
3，
且当x ∈(0，20
3)时，V ′(x )>0，
当x ∈(20
3，10)时，V ′(x )<0，
∴当x ＝203时，V (x )max ＝4 000
27π cm 3.
例3 解 (1)当0<x ≤10时， W ＝xR (x )－(10＋2.7x ) ＝8.1x －x 3
30
－10；
当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x ) ＝98－1 0003x
－2.7x .
所以W ＝⎩⎨⎧
8.1x －x 3
30
－10，0<x ≤10，
98－1 000
3x
－2.7x ，x >10.
(2)当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为
38.6万元．
跟踪训练3 解 (1)因为当x ＝5时， y ＝11，所以a
2＋10＝11，
所以a ＝2.
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为 y ＝2x －3
＋10(x －6)2，
所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)[2
x －3＋10(x －6)2]
＝2＋10(x －3)(x －6)2,3<x <6.
从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)． 于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.
答 当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 例4 解 设每小时的燃料费为y 1，比例系数为k (k >0)， 则y 1＝k v 2，当v ＝12时，y 1＝720， ∴720＝k ·122，得k ＝5. 设全程燃料费为y ，由题意，得 y ＝y 1·200v －8＝1 000v 2v －8，
∴y ′＝2 000v (v －8)－1 000v 2
(v －8)2
＝1 000v 2－16 000v (v －8)2.
令y ′＝0，得v ＝16， ∴当v 0≥16，
即v ＝16 km/h 时，全程燃料费最省， y min ＝32 000(元)；
当v 0<16，即v ∈(8，v 0]时，y ′<0， 即y 在(8，v 0]上为减函数，
∴当v ＝v 0时，y min ＝1 000v 20
v 0－8
(元)．
综上，当v 0≥16时，即v ＝16 km/h 时全程燃料费最省，为32 000元；
当v 0<16，即v ＝v 0时全程燃料费最省，为1 000v 2
v 0－8
元．
跟踪训练4 解 (1)设隔热层厚度为x cm ， 由题设，每年能源消耗费用为 C (x )＝k
3x ＋5
，
再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝
40
3x ＋5
，而建造费用为C 1(x )＝6x . 因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x ) ＝20×40
3x ＋5＋6x
＝
800
3x ＋5
＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400
(3x ＋5)2
.
令f ′(x )＝0，即 2 400
(3x ＋5)2＝6，
解得x ＝5，x ＝－25
3(舍去)．
当0<x <5时，f ′(x )<0； 当5<x <10时，f ′(x )>0，
故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋800
15＋5＝70.
答 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值为70万元． 当堂训练
1．A 2.C 3.100π
4＋π
4.160
5．解 (1)设商品降价x 元，则多卖出的商品件数为kx 2.
若记商品一个星期的获利为f(x)，则有
f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)
＝(21－x)(432＋kx2)．
由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.
所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0,21]．
(2)根据(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
故当x＝12时，f(x)取得极大值．
因为f(0)＝9 072，f(12)＝11 664.
所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大．。