(人教版)哈尔滨市九年级数学下册第二单元《相似》检测(含答案解析)

一、选择题
1．如图，AB 为半圆O 的直径，10AB =，AC 为O 的弦，8AC =，D 为AB 的中点，DM AC ⊥于M ，则DM 的长为（ ）
A ．
42 B
．2 C ．1 D ．3
2．如图，在▱ABCD 中，M 、N 为BD 的三等分点，连接CM 并延长交AB 与点E ，连接EN 并延长交CD 于点F ，则DF ：FC 等于（ ）．
A ．1：2
B ．1：3
C ．2：3
D ．1：4
3．如图，ABC 和CDE △都是等边三角形，点G 在CA 的延长线上，GB GE =，若10BE CG +=，32
AG BE =，则AF 的长为（ ）
A ．1
B ．43
C ．95
D ．2
4．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90⁰，34
BC AB =，D 是AB 边上一点，过D 作DE ⊥AB 交AC 于点E ，过D 作DF ∥AC 交BC 于点F ，连接BE 交DF 于H ．若DH=DE ，则
DEH FBH S S ∆∆为（ ）
A ．23
B ．34
C ．49
D ．916
5．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列各式中不正确的是（ ）． A ．::AB AC AC BC =
B ．35B
C AB -= C ．51AC AB +=
D ．0.618AC AB ≈
7．如图，比例规是伽利略发明的一种画图工具，使用它可以把线段按一定比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD 和BC 交叉构成的．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使3OA OD =，3OB OC =），然后张开两脚，使A 、B 两个尖端分别在线段I 的两个端点上．若12AB cm =，则CD 的长是（ ）
A ．3cm
B ．4cm
C ．6cm
D ．8cm 8．如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 在原点，边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，如果OA B ''△与OAB 关于点O 位似，且OA B ''△的面积等于OAB 面积的14，则点B '的坐标为（ ）
A ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭或3,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭
C ．()3,2
D ．()3,2或()3,2--
9．下列条件中，不能判断△ABC 与△DEF 相似的是（ ）
A ．∠A =∠D ，∠
B =∠F
B ．B
C AC EF DF =且∠B =∠
D C ．AB BC AC D
E E
F DF
== D ．AB AC DE DF =且∠A =∠D 10．已知如图，DE 是△ABC 的中位线，AF 是BC 边上的中线，DE 、AF 交于点O ．现有以下结论：
①DE ∥BC ；②OD ＝14
BC ；③AO ＝FO ；④AOD S ＝14ABC S ．
其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11．如图，直线l 1//l 2//l 3，分别交直线m 、n 于点A 、B 、C 、D 、E 、F ．若AB ∶BC ＝5∶3，DE ＝15，则EF 的长为（ ）
A ．6
B ．9
C ．10
D ．25
12．如图，正方形ABCD 中，ABC 绕点A 逆时针旋转到AB C ''△，AB '、AC '分别交对角线BD 于点E 、F ，若4AE =，则EF ED ⋅的值为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．16
二、填空题
13．如图，在Rt ABC 中，90ACB ︒∠=，5AC =，12BC =，D 、E 分别是边BC 、AC 上的两个动点，且8DE =，P 是DE 的中点，连接PA ，PB ，则13
PA PB +
的最小值为________．
14．在梯形ABCD 中，//AD BC ，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，
:1:9AOD COB S S =，那么BOC DOC S S =△△:__________．
15．如图，在Rt ACB 中，90C ∠=︒，30ABC ∠=︒，4AC =，N 是斜边AB 上方一点，连接BN ，点D 是BC 的中点，DM 垂直平分BN ，交AB 于点E ，连接DN ，交
AB 于点F ，当ANF 为直角三角形时，线段AE 的长为________．
