高考数学百所名校备考模拟试题

2012年高考数学百所名校备考(新课标)
模拟试题09
【重组报告】试题紧扣2012年《考试大纲》，题目新颖，难度适中。

本卷注重对基础知识和数学思想方法的全面考查，同时又强调考查学生的基本能力。

选择题与填空题主要体现了基础知识与数学思想方法的考查；第17、18、19、20、21题分别从三角函数、概率统计、立体几何、解析几何、函数与导数等主干知识进行了基础知识、数学思想方法及基本能力的考查。

试卷整体体现坚持注重基础知识，全面考查了理解能力、推理能力、分析解决问题的能力，非常适合考前训练。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. (河南省郑州市2012届高三第一次质量预测)集合A=｛0，1,2｝，B=｛12x x -<<｝，则=B A （ ）
A. ｛0｝
B. ｛1｝
C. ｛0，1｝
D. ｛0，1,2｝ 【答案】C 【解析】
{0,1,2},{|12},{0,1}.A B x x A B ==-<<∴=
2. (安徽省“江南十校”2012年3月高三联考)已知i 为虚数单位，复数，则复数z
在复平面上的对应点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 【答案】B 【解析】∵()()()()
13113133
121112i i i i i z i i i i +⋅++++-=
===-+--⋅+，∴选B. 3. (福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)命题“0,>∈∀x
e R x ”的否定是（ ） A.0,≤∈∀x
e R x B.0,≤∈∃x
e R x C. 0,>∈∃x
e R x D.0,<∈∀x
e R x 【答案】B
【解析】0,≤∈∃x
e R x .
4. (湖南省张家界2012届高三学情调研测试)设数列{
}是等差数列，若
，
则：
（ ）
(A) 14 (B) 21
(C) 28
(D) 35
【答案】C
【解析】由34512a a a ++=得44a =，所以17123747()
7282
a a a a a a a +++++=
==. 5．(湖南省吉首一中
2012
届高三第二次月考)设
()
()13.0log ,3.0,2223.0>+===x x c b a x ，则c b a ,,的大小关系是（ ）
A ．c b a <<
B ．c a b <<
C ．a b c <<
D ．a c b << 【答案】B
【解析】因为()()0.3
222221,00.31,log 0.3log 21x x a b c x x x >=><=<=+>=>
故选择B.
6．(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)在ABC ∆中，点O 在线段BC 的延长线上，且与点C 不重合，若()AC x AB x AO -+=1，则实数x 的取值范围是（ ） A. )0,(-∞ B. ),0(+∞ C. )0,1(- D.)1,0(
7. (湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考) 函数)3
sin(sin x x y -+=π
具有性质（ ）
A ．图象关于点(,0)3
π
-
对称，最大值为1； B ．图象关于点(,0)6
π
-
对称，最大值为2；
C ．图象关于直线3
x π
=-对称，最大值为2；D ．图象关于直线6
x π
=-
对称，最大值为1
【答案】A
【解析】因为)3
sin(sin x x y -+=π
=sin sin
cos cos
sin 3
3
x x x π
π
+-=sin()3
x π
+
，所以
最大值为1,又当3
x π
=-
时,0y =,故选A.
8.(湖南省益阳第一中学2012届高三第一次月考)三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且长度分别为3、4、5，则三棱锥P-ABC 外接球的表面积是( )
A ．202π B.252π C.50π D.200π
9．(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的
左焦点F 引圆222a y x =+的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点.P 若T 为线段
FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为( )
A.0=±y x
B. 02=±y x
C. 04=±y x
D.02=±y x 【答案】B
【解析】设双曲线的右焦点为'
F ，则'22,PF OT a =='2,4,PF PF a PF a -==所以
