★试卷3套精选★上海市嘉定区2020届八年级上学期期末统考数学试题

八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，数轴上的点A 表示的数是-2，点B 表示的数是1，CB AB ⊥于点B ，且2BC =，以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，则点D 表示的数为（ ）
A 13
B 132
C 132
D ．2
【答案】C 【分析】根据勾股定理，可得AC 的值，从而得到AD 的长，进而可得到答案.
【详解】∵数轴上的点A 表示的数是-2，点B 表示的数是1，
∴AB=3，
∵CB AB ⊥于点B ，且2BC =， ∴22223213AC AB BC =++=
∵以点A 为圆心，AC 为半径画弧交数轴于点D ，
∴13
∴点D 132，
故选C.
【点睛】
本题主要考查数轴上点表示的实数与勾股定理，根据勾股定理，求出AC 的长，是解题的关键. 2．一次函数 y=ax+b ，若 a+b=1，则它的图象必经过点（ ）
A ．(-1,-1)
B ．(-1, 1)
C ．(1, -1)
D ．(1, 1)
【答案】D
【解析】试题解析: 一次函数y=ax+b 只有当x=1，y=1时才会出现a+b=1，
∴它的图象必经过点（1，1）．
故选D ． 3．已知2,{1x y ==是二元一次方程组7,{1
ax by ax by +=-=的解，则a b -的值为 A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3 【答案】A
【解析】试题分析：∵已知21x y =⎧⎨=⎩
是二元一次方程组7{1ax by ax by +=-=的解，
∴27{21a b a b +=-=①
②
由①+②，得a=2，
由①-②，得b=3，
∴a-b=-1；
故选A ．
考点：二元一次方程的解．
4．已知在四边形ABCD 中，3AB =，5CD =，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则线段MN 的取值范围是（ ）
A ．14MN <<
B ．14MN <≤
C ．28MN <<
D ．28MN <≤
【答案】B 【分析】利用中位线定理作出辅助线，利用三边关系可得MN 的取值范围． 【详解】
连接BD ，过M 作MG ∥AB ，连接NG ．
∵M 是边AD 的中点，AB=3，MG ∥AB ，
∴MG 是△ABD 的中位线，BG=GD ，1322MG AB =
=； ∵N 是BC 的中点，BG=GD ，CD=5，
∴NG 是△BCD 的中位线，1522
NG CD ==， 在△MNG 中，由三角形三边关系可知NG-MG ＜MN ＜MG+NG ，即
53532222MN -<<+， ∴14MN <<，
当MN=MG+NG ，即MN=1时，四边形ABCD 是梯形，
故线段MN 长的取值范围是1＜MN ≤1．
故选B ．
【点睛】
解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答．
5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A＝30°，AE＝6cm，那么CE等于（）
A3B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】C
【分析】根据在直角三角形中，30度角所对直角边等于斜边的一半得出AE＝2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的距离相等得出ED＝CE，即可得出CE的值．
【详解】∵ED⊥AB，∠A＝30°，∴AE＝2ED．
∵AE＝6cm，∴ED＝3cm．
∵∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，∴ED＝CE，∴CE＝3cm．
故选C．
【点睛】
本题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED＝CE．
6．若点P（1﹣3m，2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则点P一定在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】根据互为相反数的两个数的和为1，求出m的值，求出点P的坐标，进而判断点P所在的象限．【详解】解：∵点P(1﹣3m，2m)的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴2m＝﹣(1﹣3m)，
解得m＝1，
∴点P的坐标是(﹣2，2)，
∴点P在第二象限．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．第一象限内点的坐标特征为（+，+），第二象限内点的坐标特征为（-，+），第三象限内点的坐标特征为（-，-），第四象限内点的坐标特征为（+，-），x轴上的点纵坐标为1，y轴上的点横坐标为1．
7．点A（3，3﹣π）所在的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】由点A (,)a b 中0a >,0b <，可得A 点在第四象限
【详解】解：∵3＞0，3﹣π＜0，
∴点A （3，3﹣π）所在的象限是第四象限，
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）． 8．如图，∠AOB ＝60°，OC 平分∠AOB ，P 为射线OC 上一点，如果射线OA 上的点D ，满足△OPD 是等腰三角形，那么∠ODP 的度数为（ ）
A ．30°
B ．120°
C ．30°或120°
D ．30°或75°或120°
【答案】D 【分析】求出∠AOC ，根据等腰得出三种情况，OD ＝PD ，OP ＝OD ，OP ＝CD ，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：∵∠AOB ＝60°，OC 平分∠AOB ，
∴∠AOC ＝30°，
①当D 在D 1时，OD ＝PD ，
∵∠AOP ＝∠OPD ＝30°，
∴∠ODP ＝180°﹣30°﹣30°＝120°；
②当D 在D 2点时，OP ＝OD ，
则∠OPD ＝∠ODP ＝12
（180°﹣30°）＝75°； ③当D 在D 3时，OP ＝DP ，
则∠ODP ＝∠AOP ＝30°；
综上所述：120°或75°或30°，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形，已知等腰三角形求其中一角的度数，灵活的根据等腰三角形的性质分类讨论确定点D 的位置是求角度数的关键.