16．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，AD=AC ，以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交AC 于点E ，连接DE 、BE ，并延长BE 交CD 于点F ，下列结论：①△BAC ≌ △EAD ，②BC+CF=DE+EF ，③∠ABE+∠ADE=∠BCD ，其中正确的有____（填序号）
17．如图，EF 是ABC 纸片的中位线，将AEF 沿EF 所在的直线折叠，点A 落在BC 边上的点D 处，已知AEF 的面积为7，则图中阴影部分的面积为______．
18．如图，90A B ∠=∠=︒，AB a ，AD BC <，在边AB 上取点P ，使得PAD △，PBC 与PDC △两两相似，则AP 长为___________．（结果用含a 的代数式表示）
19．若2a c e b d f
===，且4b d f ++=，则a c e ++=_______． 20．如图，已知△ABC 中，若BC ＝6，△ABC 的面积为12，四边形DEFG 是△ABC 的内接的正方形，则正方形DEFG 的边长是__．
三、解答题
21．定义：若一个四边形能被其中一条对角线分割成两个相似三角形，则称这个四边形为“友爱四边形”，这条对角线叫“友爱线”．
（1）如图1，在44⨯的正方形网格中，有一个网格Rt ABC △和两个网格四边形ABCD 与四边形ABCE ，其中是被AC 分割成的“友爱四边形”的是______．
（2）如图2，四边形ABCD 是“友爱四边形”，对角线AC 是“友爱线”，同时也是BCD ∠的角平分线，若ABC 中，2AB =，3BC =，4AC =，求友爱四边形ABCD 的周长．
（3）如图3，在ABC 中，AB BC ≠，60ABC ∠=︒，ABC 的面积为33，点D 是ABC ∠的平分线上一点，连接AD ，CD ．若四边形ABCD 是被BD 分割成的“友爱四边形”，求BD 的长．
22．如图，AB 是ABC 的内接圆O 的直径，点D 在半圆上，DC 与AB 交于点E ，12∠=∠，过点C 作CF DC ⊥交DB 的延长线于点F ，交圆O 于点G ．
（1）当105DF =，:1:2AE EC =时，求圆O 的半径．
（2）在（2）的条件下，连接DG 交BC 于点M ，则:OMB DGF S S =△△______．（直接写出答案）
23．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC 的顶点都在格点上．
（1）以原点O 为位似中心，在第三象限内画出将ABC 放大为原来的2倍后的位似图形111A B C △．
（2）已知ABC 的面积为72
，则111A B C △的面积是_________． 24．如图，建筑物BC 上有一个旗杆AB ，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量该建筑物的高度，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED ，小明沿CD 后退，发现地面上的点F 、树顶E 、旗杆顶端A 恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G 、树顶E 、建筑物顶端B 恰好在一条直线上，已知旗杆3AB =米，4DE =米，5DF =米，1.5FG =米，点、、A B C 在一条直线上，点C D F G 、、、在一条直线上，AC ED 、均垂直于CG ，根据以上信息，请求出这座建筑物的高BC ．
25．如图，ABC ∆中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，动点P 从点B 出发以2cm/s 速度向点C 移动，同时动点Q 从C 出发以1cm/s 的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t 秒．
（1）根据题意知：CQ ＝ cm ，CP ＝ cm ；（用含t 的代数式表示） （2）t 为何值时，CPQ ∆与ABC ∆相似．
26．黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于图案设计，下图是一个包装盒的俯视图，线段AB是这个俯视图的中轴线．某公司想在中轴线AB上找到黄金分割点，安装视频播放器．
（1）请你用尺规作图的方式找出这个点（作出一点即可，保留作图痕迹）；
（2）请证明你找到的点是黄金分割点．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
如图，连接OD交AC于H，连接BC．利用勾股定理求出BC，再利用相似三角形的性质求出OH，AH，DH，证明△DMH∽△AOH，构建关系式即可解决问题．
【详解】
解：如图，连接OD交AC于H，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴226
-=，
BC AB AC
∵AD DB
=，
∴OD⊥AB，
∵∠OAH=∠CAB ，∠AOH=∠ACB=90°，
∴△AOH ∽△ACB ， ∴
OH OA AH BC AC AB
== ∴56810OH AH == ∴1525,44