()
()()2
22
22242,5,c a a c a =+=224b a =，
2,b
a
=渐近线方程为2.y x =± 10. (山东省青岛市2012届高三上学期期末检测理科10)以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆2
2
2690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是( ) A ．23x y =或2
3x y -= B ．2
3x y =
C ．x y 92-=或2
3x y = D ．2
3x y -=或x y 92
=
【答案】D
【解析】由2
2
2690x y x y +-++=可知圆心坐标为(1,3)-，设抛物线方程为2
2x py =-或
22y px =，将点(1,3)-分别代入得23x y -=或x y 92=.
11．(浙江省台州中学2012届高三下学期第二次统练文科)定义域为R 的函数()f x 对任意
x ∈R 都有()(4)f x f x =-，且其导函数()f x '满足(2)()0x f x '->，则当24a <<时，
有( )
(A) 2(2)(2)(log )a f f f a << (B) 2(2)(2)(log )a f f f a << (C) 2(2)(log )(2)a f f a f <<
(D) 2(log )(2)(2)a f a f f <<
【答案】C
【解析】本题考查函数与导数,解不等式.
12.(北京市东城区2012年4月高考一模)已知函数21,0,
()(1),0.
x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩若方程
()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是( )
（A ）(),1-∞ （B ）(],1-∞ （C ）()0,1 （D ）[)0,+∞ 【答案】A
【解析】方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根等价于函数()f x 的图象与直线
y x a =+有且只有两个不同的交点,画出图象可得选项A 正确.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13.(湖南省衡阳八中2012届高三第三次月考理科10)已知
||||||2a b a b ==-=，则
|32|a b -= .
【答案】27
【解析】因为22||||2||4424a b a ab b ab -=-+=+-=,所以解得2ab =,所以
222|32|9||4||12a b a b ab -=+-=36+16-24=28,故|32|a b -=27.
14. (安徽省“江南十校”2012年3月高三联考)若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，其中正视图与俯视图均为等腰三角形，则此多面体的表面积为________cm 2.v
【答案】32122+【解析】由三视图知：多面体为右图所示，其表面积为：
2111
64542642(32122)222
S cm =⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=+
15. (江苏省盐城市2012届高三第二次模拟)一根绳子长为6米，绳上有5个节点将绳子6等分，现从5个节点中随机选一个将绳子剪断，则所得的两段绳长均不小于2米的概率为．
【答案】3 5
【解析】本题考查几何概型.
16.(福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查)在约束条件
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
-
+
≤
≤
1
,2
,1
:
y
x
y
x
下，目标函数)0
,0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z的最大值为1，则ab的最大值等于_____ ．
【答案】
1
8
【解析】画出可行域知)0
,0
(>
>
+
=b
a
by
ax
z过()
1,2取得最大值，所以21
a b
+=，()2
1121
2.
2228
a b
ab a b
+
⎛⎫
=⋅≤⨯=
⎪
⎝⎭
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(江西省南昌二中2012届高三第三次月考)设锐角△ABC的三内角A、B、C的对边分别为
,,
a b c，向量(1,sin3cos)
m A A
=+，
3
(sin,)
2
n A
=，且m与n共线。