9．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）
A ．2γαβ=+
B ．2γαβ=+
C ．γαβ=+
D ．180γαβ=--
【答案】A 【详解】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 详解:
由折叠得：∠A=∠A'，
∵∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，
∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，
∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，
故选A.
点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键. 10．下列各点在函数2y x =图象上的是（ ）
A ．()3,6
B ．()4,16-
C ．()1,1--
D ．()4,6
【答案】A
【分析】依据函数图像上点的坐标满足解析式可得答案．
【详解】解：把()3,6代入解析式得：223 6.y x ==⨯=符合题意，
而()4,16-，()1,1--，()4,6均不满足解析式，所以不符合题意．
故选A ．
【点睛】
本题考查的是图像上点的坐标满足解析式，反之，坐标满足解析式的点在函数图像上，掌握此知识是解题的关键．
二、填空题
11．如图在ABC ∆中，13,10,AB AC BC AD ===是ABC ∆的中线，F 是AD 上的动点，E 是边AC 上动点，则CF EF +的最小值为______________．
【答案】12013
【分析】作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，根据等腰三角形“三线合一”得出BD 的长和AD ⊥BC ，再利用勾股定理求出AD ，利用“等面积法”结合垂线段最短进一步求出最小值即可.
【详解】
如图，作E 关于AD 的对称点M ，连接CM 交AD 于F ，连接EF ，过C 作CN ⊥AB 于N ，
∵AB=AC=13，BC=10，AD 是△ABC 的中线，
∴BD=DC=5，AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，
∴M 在AB 上，
在Rt △ABD 中，由勾股定理可得：
AD=22 13512-=，
∴1122
ABC S BC AD AB CN ∆=
⨯=⨯， ∴120AB 13BC AD CN ⨯==， ∵E 关于AD 的对称点M ，
∴EF=FM ，
∴CF+EF=CF+FM=CM，
根据垂线段最短可得：CM≥CN，
即：CF+EF≥120 13
，
∴CF+EF的最小值为：120 13
，
故答案为：120 13
.