OH AH ==， ∵DH=OD-OH=155544-
=， ∵DM ⊥AC ，
∵∠DMH=∠AOH=90°，∠DHM=∠AHO ，
∴△DMH ∽△AOH ， ∴DM DH AO AH
=， ∴5
4255
4
DM =， ∴DM=1，
故选：C ．
【点睛】
本题考查勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
2．B
解析：B
【分析】
由题意可得DN=NM=MB ，据此可得DF ：BE=DN ：NB=1：2，再根据BE ：DC=BM ：MD=1：2，AB=DC ，故可得出DF ：FC 的值．
【详解】
解：由题意可得DN=NM=MB ，AB//CD ，AB//BC
∴△DFN ∽△BEN ，△DMC ∽△BME ，
∴DF ：BE=DN ：NB=1：2，BE ：DC=BM ：MD=1：2，
又∵AB=DC ，
∴DF ：AB=1：4，
∴DF ：FC=1：3
故选：B ．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用．
3．C
解析：C
【分析】
过点G 作GH ⊥BE ，垂足为点H ，设BE ＝2x ，进而可表示出相关线段长，再根据CH ＝12CG 列出方程求得x ＝1，最后再根据GAF GDE △∽△可得AF AG DE DG =，进而可求得AF 的长．
【详解】
解：过点G 作GH ⊥BE ，垂足为点H ，
设BE ＝2x ，
∵10BE CG +=，32
AG BE =， ∴CG ＝10－2x ，AG ＝3x ，
∴AC ＝CG －AG ＝10－5x ， ∵ABC 和CDE △都是等边三角形，
∴BC ＝AC ＝10－5x ，CD ＝DE ＝CE ＝BC －BE ＝10－7x ，∠ABC ＝∠DEC ＝∠C ＝60°， ∵GB ＝GE ，GH ⊥BE ，
∴BH ＝HE ＝x ，
∴CH ＝CE ＋HE ＝10－6x ，
∵∠GHC ＝90°，∠C ＝60°，
∴∠HGC ＝30°，
∴CH ＝12
CG ， ∴10－6x ＝
12（10－2x ）， 解得：x ＝1，
∴AG ＝3x ＝3，CG ＝10－2x ＝8，CD ＝DE ＝10－7x ＝3，
∴GD ＝CG －CD ＝5，
∵∠ABC ＝∠DEC ，
∴AB//DE ，
∴GAF GDE ∽，
∴
AF AG DE DG =， 即335
AF =， 解得95
AF =
， 故选：C ．
【点睛】 本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定及性质，设BE ＝2x ，利用含30°的直角三角形的性质列出方程是解决本题的关键．
4．C
解析：C
【分析】
易证DE ∥BC ，可得
34BC DE AB AD ==，因为DH=DE ，得35DE DH AE AE ==，又因为DF ∥AC ，所以
35BH DH BE AE ==，所以32BH HE =，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求得．
【详解】
∵DE ⊥AB ，
∴∠ADE=90°，
∵∠B=90°，
∴∠ADE=∠B ，
∴DE ∥BC ∴
34BC DE AB AD ==，△DEH ∽△FBH ∴35
DE AE = 又∵DH=DE ∴
35
DE DH AE AE == ∵DF ∥AC ∴35
BH DH BE AE == ∴32
BH HE = ∴4=9DEH FBH S S ∆∆ 故选C
【点睛】
本题考查相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】
解：A 、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
B 、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
C 、形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，故不符合题意；
D 、形状不相同，不符合相似形的定义，故符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是相似形的定义，是基础题．
6．C
解析：C
【分析】
根据黄金分割点的定义逐项排除即可．
【详解】
解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，
∴2AC BC AB =⋅，
∴::AB AC AC BC =，则选项A 正确；
∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，
∴0.618AC AB =≈，则选项C 错误；选项D 正确；
1322
BC AB AC AB AB AB =-=-
=，则选项B 正确. 故选：C ．
【点睛】 本题考查了成比例线段，熟练掌握黄金分割的定义成为解答本题关键．
7．B
解析：B
【分析】
首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的性质求解.
