山东省聊城市第二高级中学高二数学文期末试题含解析

山东省聊城市第二高级中学高二数学文期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 对一组数据，如果将它们改变为其中，则下面结论正确的是（）
A.平均数与方差均不变
B. 平均数变了，方差不
变
C. 平均数不变，方差变了
D. 平均数与方差都变了
参考答案：
B
2. 已知为非零实数，且，则下列不等式中恒成立的序号是（）
①；②；③；④；⑤
A．①⑤ B．②④ C．③④ D．③⑤
参考答案：
D
略
3. 一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半径之比为
（）
A．4：9 B．9：4 C．4：27 D．27：4
参考答案：
A
【考点】球的体积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】利用圆锥的体积和球的体积相等，通过圆锥的底面半径与球的半径的关系，推出圆锥的高与球半径之比．
【解答】解：V圆锥=，V球=，V圆锥=V球
∵r=3R， =，∴=．
故选A．
4. 已知满足，且，那么下列选项中一定成立的是( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
略
5. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，
则下列命题中正确的是（）
A．，则 B．，则
C．，则 D．，则
参考答案：
B
6. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的这些卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为（）
A．232 B．252 C．472 D．484
参考答案：
C
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】排列组合．
【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，由此可得结论．
【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有种取法，两种红色卡片，共有种取法，
故所求的取法共有﹣﹣=560﹣16﹣72=472
故选C．
【点评】本题考查组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．
7. 若集合，则是的
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
参考答案：
A
8. 复数z满足（1+i）z=|﹣i|，则=（）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i
参考答案：
A
【考点】复数求模．
【分析】设出z=a+bi，得到关于a，b的方程组，求出z的共轭复数即可．
【解答】解：设z=a+bi，
则（1+i）z=（1+i）（a+bi）=（a﹣b）+（a+b）i，
∴，解得：a=1，b=﹣1，
故=1+i，
故选：A．
9. 如图，在直角梯形中，，∥，
，，动点在以点为圆心，且与直
线相切的圆上或圆内移动，设
（，），则取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B 略
10. 已知圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，当m取最小值时，可行域（不等式组所围成的平面区域）的面积为（）
A．48 B．54 C．24D．36
参考答案：
B
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据三角形的面积最小求出m的最小值，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，要使圆C：x2+y2=4上所有的点满足约束条件，
则m≥2，
则m取最小值2时，阴影部分的面积最小，
由得，即C（2，﹣6），
由得，即A（2，12），
由得，即B（﹣4，0），
则三角形的面积S= [2﹣（﹣4）][12﹣（﹣6）]= =54，
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，以及三角形的面积的计算，根据图象求出m 的最小值是解决本题的关键．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 给出下列四个结论：
①函数
（
且
）与函数
（
且
）的定义域相同；
②函数（）是奇函数；
③函数
有两个零点;
④函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与
关于y 轴对称，则
.
其中正确结论的序号是___________________．（填写你认为正确的所有结论序号）
参考答案：
①③④ 略
12. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆的圆心到直线 的距离
是
.
参考答案：
13.
若复数z 满足
,则
的最小值为
▲ .
参考答案：
14. 设斜率为2的直线过抛物线
的焦点，且和轴交于点A ,若△（为
坐标原点）的面积为4，则的值为_▲_． 参考答案： 8
15. 用秦九韶算法计算多项式 当时
的值为 _________。