【点睛】
本题主要考查了几何图形中最短路线问题，关键是熟练运用轴对称性质找出相应的线段进行求解. 12．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于
点G，下列结论：①BD＝DC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AG＝1
2
DE．正确的是_____（填写序号）
【答案】①②④
【分析】根据等腰三角形的性质与判定、平行线的性质分别对每一项进行分析判断即可．【详解】解：①∵△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴BD＝DC，
故本选项正确，
②∵△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，
∴AE∥BC，
故本选项正确，
③∵AE∥BC，
∴∠E＝∠EDC，
∵ED∥AB，
∴∠B＝∠EDC，∠AGE＝∠BAC，
∴∠B＝∠E，
∵∠B不一定等于∠BAC，
∴∠E不一定等于∠AGE，
∴AE不一定等于AG，
故本选项错误，
④∵ED ∥AB ，
∴∠BAD ＝∠ADE ，
∵∠CAD ＝∠BAD ，
∴∠CAD ＝∠ADE ，
∴AG ＝DG ，
∵AE ∥BC ，
∴∠EAG ＝∠C ，
∵∠B ＝∠E ，∠B ＝∠C ，
∴∠E ＝∠C ，
∴∠EAG ＝∠E ，
∴AG ＝EG ，
∴AG ＝12DE ， 故答案为：①②④
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质与判定，用到的知识点是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，关键是熟练地运用有关性质与定理进行推理判断．
13．若x,y 都是实数，且338y x x =
-+-+，则x+3y=_____．
【答案】1
【分析】根据被开方数是非负数，可得答案．
【详解】由题意，得
x−3≥0且3−x ≥0，
解得x ＝3，y ＝8，
x ＋3y ＝3＋3×8＝1，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．
14．如图△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ，若∠A = 100°，则∠BOC = ____o ．
【答案】1
【分析】根据三角形内角和定理得80ABC ACB ∠+∠=︒，再根据角平分线的性质可得
40OBC OCB +=︒∠∠，最后根据三角形内角和定理即可求出∠BOC 的度数．
【详解】∵∠A = 100°
∴18080ABC ACB A +=︒-=︒∠∠∠
∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点O ∴()1402
OBC OCB ABC ACB +=⨯+=︒∠∠∠∠ ∴180140BOC OBC OCB =︒--=︒∠∠∠
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了角平分线相关的计算题，掌握三角形内角和定理、角平分线的性质是解题的关键．
15．若分式242
x x -+的值为0，则x=_____________． 【答案】2
【分析】分式的值为零，即在分母20x +≠的条件下，分子240x -=即可．
【详解】解：由题意知：分母20x +≠且分子240x -=，
∴2x =,
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了分式为0的条件，即：在分母有意义的前提下分子为0即可．
16．如果一次函数y ＝x ﹣3的图象与y 轴交于点A ，那么点A 的坐标是_____．
【答案】（0，﹣3）
【分析】代入x=0求出与之对应的y 值，进而可得出点A 的坐标．
【详解】解：当x ＝0时，y ＝x ﹣3＝﹣3，
∴点A 的坐标为（0，﹣3）．
故答案为：（0，﹣3）．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b 是解题关键．
17．若点M （a ﹣3，a+4）在x 轴上，则点M 的坐标是______．
【答案】 ( －7,0 )
【分析】先根据x 轴上的点的坐标的特征求得a 的值，从而可以得到结果.
【详解】由题意得a-3=0，a=3，则点M 的坐标是（-7，0）．
【点睛】
解题的关键是熟练掌握x 轴上的点的纵坐标为0，y 轴上的点的横坐标为0.
三、解答题
18．已知：如图，ABC 中，∠ABC=45°，CD AB ⊥于D ，BE 平分∠ABC ，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F ，H 是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G
（1）求证：BF=AC ；
（2）判断CE 与BF 的数量关系，并说明理由
【答案】（1）证明见解析；（2）12