【详解】
∵OA =3OD ，OB =3OC ，
∴3OA OB OD OC
==， ∵AD 与BC 相交于点O ，
∴∠AOB =∠DOC ，
∴△AOB ∽△DOC ， ∴3AB OA DC OD
==， ∵12AB cm =
∴CD=
12433
AB ==cm, 故选B.
【点睛】 本题考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，学会利用相似三角形的性质解决问题，属于中考常考题型.
8．D
解析：D
【分析】
由OA B ''△与OAB 关于点O 位似，且OA B ''△的面积等于OAB 面积的14
，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得OA B ''△与OAB 的位似比为1：2，又由点B 的坐标为（6，4），即可求得答案．
【详解】
解：∵OA B ''△与OAB 关于点O 位似，
∴OA B ''△∽OAB ，
∵OA B ''△的面积等于OAB 面积的
14， ∴位似比为1：2，
∵点B 的坐标为（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（-3，-2）．
故选D ．
【点睛】
此题考查了位似图形的性质．此题难度不大，注意位似图形是特殊的相似图形，注意掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方定理的应用，注意数形结合思想的应用． 9．B
解析：B
【分析】
直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
【详解】
解：A 、A D ∠=∠，B F ∠=∠，根据有两组角对应相等的两个三角形相似，可以得出
ABC DFE ∽△△，故此选项不合题意；
B 、B
C AC EF DF
=，且B D ∠=∠，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意； C 、AB BC AC DE EF DF
==，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；
D 、AB AC D
E DF
=且A D ∠=∠，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可以得出ABC DEF ∽△△，故此选项不合题意；
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 10．C
解析：C
【分析】
①根据三角形中位线定理进行判断；②根据三角形中位线定理进行判断；③根据三角形中位线定理进行判断；④由相似三角形△ADO ∽△ABF 的面积之比等于相似比的平方进行判断．
【详解】
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE ∥BC ，故①正确；
∴DE=
12BC ， ∴OD=12
BF ， ∵AF 是BC 边上的中线，
∴BF=12
BC ， ∴OD=
12BF=14
BC ，故②正确； ∵DE 是△ABC 的中位线，
∴AD=DB ，DE ∥BC ，
∴AO ＝FO ，故③正确；
④∵DE ∥BC ，即DO ∥BF ，
∴△ADO ∽△ABF ，
∴22ADO ABF 1124
S AD S AB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵AF 是BC 边上的中线，
∴ABF ABC 12S
S =， ∴ADO ABC
18S S =，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③，共3个．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质．本题利用了“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”的性质．正确的识别图形是解题的关键．
11．B 解析：B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】
解：∵l 1∥l 2∥l 3，DE=15，
∴
53DE AB EF BC ==，即1553
EF =， 解得，EF=9，
故选：B ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 12．D
解析：D
【分析】
先根据正方形的性质、旋转的性质可得45EAF EDA ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定与性质即可得．
【详解】
四边形ABCD 是正方形，