（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若2
a=，43sin
c B
=，且△ABC的面积小于3，求角B的取值范围。

【解析】
18．（理科）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共12分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.
（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X （单位：万元），求X 的分布列； （Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.
【解析】（Ⅰ）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，3-. …………2分 (10)P X =0.80.90.72=⨯=， (5)0.20.90.18P X ==⨯= ， (2)0.80.10.08P X ==⨯=， (3)0.20.10.02P X =-=⨯=. …6分 由此得X 的分布列为：
X 10 5 2 3- P
0.72
0.18
0.08
0.02
……8分
18.（文科）(北京市东城区2012年4月高考一模文科)（本小题共12分）
某班同学利用寒假在5个居民小区内选择两个小区逐户进行一次“低碳生活习惯”的调查，以计算每户的碳月排放量．若月排放量符合低碳标准的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．若小区内有至少%75的住户属于“低碳族”，则称这个小区为“低碳小区”，否则称为“非低碳小区” ．已知备选的5个居民小区中有三个非低碳小区，两个低碳小区.
（Ⅰ）求所选的两个小区恰有一个为“非低碳小区”的概率；
（Ⅱ）假定选择的“非低碳小区”为小区A ，调查显示其“低碳族”的比例为
2
1
，数据如图1所示，经过同学们的大力宣传，三个月后，又进行了一次调查，数据如图2所示，问这
时小区A 是否达到“低碳小区”的标准？
【解析】（Ⅰ）设三个“非低碳小区”为C B A ,,，两个“低碳小区”为
,,m n …………2分
用),(y x 表示选定的两个小区，{},,,,,x y A B C m n ∈，
则从5个小区中任选两个小区,所有可能的结果有10个，它们是(,)A B ，(,)A C ，(,)A m ，
(,)A n ,(,)B C ,(,)B m ,(,)B n ,(,)C m ,(,)C n ，(,)m n . …………4分
用D 表示：“选出的两个小区恰有一个为非低碳小区”这一事件，则D 中的结果有6个，它们是：(,)A m ，(,)A n ,(,)B m ,(,)B n ，(,)C m ,(,)C n . ………6分 故所求概率为63
()105
P D =
=. …………7分 （II ）由图1可知月碳排放量不超过300千克的成为“低碳族”. …………10分
由图2可知，三个月后的低碳族的比例为0.070.230.460.760.75++=>，…………11分 所以三个月后小区A 达到了“低碳小区”标准. …………12分 19．（理科）(北京市东城区2012年4月高考一模理科)（本小题共12分）
如图1，在边长为3的正三角形ABC 中，E ，F ，P 分别为AB ，AC ，BC 上的点，且满足1AE FC CP ===.将△AEF 沿EF 折起到△1A EF 的位置，使二面角
1A EF B --成直二面角，连结1A B ，1A P .（如图2）
（Ⅰ）求证：E A 1⊥平面BEP ；
（Ⅱ）求直线E A 1与平面BP A 1所成角的大小.
y
z A 1
F C
P
B E
【解析】（Ⅰ）证明：取BE 中点D ，连结DF .
因为1AE CF ==，1DE =，
所以2AF AD ==，而60A ∠=，即△ADF 是正三角形.
又因为1AE ED ==, 所以EF AD ⊥. …………2分 所以在图2中有1A E EF ⊥，BE EF ⊥.…………3分 图1
所以1A EB ∠为二面角1A EF B --的平面角.
又二面角1A EF B --为直二面角，
所以1A E BE ⊥. …………5分 又因为BE
EF E =,
所以1A E ⊥平面BEF ,即1A E ⊥平面BEP . …………6分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知1A E ⊥平面BEP ，BE EF ⊥，如图，以E 为原点，建立空间直角坐标系E xyz -，
则(0,0,0)E ，1(0,0,1)A ，(2,0,0)B ，3,0)F . 在图１中，连结DP . 因为
1
2
CF CP FA PB ==， 所以PF ∥BE ，且1
2
PF BE DE ==.
所以四边形EFPD 为平行四边形. 所以EF ∥DP ，且EF DP =.
故点P 的坐标为（1，3，0）. 图2
所以1
(2,0,1)A B =-， (1,3,0)BP =-，1(0,0,1)EA =. …………8分
不妨设平面1A BP 的法向量(,,)x y z =n ，则10,
0.
A B BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
即20,
30.
x z x y -=⎧⎪⎨
-=⎪⎩令3y =，得(3,3,6)=n . …………10分
所以cos 〈1EA 〉n,113
2||||
143
EA EA ⋅=
=
=⨯n n . …………11分 故直线1A E 与平面1A BP 所成角的大小为
3
π
. …………12分 19. （文科）(河南省郑州市2012届高三第一次质量预测文19)（本小题满分12分） 如图，在四棱锥S-ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD=3AB=3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE=ED=3，SE ⊥AD. （Ⅰ）证明：平面SBE ⊥平面SEC; （Ⅱ）若SE=1，求三棱锥E-SBC 的高.
【命题分析】本题考查面面垂直的证明以及线面角的求法，考查学生的空间想象能力和计算能力。