CE BF =，理由见解析 【分析】（1）由题意可以得到Rt ⊿DFB ≅Rt ⊿DAC ，从而得到BF=AC ； （2）由题意可以得到Rt ⊿BEA ≅Rt ⊿BEC ，所以1122CE AE AC BF ==
=． 【详解】证明：∵CD ⊥AB ，∠ABC=45°， ∴BCD 是等腰直角三角形，∠DBF=90°-∠BFD ，∠A=90°-∠DCA ，
又BE AC ⊥，∴∠EFC =90°-∠DCA ，∴∠A=∠EFC
∵∠BFD=∠EFC ，∴∠A=∠DFB ，
∴在Rt ⊿DFB 和Rt ⊿DAC 中，∠BDF=∠CDA ，∠A=∠DFB ，BD=DC ，
∴Rt ⊿DFB ≅Rt ⊿DAC ，∴BF=AC ； (2) 12
CE BF = 理由是：∵BE 平分ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，
在Rt ⊿BEA 和Rt ⊿BEC 中，∠AEB=∠CEB ，BE=BE ，∠ABE=∠CBE ，
∴Rt ⊿BEA ≅Rt ⊿BEC ，∴12CE AE AC ==
由（1）得：12CE BF =
． 【点睛】
本题考查三角形的综合问题，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题关键．
19．阅读：对于两个不等的非零实数a 、b ，若分式()()x a x b x
--的值为零，则x a =或x b =．又因为()()()()2x a x b x a b x ab ab x a b x x x ---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x
+=+有两个解，分别为1x a =，2x b =．应用上面的结论解答下列问题：
（1）方程p x q x +
=的两个解分别为12x =-、23x =，则P = ，q = ； （2）方程78x x
+=的两个解中较大的一个为 ； （3）关于x 的方程2622221
n n x n x +-+=+-的两个解分别为1x 、2x （12x x <），求12321x x ++的12153312242152
212
n n x n x n -+++===++++ 【答案】（1）-6，1；（2）7；（3）见解析
【分析】（1）根据题意可知p=x 1•x 2，q=x 1•x 2，代入求值即可；
（2）方程变形后，利用题中的结论确定出两个解中较大的解即可；
（3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x 1、x 2，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：（1）∵关于x 的方程ab x a b x
+=+有两个解，分别为1x a =，2x b =， ∵方程p x q x
+=的两个解分别为12x =-、23x =， ∴p=x 1•x 2=-2×3=6；q=x 1•x 2=-2+3=1
故答案为-6，1．
（2）方程78x x +=变形得：17:17x x
⨯+=+ 根据题意得：x 1=1，x 2=7，
则方程较大的一个解为7；
故答案为：7 （3）∵2622221
n n x n x +-+=+- ∴26212121
n n x n x +--+=+-， ()()3221(3)(2)21
n n x n n x +--+=++--； ∴213x n -=+或212x n -=-，
42
n x +=或12n x -= 又∵12x x <
∴112n x -=，242
n x +=
∴1
2
15
3
31
2
2
4
2152
21
2
n n
x
n
x n
-+
+
+
===
+
++
+
【点睛】
此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．
20．甲、乙两地相距120千米，一辆大巴车从甲地出发，行驶1小时后，一辆小汽车从甲地出发，小汽车和大巴车同时到达到乙地，已知小汽车的速度是大巴车的2倍，求大巴车和小汽车的速度．
【答案】大巴车的速度为60千米/小时，则小汽车的速度为120千米/小时
【分析】设大巴车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为2x千米/小时，然后根据题意，列出分式方程，即可求出结论．
【详解】解：设大巴车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为2x千米/小时
由题意可知：
12012
1
2
x x
-=
解得：x=60
经检验：x=60是原方程的解．
∴小汽车的速度为2×60=120（千米/小时）
答：大巴车的速度为60千米/小时，则小汽车的速度为120千米/小时．
【点睛】
此题考查的是分式方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．
21．已知：如图，四边形ABCD中，,,,
E F G H分别是,,,
AB BC CD DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
【答案】见解析.