45BAC EDA ∴∠=∠=︒，
由旋转的性质得：B AC BAC ''∠=∠，
B A
C EDA ''∴∠=∠，即EAF EDA ∠=∠，
在AEF 和DEA △中，EAF EDA AEF DEA
∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， AEF DEA ∴~，
EF AE AE DE ∴=，即44EF DE
=， 16EF DE ∴⋅=，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
二、填空题
13．【分析】在BC 上截取CF ＝连接PFCPAF 通过证明△ACP ∽△PCF 可得则PA+PB ＝PA+PF 当点A 点P 点F 共线时PA+PB 的最小值为AF 由勾股定理可求解
【详解】解：如图：在BC 上截取CF ＝连接P
解析：
241 【分析】 在BC 上截取CF ＝
43
，连接PF ，CP ，AF ．通过证明△ACP ∽△PCF ，可得31=PF BP ，则PA 13+PB ＝PA+PF ，当点A 点P ，点F 共线时．PA+13
PB 的最小值为AF ，由勾股定理可求解．
【详解】 解：如图：在BC 上截取CF ＝43
，连接PF ，CP ，AF ．
∵DE ＝8，P 是DE 的中点，
∴CP ＝12
DE ＝4 ∵5AC =，12BC =，
∵41132==CP BC ，4133
4==CF CP ；
∴
=CP CF BC CP
，且∠FCP ＝∠BCP ∴△PCF ∽△BCP ， ∴13
==PF CF BP CP ， ∴PF ＝
13BP ， ∵PA+13
PB ＝PA+PF ， 当点A 、点P 、点F 共线时，PA+
13PB 的最小值为AF
∴AF 3．
故答案为：
3． 【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，添加恰当的辅助线是解答本题的关键． 14．3：1【分析】根据在梯形ABCD 中AD ∥BC 易得△AOD ∽△COB 且S △COB ：S △AOD=9：1可求=3：1则S △BOC ：S △DOC=3：1【详解】解：根据题意AD ∥BC ∴△AOD ∽△COB ∵S △
解析：3：1
【分析】
根据在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，易得△AOD ∽△COB ，且S △COB ：S △AOD =9：1，可求BO OD
=3：1，则S △BOC ：S △DOC =3：1． 【详解】
解：根据题意，AD ∥BC ，
∴△AOD ∽△COB ，
∵S △AOD ：S △COB =1：9， ∴BO OD
=3：1， 则S △BOC ：S △DOC =3：1，
故答案为：3：1．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
15．或【分析】（1）分别在中应用含角的直角三角形的性质以及勾股定理求得再根据垂直平分线的性质等边三角形的判定和性质等腰三角形的判定求得最后
利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质全等三角形的判定 解析：6或285 【分析】
（1）分别在Rt ACB ∆、Rt BDF ∆、Rt DEF ∆中应用含30角的直角三角形的性质以及勾股定理求得1EF =，2DE =，再根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定求得2BE =，最后利用线段的和差即可求得答案；根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、分线段成比例定理可证得//DM CN ，然后根据平行线的性质、相似三角形的判定和性质列出方程，解方程即可求得125
BE =
，最后利用线段的和差即可求得答案． 【详解】 解：①当90AFN ∠=︒时，如图1:
∵在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，4AC =，30ABC ∠=︒
∴28AB AC == ∴2243BC AB AC
∵90AFN DFB ∠=∠=︒，30ABC ∠=︒
∴60FDB ∠=︒
∵3==CD DB ∴132
DF BD =
=∴ 在Rt DEF △中，设EF x =，则22DE EF x == ∵222EF DF DE +=
∴()2
2223x x -= ∴1x =
∴1EF =，2DE =
∵DM 垂直平分线段BN
∴DB
DN ∵60FDB ∠=︒ ∴BDN 是等边三角形
∴30FDM EDB EBD ∠=∠=∠=︒
∴2BE DE ==
∴826=-=-=AE AB BE ；