在解答第二问中抓住面面垂直的性质定理确定线段EG 的长即为三棱锥E -SBC 的高是解题的关键. 【解析】（Ⅰ）证明:
平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD
平面ABCD AD =,
SE ⊂平面SAD ，SE AD ⊥， SE ∴⊥平面ABCD . …………2分
（Ⅱ）如图，作EF ⊥BC 于F ,连结SF .由BC ⊥SE ,SE 和EF 相交得，
BC ⊥平面SEF ,由BC 在平面SBC 内，得平面SEF ⊥平面SBC .
作EG ⊥SF 于G ,
则EG ⊥平面SBC .即线段EG 的长即为三棱锥E -SBC 的高.…………9分 由SE =1，BE =2，CE
=BC =4，EF
在Rt SEF ∆
中，ES EF EG SF ⋅=
=
, 所以三棱锥E -SBC
…………12分 20．（福建省福州市2012年3月高中毕业班质量检查）（本小题满分12分） 在数列}{n a 中，21=a ，点))(,(1N n a a n n ∈+在直线x y 2=上． (I)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)若n n a b 2log =，求数列}1
{
1
+⋅n n b b 的前n 项和n T ．
【解析】（Ⅰ）由已知得12n n a a +=，所以
1
2n n
a a += 又12a =， 所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， 所以1*122()n n n a a n -=⋅=∈N ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2n n a =，所以2log ,n n b a n == 所以
11111
(1)1
n n b b n n n n +==-⋅⋅++, 所以1111111
11223341n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=-+-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1111n n n =-
=++. 21．（安徽省安庆市2012年3月高三第二次模拟考试）（本小题满分12分） 已知：函数f(x)＝
2
212ln (0)2
x ax a x a +-≠ （I ）求f(x)的单调区间
（II ）若f(x) >0恒成立，求a 的取值范围． 【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域为),0(+∞，
x a x a x x a ax x x a a x x f )
)(2(22)(222'
-+=-+=-+=
………2分
（1）当0<a 时，在)2,0(a -上0)('<x f ，在),2(+∞-a 上0)('>x f ，
因此，)(x f 在)2,0(a -上递减，在),2(+∞-a 上递增. ………4分
（2）当0>a 时，在),0(a 上0)('<x f ，在),(+∞a 上0)('>x f ，
因此，)(x f 在),0(a 上递减，在),(+∞a 上递增. ………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知：0<a 时，
)2ln(2)2ln(222)2()(2222min a a a a a a a f x f --=---=-=
02
11200)2ln(:0)(<<-
⇒<-<⇒<->a a a x f 得由. ………9分 当0>a 时，a a a a a a a a f x f ln 223ln 221)()(22222min -=-+==， 43
2204
3ln 0ln 2230)(e a a a a a x f <<⇒<⇒>->得：由. ………11分 综上得：341(,0)(0,)2a e ∈-. ………12分 22．(山东省临沂市2012年3月高三一模)（本小题满分14分）
已知抛物线 y x 42
=的焦点是椭圆 )0(1:22
22>>=+b a b y n x C 一个顶点，椭圆 C 的离心率为2
3.另有一圆O 圆心在坐标原点，半径为.22b a + (I)求椭圆C 和圆O 的方程；
(Ⅱ)已知过点),0(22b a P +的直线l 与椭圆C 在第一象限内只有一个公共点，求直线l 被圆O 截得的弦长；
(Ⅲ)已知),(00y x M 是圆O 上任意一点，过M ⋅点作直线21,l l ，使得21,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，求证：21l l ⊥ .
所以直线l 斜率存在，设l 方程为)0(5<+=k kx y . 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14
,522y x kx y 得4)5(422=++kx x ， 即01658)41(22=+++kx x k . 则0)41(64)58(22=+-=∆k k ，
,12=∴k 又1,0-=∴<k k .
所以直线l 方程为5+-=x y .
圆心O 到直线l 的距离2102
5==d ， 所以直线l 被圆O 截得的弦长为10
210522=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-. (III)若点M 的坐标为)1,2(),1,2(),1,2).(1,2(----，则过这四点分别作满足条件的直线1l ，2l ，若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则⋅⊥21l l
若直线1l ，2l 斜率都存在，则设过M 与椭圆只有一个公共点的直线方程为)(00x x k y y -=-，
由()⎪⎩
⎪⎨⎧=+-+=1422
00y x kx y kx y 得,4)]([42002=-++kx y kx x。