【分析】连接BD，利用三角形中位线定理可得FG∥BD，FG＝
1
2
BD，EH∥BD，EH＝
1
2
BD．进而得到FG∥EH，且FG＝EH，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证出结论．
【详解】证明：如图，连接BD．
∵F，G分别是BC，CD的中点，
所以FG∥BD，FG＝
1
2
BD．
∵E，H分别是AB，DA的中点．
∴EH ∥BD ，EH ＝12
BD ． ∴FG ∥EH ，且FG ＝EH ．
∴四边形EFGH 是平行四边形．
【点睛】
此题主要考查了中点四边形，关键是掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
22．如图，“复兴一号“水稻的实验田是边长为m 米的正方形去掉一个边长为n 米（m ＞n ）正方形蓄水池后余下的部分，“复兴二号“水稻的试验田是边长为（m-n ）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了a 千克．
（1）哪种水稻的单位面积产量高？为什么？
（2）高的单位面积产量比低的单位面积产量高多少？
【答案】（1）“复兴二号”水稻的单位面积产量高，理由见解析；（2）()22()an m n m n +-kg
【分析】（1）根据题意分别求出两种水稻得单位产量，比较即可得到结果；
（2）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【详解】（1）根据题意知，
“复兴一号“水稻的实验田的面积为22m n -，“复兴二号“水稻的实验田的面积为2()m n -，
∴“复兴一号“水稻的实验田的单位产量为22a m n
-（千克/米2）， “复兴二号“水稻的实验田的单位产量为2()a m n -（千克/米2）， 则22a m n --2
()a m n - =()
()2()a m n m n m n -+--()
()2()a m n m n m n ++-
=()2()am an am an m n m n ---+- ()22()an
m n m n =-+-，
∵m 、n 均为正数且m ＞n ，
∴-()22()an m n m n +-＜0，
∴“复兴二号”水稻的单位面积产量高；
（2）由（1）知22a m n --2
()a m n -=()22()an m n m n -+-， ∴高的单位面积产量比低的单位面积产量高()22()an m n m n +-（kg ）
． 【点睛】
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．（1）问题解决：如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝α，∠BCD ＝180°﹣α，BD 平分∠ABC ．
①如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得AD ＝CD ，这个性质是 ；
②在图2中，求证：AD ＝CD ；
（2）拓展探究：根据（1）的解题经验，请解决如下问题：如图3，在等腰△ABC 中，∠BAC ＝100°，BD 平分∠ABC ，求证BD+AD ＝BC ．
【答案】（1）①角平分线上的点到角的两边距离相等；②见解析；（2）见解析．
【分析】（1）①根据角平分线的性质定理即可解决问题；
②如图2中，作DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F ．只要证明△DEA ≌△DFC 即可解决问题；
（2）如图3中，在BC 时截取BK=BD ，BT=BA ，连接DK ．首先证明DK=CK ，再证明△DBA ≌△DBT ，推出AD=DT ，∠A=∠BTD=100°，推出∠DTK=∠DKT=80°，推出DT=DK=CK ，由此即可解决问题；
【详解】（1）①根据角平分线的性质定理可知AD ＝CD ．
所以这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等．
故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等．
②如图2中，作DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F ．
∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，
∴DE＝DF，
∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
∵∠E＝∠DFC＝90°，
∴△DEA≌△DFC，
∴DA＝DC．
（2）如图3中，在BC上截取BK＝BD，BT＝BA，连接DK．
∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBK＝1
2
∠ABC＝20°，
∵BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝80°，
∵∠BKD＝∠C+∠KDC，
∴∠KDC＝∠C＝40°，
∴DK＝CK，
∵BD＝BD，BA＝BT，∠DBA＝∠DBT，∴△DBA≌△DBT，
∴AD＝DT，∠A＝∠BTD＝100°，
∴∠DTK＝∠DKT＝80°，
∴DT＝DK＝CK，
∴BD+AD ＝BK+CK ＝BC ．
【点睛】
本题考查三角形综合题、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，具体的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
24．A 、B 两车从相距360千米的甲、乙两地相向匀速行驶，s （千米）表示汽车与甲地的距离，t （分）表示汽车行驶的时间，如图所示，1l 表示的是B 车，2l 表示的是A 车．
（1）汽车B 的速度是多少?
（2）求1l 、2l 分别表示的两辆汽车的s 与t 的关系式．
（3）行驶多长时间后，A 、B 两车相遇?
（4）什么时刻两车相距120千米?