②当90ANF ∠=︒时，连接AD 、CN 交于点O ，过点E 作⊥EH DB 于H ，如图2：
设EH x =，则3BH x =，233DH x = ∵DM 垂直平分线段BN ，点D 是BC 的中点
∴CD DN BD ==
∵AD AD = ∴()Rt ACD Rt AND HL ≌
∵AC AN =
∵CD DN =
∴AD 垂直平分线段CN
∴90AON ∠=︒
∵CD DB =，MN BM =
∴//DM CN
∴90ADM AON ∠=∠=︒
∵90ACD EHD ∠=∠=︒
∴90ADC EDH ∠+∠=︒，90EDH DEH ∠+∠=︒
∴∠=∠ADC DEH
∴
ACD DHE ∽ ∴
AC CD DH EH = ∴23233=-x
∴65x =
∴1225
==BE x ∴1228855
=-=-=AE AB BE ． ∴综上所述，满足条件的AE 的值为6或
285．
故答案是：6或
285
【点睛】 本题考查了垂直平分线的性质和判定、含30角的直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等，渗透了逻辑推理的核心素养以及分类讨论的数学思想．
16．①②③【分析】先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌△EAD 得到①；由全等得到BC=DE 然后再通过证明△ABE ∽△ACD 得到∠ABE=∠ACD=∠AEB 进而再得到CF=EF 得到BC+CF=DE+EF 即
解析：①②③
【分析】
先由已知条件利用SAS 证明△BAC ≌ △EAD ，得到①；由全等得到BC=DE ，然后再通过证明△ABE ∽△ACD ，得到∠ABE=∠ACD=∠AEB ，进而再得到CF=EF ，得到BC+CF=DE+EF ，即②正确；由∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，可得到∠ABE+∠ADE=∠BCD ，即③正确．
【详解】
解：由题意可知，∠BAC=∠CAD ，AB=AE ，
在△BAC 和△EAD 中，
AB AE BAC CAD AC AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∠∠
∴△BAC ≌ △EAD ，故①正确；
∵△BAC ≌ △EAD ，
∴BC=ED ，∠BCA=∠EDA ，
由于AB=AE ，AC=AD ，∠BAC=∠CAD ， ∴AB AE AC AD
=， ∴△ABE ∽△ACD ，且△ABE 和△ACD 都为等腰三角形，
∴∠ABE=∠ACD=∠AEB ，
∵∠AEB=∠CEF ，
∴∠ECF=∠CEF ，
∴CF=EF ，
∴BC+CF=DE+EF ，故②正确；
由以上过程知道∠ABE=∠ACD ，∠BCA=∠EDA ，
∴∠ABE+∠ADE=∠ACD+∠BCA=∠BCD ，故③正确．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确找到全等三角形是解题的关键．
17．14【分析】根据三角形的中位线定理结合相似三角形的性质可以求得△ABC 的面积再根据折叠的性质得到△DEF 的面积从而求解【详解】∵EF 是△ABC 的中位线∴EF ∥BCEF=BC ∴△AEF ∽△ACB ∴∵△
解析：14
【分析】
根据三角形的中位线定理，结合相似三角形的性质可以求得△ABC 的面积，再根据折叠的性质得到△DEF 的面积，从而求解．
【详解】
∵EF 是△ABC 的中位线，
∴EF ∥BC ，EF=
12
BC ， ∴△AEF ∽△ACB ， ∴22AEF ACB 1124S EF S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵△AEF 的面积为7，
∴△ABC 的面积=28，
由折叠的性质得△DEF 的面积为7，
∴图中阴影部分的面积为28-7-7=14．
故答案为：14．
【点睛】
本题综合考查了折叠问题，三角形的中位线定理和相似三角形的判定和性质．关键是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 18．或【分析】根据△PAD △PBC 都是直角三角形△PAD △PBC △PDC 两两相似利用相似三角形性质分类讨论即可；【详解】∵△PAD △PBC 都是直角三角形△PAD △PBC △PDC 两两相似∴△PDC 是直角三
解析：
12a 或13
a 【分析】 根据△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似，利用相似三角形性质分类讨论即可；
【详解】
∵△PAD ，△PBC 都是直角三角形，△PAD ，△PBC ，△PDC 两两相似，
∴△PDC 是直角三角形，
