高三数学一轮复习课时作业1：数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入
第Ⅰ组：全员必做题
1．(2010·江苏高考)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为________．
2．(2014·盐城摸底)若复数z ＝(m 2－1)＋(m ＋1)i(i 为虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值为________．
3．(2013·苏北三市调研)已知i 是虚数单位，实数a ，b 满足(3＋4i)(a ＋b i)＝10i ，则3a －4b ＝________.
4．若实数a 满足2＋a i 1－i
＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________. 5．(2013·南京、淮安二模)若复数z ＝1－m i 2＋i
(i 是虚数单位)是纯虚数，则实数m 的值是________．
6．(2014·常州质检)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，则z ·z
z －z ＝________. 7．若3＋b i 1－i
＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________. 8．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z z －1
＝________. 9．(2013·南通二模)已知复数z 1＝m ＋2i ，z 2＝3－4i ，若z 1z 2
为实数，则实数m 的值为________． 10．已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－i z
(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第________象限．
11．(2013·湖北黄冈中学)已知i 是虚数单位，若z 1＝a ＋i ，z 2＝a －i ，z 1z 2
为纯虚数，则实数a ＝________.
12．已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
第Ⅱ组：重点选做题
1．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是________．
2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x
的最大值为________． 3．(2014·陕西师大附中模拟)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，
x ≤3，
z ＝x ＋y i(i 为虚数
单位)，则|z －1＋2i|的最小值是________．
4．已知复数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则y x
的最大值是________．
答 案
第Ⅰ组：全员必做题
1．『解析』法一：由z (2－3i)＝6＋4i 得z ＝6＋4i 2－3i ＝（6＋4i ）（2＋3i ）（2－3i ）（2＋3i ）＝26i 13
＝2i ，所以|z |＝2.
法二：由z (2－3i)＝6＋4i 得
|z ||2－3i|＝|6＋4i|，
所以|z |·13＝52，所以|z |＝2. 『答案』2
2．『解析』由z 为纯虚数知⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－1＝0，m ＋1≠0， 所以m ＝1.
『答案』1
3．『解析』由(3＋4i)(a ＋b i)＝10i 得3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝10i ，所以3a －4b ＝0.
『答案』0
4．『解析』因为2＋a i 1－i
＝2i ， 所以2＋a i ＝(1－i)·2i ＝2＋2i ，
故a ＝2.
『答案』2
5．『解析』z ＝1－m i 2＋i ＝（1－m i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）
＝2－m －（1＋2m ）i 5＝2－m 5－1＋2m 5i. 又z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧
2－m ＝0，1＋2m ≠0， 即m ＝2.
『答案』2
6．『解析』因为z ·z ＝(－1＋i)(－1－i)＝2，
z －z ＝－1＋i －(－1－i)＝2i ，
所以z ·z
z －z ＝22i ＝1i
＝－i. 答案－i
7．『解析』由3＋b i 1－i ＝（3＋b i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）
＝3－b ＋（3＋b ）i 2＝a ＋b i ， 得a ＝3－b 2，b ＝3＋b 2
， 解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3. 『答案』3
8．『解析』z 2－2z z －1＝（z －1）2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i
＝－2i. 『答案』－2i
9．『解析』因为z 1z 2
为实数，所以z 1z 2为实数，即(m ＋2i)(3＋4i)＝(3m －8)＋(4m ＋6)i
为实数，从而由4m ＋6＝0得m ＝－32
. 『答案』－32
10．『解析』依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝（2－i ）(－1－2i)(－1＋2i)(－1－2i)
＝－4－3i 5，因此该复数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45，－35，位于第三象限． 『答案』三
11．『解析』z 1z 2
＝a 2－1＋2a i a 2＋1为纯虚数，则a ≠0，a 2－1＝0，a ＝±1. 『答案』±1
12．解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，
由题意得y ＝－2.
∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15
(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15
(x －4)i. 由题意得x ＝4，
∴z ＝4－2i.
∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.
由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2>0，8a －2>0， 解得2<a <6.
∴实数a 的取值范围是(2,6)．
第Ⅱ组：重点选做题
1．『解析』设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，
则⎩
⎪⎨⎪⎧ x 2－y 2＝－3，xy ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，y ＝－2. 『答案』1＋2i 或－1－2i
2．『解析』∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3.
由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝31
＝ 3. 『答案』3
3．『解析』∵|z －1＋2i|＝(x －1)2＋(y ＋2)2，所以|z －1＋2i|的最小值即点(1，－2)到不
等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3
所表示的平面区域的距离的最小值，即为(1，－2)到x ＋y ＝0的距离，易得最小值为22. 『答案』22
4．『解析』由题意知(x －2)2＋y 2＝3，即(x －2)2＋y 2＝3，所以对应的圆心为(2,0)，
半径为r ＝ 3.设k ＝y x ，则y ＝kx .当直线与圆相切时，圆心到直线y ＝kx 的距离为|2k |1＋k 2
＝3，解得k ＝±3，可知y x
的最大值是 3. 『答案』3。