【答案】（1）120千米/时；（2）1l 对应的函数解析式为2360s t ，2l 对应的函数解析式为s t =；（3）120分钟；（4）当行驶43小时或83
小时后，A ，B 两车相距120千米． 【分析】（1）根据函数图象可以得到汽车B 的速度；
（2）根据图象可以设出1l 、2l 的解析式，由函数图象上的点可以求得它们的解析式；
（3）根据函数关系式列方程解答即可；
（4）分两种情况讨论，相遇前和相遇后，然后列方程解答即可．
【详解】解：（1）由图象可得， 60(360240)12060（千米 /时）；
答：汽车B 的速度为120千米/时；
（2）设1l 对应的函数解析式为s kt b =+，
36060240b k b ，
解得2360k b ，
即1l 对应的函数解析式为2360s t ，
∵2l 经过原点，则设2l 对应的函数解析式为s mt ， 6060m ，得1m =，
即2l 对应的函数解析式为s t =；
（3）当两车相遇时，可得方程，2360t t =-+
解之得：120t =；
（4）由图象可得，汽车A 的速度为：6060
=6060
千米/时； 设两车相距120千米时的时间是x ，
则当两车没有相遇前，相距120千米时
12060360120x 解之得：43
x =； 当两车相遇后，再相距120千米时
12060360120x ，
解得83x =
， 当83
x =时，汽车B 行驶的距离是12032036830， 即B 汽车还没有达到终点，符合题意， 答：当行驶
43小时或83小时后，A ，B 两车相距120千米． 【点睛】
本题考查一次函数的应用和余元一次方程的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
25．某地长途汽车公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定质量,则需要购买行李票,行李票y 元是行李质量xkg 的一次函数，如图所示：
(1)求y 与x 之间的表达式
(2)求旅客最多可免费携带行李的质量是多少?
【答案】 (1)0.26y x =-；(2)旅客最多可免费携带行李的质量是30kg .
【分析】(1)由图，已知两点，可根据待定系数法列方程，求函数关系式；
(2)旅客可免费携带行李，即y=0，代入由(1)求得的函数关系式，即可知质量为多少．
【详解】解：(1)设y 与x 之间的表达式为y kx b =+,
把()(6068010)，，
，代入 y kx b =+，得: 6068010k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解方程组，得0.26k b =⎧⎨=-⎩
y ∴与x 之间的表达式为0.26y x =-.
(2)当0y =时，
0.260x -=,
30x ∴=
∴旅客最多可免费携带行李的质量是30kg .
【点睛】
本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏．
八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．若点A（a+1，b﹣2）在第二象限，则点B（﹣a，1﹣b）在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】分析：直接利用第二象限横纵坐标的关系得出a，b的符号，进而得出答案．
详解：∵点A（a+1，b-2）在第二象限，
∴a+1＜0，b-2＞0，
解得：a＜-1，b＞2，
则-a＞1，1-b＜-1，
故点B（-a，1-b）在第四象限．
故选D．
点睛：此题主要考查了点的坐标，正确记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．
2．如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE，过B点作BF⊥CE 于点F，则BF的长为（）
A．
10
12
B．
10
6
C．
10
5
D．
10
5
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质，求出CD和DE的长度，再根据勾股定理求出CE的长度，再利用三角形面积公式求出BF的长即可．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，BC∥AD，
∴∠CBE＝∠AEB，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝6，
∴DE＝2，
∴22436210
CE CD DE
++=
＝，
∵S △BCE ＝12 S 矩形ABCD ＝24， ∴12
×210 ×BF ＝24 ∴BF ＝
1210 故选：C ．
【点睛】
本题考查了矩形和三角形的综合问题，掌握矩形的性质、勾股定理以及三角形面积公式是解题的关键．
3．若分式2164y y
的值为0，则y 的值是（ ） A ．4
B ．4-
C ．4±
D ．8±
【答案】B 【分析】分式的值是1，则分母不为1，分子是1．
【详解】解：根据题意，得2160y
且40y ，
解得：4y =-．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为1；（2）分母不为1．这两个条件缺一不可．
4．某芯片的电子元件的直径为0.0000034米，该电子元件的直径用科学记数法可以表示为( ) A ．0.34×10－6米
B ．3.4×10－6米
C ．34×10－5米
D ．3.4×10－5米 【答案】B
【解析】试题解析：0.0000034米63.410-=⨯米.
故选B.