参考答案： 0
16. 已知抛物线y=x 2的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，若|AB|=4，则弦AB 的中点到x 轴的距离等于 ．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义及弦长，可得弦AB 的中点到准线的距离，进而可求弦AB 的中点到y 轴的距离．
【解答】解：由题意，抛物线y=x 2的焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣，
根据抛物线的定义， ∵|AB|=4，
∴A、B 到准线的距离和为4， ∴弦AB 的中点到准线的距离为2
∴弦AB 的中点到y 轴的距离为2﹣=， 故答案为：．
17. 已知F 1、F 2是双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的两个焦点，以线段F 1F 2为边作正△MF 1F 2，若边
MF 1的中点在双曲线时，双曲线的离心率e= ．
参考答案：
【考点】双曲线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】首先判断P在y轴上，设|F1F2|=2c，则M（0， c），求出边MF1的中点，代入双曲线方
程，再由离心率公式和ab，c的关系，得到e的方程，注意e＞1，解得即可．
【解答】解：以线段F1F2为边作正△MF1F2，则M在y轴上，
可设|F1F2|=2c，则M（0， c），
又F1（﹣c，0），则边MF1的中点为（﹣， c），
代入双曲线方程，可得，
﹣=1，由于b2=c2﹣a2，e=，
则有e2﹣=4，即有e4﹣8e2+4=0，
解得，e2=4，由于e＞1，即有e=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)已知函数在时取得极值．
（I）求的解析式；
（II）求在区间上的最大值．
参考答案：
（I）.
因为在时取得极值，所以，
即解得
．
经检验，时，在时取得极小值.
所以
．
…… 6分
（II），令，解得或；令，解得．
所以在区间和内单调递增，在内单调递减，
所以当时，有极大值．
又,，
所以函数在区间[-2,1]上的最大值为 -2．…… 14分
19. 已知函数f（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x2﹣x+a．
（1）其求函数f（x）的极值；
（2）设函数k（x）=f（x）﹣h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（I）先在定义域内求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；
（II）先求出函数k（x）的解析式，然后研究函数k（x）在[1，3]上的单调性，根据函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，建立不等关系，最后解之即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2x﹣，令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，
所以f（x）的极小值为1，无极大值．
（Ⅱ）∵
又∵k（x ）=f （x ）﹣g （x ）=﹣2lnx+x ﹣a ，
∴k′（x ）=﹣+1， 若k′（x ）=0，则x=2
当x∈[1，2）时，f′（x ）＜0； 当x∈（2，3]时，f′（x ）＞0．
故k （x ）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．
∴，∴，∴2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．
所以实数a 的取值范围是：（2﹣2ln2，3﹣2ln3]
20. 甲乙两人轮流抛掷一枚正方体骰子（6个面分别标有1，2，3，4，5，6）各一次，将向上面上的点数分别记为a ，b ，点数差记为ξ=|a﹣b|
（1）游戏约定：若ξ≤2，则甲获胜；否则乙获胜．这样的约定是否公平，为什么？ （2）求关于x 的方程kx 2﹣ξx﹣1=0（k∈N *）在（2，3）上有且仅有一个根的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】（1）由已知中正方体骰子6个面分别标有1，2，3，4，5，6，可得数差ξ=|a﹣b|∈{0，1，2，3，4，5}，列举出所有的情况后，计算ξ≤2的个数，即可得到答案．
（2）若方程kx 2﹣ξx﹣1=0（k∈N *）在（2，3）上有且仅有一个根，则函数f （x ）=kx 2﹣ξx﹣1在区间（2，3）上有且只有一个零点，即f （2）?f （3）＜0，构造不等式后，解不等式即可得到答案．
【解答】解：（1
）不公平． 由题知，
（2）
21. （12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB, PC 的中点 。

（1）求证：EF∥平面PAD ；（2）求证：EF⊥CD；
参考答案：
连AC ，设AC 中点为O ，连OF 、OE （1）在△PAC 中，∵ F、O 分别为PC 、AC 的中点 ∴ FO∥PA …………①在△ABC 中，
∵ E、O 分别为AB 、AC 的中点 ∴ EO∥BC ,又 ∵ BC∥AD ∴ EO∥AD …………②
综合①、②可知：平面EFO∥平面PAD ∵ EF ? 平面EFO ∴ EF∥平面PAD ．
（2）在矩形ABCD 中，∵ EO∥BC，BC⊥CD
∴ EO⊥CD 又 ∵ FO∥PA，PA⊥平面AC ∴ FO⊥平面AC ∴ EO 为EF 在平面AC 内的射影 ∴ CD⊥EF．
22. 某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据. 单价（万元） 销量
（件）
（1）①求线性回归方程；②谈谈商品定价对市场的影响；
（2）估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？
（附：）
参考答案：
（1）①依题意：
，
∴回归直线的方程为.
②由于
，则
负相关，故随定价的增加，销量不断降低. （2）设科研所所得利润为
，设定价为，∴
，
∴当
时，.故当定价为元时，取得最大值.。