5．如图，△ABE ≌△ACF ，若AB=5，AE=2，则EC 的长度是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B 【分析】根据△ABE ≌△ACF ，可得三角形对应边相等，由EC=AC-AE 即可求得答案．
【详解】解：∵△ABE ≌△ACF ，AB ＝5，AE ＝2，
∴AB ＝AC ＝5，
∴EC=AC-AE=5-2=3，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 6．下列四个结论中，正确的是( )
A ．3.1510 3.16<<
B ．3.1610 3.17<<
C ．3.1710 3.18<<
D ．3.1810 3.19<<
【答案】B
【分析】计算每个选项两边的数的平方即可估算出10的范围．
【详解】解：∵23.159.9225=，23.169.9856=，23.1710.0489=，∴3.1610 3.17<<． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，属于基本题型，掌握估算的方法是解题关键．
7．已知△ABC 中，AB=8,BC=5,那么边AC 的长可能是下列哪个数 （ ）
A ．15
B ．12
C ．3
D ．2 【答案】B
【解析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列出不等式即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，
8−5＜AC ＜8＋5，
即3＜AC ＜13，
符合条件的只有12，
故选：B ．
【点睛】
本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键．
8．用直角三角板，作△ABC 的高，下列作法正确的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】分析：根据高的定义一一判断即可.
详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.
可以判断A,B,C 虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.
故选D.
点睛：考查高的画法，是易错点，尤其注意钝角三角形高的画法.
9．以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A ．5，6，7
B ．4，5，6
C ．6，7，8
D ．5，12，13
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为a 2＋b 2＝c 2时，则三角形为直角三角形.
【详解】解：A 、52＋62≠72，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
B 、42＋52≠62，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
C 、62＋72≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；
D 、52＋122＝132，符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．
故选：D ．
【点睛】
此题考查的知识点是勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足：a 2＋b 2＝c 2时，则该三角形是直角三角形．解答时只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
10．下列说法： ①解分式方程一定会产生增根； ②方程
2244
x x x --+＝0的根为2； ③方程11224=-x x 的最简公分母为2x （2x ﹣4）； ④x+11x -＝1+11x -是分式方程． 其中正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】A
【分析】根据分式方程的定义、增根的概念及最简公分母的定义解答．
【详解】①解分式方程不一定会产生增根，故错误， ②方程
2244x x x --+＝0的根为2，当x=2时分母为0，所以x=2是增根，故错误， ③方程11224
=-x x 的最简公分母为2x （x ﹣2），故错误，
④根据分式方程的定义可知x+11x -＝1+11
x -是分式方程， 综上所述：①、②、③错误，④正确，共一个选项正确，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查解分式方程，需明确分式的定义及解法．
二、填空题
11．若二次根式4x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_____________．
【答案】x ≤4
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可.
【详解】解：由题意，得 4-x ≥0
解得 x ≤4.
故答案为x ≤4.
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件.二次根式的被开方数是非负数.
12．如图，△ABC ≌△DEC ，∠ACD ＝28°，则∠BCE ＝_____°．
【答案】1
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB ＝∠DCE ，再根据等式的性质两边同时减去∠ACE 可得结论．
【详解】证明：∵△ABC ≌△DEC ，
∴∠ACB ＝∠DCE ，
∴∠ACB ﹣∠ACE ＝∠DCE ﹣∠ACE ，
即∠ACD ＝∠BCE ＝1°．
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等．
13．分解因式3218m m -=____________．
【答案】2(3)(3)m m m -+
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式即可求解．
【详解】3218m m -=2
2(9)2(3)(3)m m m m m -=-+
故答案为：2(3)(3)m m m -+．
【点睛】
此题主要考查因式分解，解题的关键是熟知因式分解的方法．
14．分解因式：﹣x 2+6x ﹣9＝_____．
【答案】﹣（x ﹣3）2
【分析】原式提取﹣1，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式＝﹣（x 2﹣6x+9）＝﹣（x ﹣3）2，
故答案为：﹣（x ﹣3）2，
【点睛】
本题考查了公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解题的关键．
15．定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在“等对角四边形ABCD” 中，60,90,4,2DAB ABC AB CD ∠=︒∠=︒==，则边 BC 的长是___________． 【答案】432-或434-
【分析】根据四边形有两组对角，分别讨论每一组对角相等的情况，再解直角三角形即可求解．
【详解】解：分两种情况：
情况一：ADC=∠ABC=90°时，延长AD ，BC 相交于点E ，如图所示：
∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AB=4
∴∠E=30°，AE=2AB=8，
且3CD=23AD=AE-DE=823-
连接AC ，在Rt △ACD 中，2222(823)26432316AD CD ， 在Rt △ABC 中，2
22264323(434)BC AC AB
∴434BC =；
情况二：∠BCD=∠DAB=60°时，
过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥BC 于点N ，如图所示：
则∠AMD=∠DNB=90°，∴四边形BNDM 是矩形，
∵BCD ∠=60°，∴3sin 22DN DN BCD CD ， ∴3DN =，112
CN CD ==， ∵∠DAB=60°，∠DMA=90°，且AM=AB-BM=AB-DN=4-3，
∴tan tan603DM DAB
AM ， ∴3433DM
AM ， ∴433BN DM ，
∴1433432BC CN BN =+=+-=-，
综上所述，432BC
或434BC =-， 故答案为：432BC
或434BC =-．
【点睛】
本题借助“等对角四边形”这个新定义考查了解直角三角形及勾股定理，熟练掌握特殊角的三角函数及求值是解决本题的关键．
16．一个容器由上下竖直放置的两个圆柱体A ，B 连接而成，向该容器内匀速注水，容器内水面的高度h(厘米)与注水时间t(分钟)的函数关系如图所示，若上面A 圆柱体的底面积是10厘米2，下面B 圆柱体的底面积是50厘米2，则每分钟向容器内注水________厘米1．
【答案】2
【分析】设每分钟向容器内注水a 厘米1，圆柱体A 的高度为h ，根据10分钟注满圆柱体A ；再用9分钟容器全部注满，容器的高度为10，即可求解．
【详解】解：设每分钟向容器内注水a 厘米1，圆柱体A 的高度为h ，由题意得
由题意得：(
)105030109a h h a =⎧⎨-=⎩， 解得：a=2，h=4，
故答案为：2．
【点睛】
主要考查了函数图象的读图能力，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
17．如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y ＝x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为__.
【答案】 (－12，－12
) 【解析】试题解析：先过点A 作AB′⊥OB ，垂足为点B′，由垂线段最短可知，当B′与点B 重合时AB 最短，
∵点B 在直线y=x 上运动，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
过B′作B′C ⊥x 轴，垂足为C ，
∴△B′CO 为等腰直角三角形，
∵点A 的坐标为（﹣1，0），
∴OC=CB′=
12OA=12×1=12， ∴B′坐标为（﹣12，﹣12）， 即当线段AB 最短时，点B 的坐标为（﹣
12，﹣12
）． 考点：一次函数综合题．
三、解答题
18．如图，点C 在BE 上，AB BE ⊥，DE BE ⊥且AB CE =，AC CD =．
求证：（1）ABC CED ∆∆≌；
（2）AC CD ⊥．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）直接利用HL 即可证明Rt ABC Rt CED ∆∆≌；
（2）根据全等三角形的性质得出A DCE ∠=∠，然后通过等量代换得出90ACD ∠=︒,即可证明结论．
【详解】（1）AB BE ⊥，DE BE ⊥，
90B E ∠=∠=∴°，
在Rt ABC ∆和Rt CED ∆中，
AC CD AB CE =⎧⎨=⎩
， ()Rt ABC Rt CED HL ∆∆∴≌．
（2）由（1）知Rt ABC Rt CED ∆∆≌．
A DCE ∠=∠∴，
90A ACB ∴∠+∠=︒，
90DCE ACB ∠+∠=∴°，
∴180()90ACD DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒
AC CD ∴⊥．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键．
19．解下列方程并检验 (1)27
1326
x x x +=++ (2)313221x x
+=-- 【答案】 (1) x=16；(2) x=76 【分析】（1）两边都乘以2(x+3)，把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）两边都乘以2(x-1)，把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：(1)两边都乘以2(x+3)，去分母得：4x+2x+6=7，。