当90DPC ∠=︒时，
∴90APD BPC ∠+∠=︒，
∵90BPC BCP ∠+∠=︒，
∴APD BCP ∠=∠，
∵90A B ∠=∠=︒，
当△△APD PDC 时，
∴APD PDC ∠=∠，此时CD ∥AB ，90ADC ∠=︒，四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC ，与题意矛盾，故不存在这种情况；
当△△APD PCD 时，
∴ADP PDC ∠=∠，APD PCD ∠=∠，
∴PCD BCP ∠=∠，
过点P 作PM CD ⊥于M ，
∴90PMD A ∠=∠=︒，90PMC B ∠=∠=︒，
在△PAD 和△PMD 中，
A PMD ADP MDP PD PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△△PAD PMD ≅，
∴PA=PM ，
在△PBC 和△PMC 中，
B PM
C BCP MCP CP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△△PBC PMC ≅，
∴PB=PM ， ∴12
PA PB AB ==
， ∵AB a ， ∴12
AP a =
； 当90PDC ∠=︒时， 当△△△ADP
DCP BCP 时，
60APD DPC BPC ∠=∠=∠=︒，
∴30ADP ∠=︒， ∴12
AP PD =，
PDC B DPC BPC PC PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△△DPC BPC ≅，
∴PD=PB ， ∴12AP PB =
， ∴1133
AP AB a ==； ∴AP 的长为
12a 或13
a ． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的性质应用，结合全等三角形证明求解是解题的关键． 19．8【分析】根据等比性质可得答案【详解】由等比性质得所以故答案为：8
【点睛】本题考查了比例的性质利用了等比性质
解析：8
【分析】
根据等比性质，可得答案．
【详解】
2a c e b d f
===， 由等比性质，得24
a c e a c e
b d f ++++==++， 所以8a
c e ++=．
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质．
20．【分析】过点作交于点证明（设为得到；证明列出比例式求出即可解决问题【详解】解：如图过点作交于点四边形是正方形（设为则；的面积为12；解得：故答案为：【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质作出辅助线 解析：125
【分析】
过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，证明DE DG MN ==（设为)λ，得到
AM AN λ=-；证明△∽△ADG ABC ，列出比例式446
λλ-=，求出λ即可解决问题． 【详解】
解：如图，过点A 作AN BC ⊥，交DG 于点M ，
四边形DEFG 是正方形，
DE DG MN ∴==（设为)λ，则AM AN λ=-；
6BC =，ABC 的面积为12， ∴1
6122
AN ⨯=， 4AN ∴=，4AM λ=-；
//DG BC ，
ADG ABC ∴∽， ∴446
λλ-=， 解得：125
λ=． 故答案为：
125． 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
三、解答题
21．（1）四边形ABCE ；（2）13或10；（2）3
【分析】
（1）根据勾股定理分别求出三个三角形的各边长，根据三边对应成比例的三角形相似、“友爱四边形”的定义判断；
（2）根据旋转变换的性质、平行线的性质、两角相等的两个三角形相似证明；
（3）AM ⊥BC ，根据含30°的直角三角形的特殊性质及勾股定理用AB 表示出AM ，根据三角形的面积公式得到BC ×AB ＝12，根据相似三角形的性质列式计算，得到答案．
【详解】
解：（1）∵AB ＝2，BC ＝1，AD ＝4，
∴由勾股定理得，AC 2221+5CD 2223+13
AE 2224+＝5CE 2234+5， ∴BC AC ＝AB AE ＝AC CE 5，
∴ABC ∽EAC ，
∴四边形ABCE 是“友爱四边形”， ∵
BC AC ≠AC CD ， ∴ABC 与ACD 不相似，
∴四边形ABCD 不是“友爱四边形”，
故答案为：四边形ABCE ；
（2）∵AC 平分∠BCD ，
∴∠ACB=∠ACD ，
当∠B=∠DAC 时，ABC ∽
DAC ， 则BC AC ＝AB AD ＝AC CD
， ∵2AB =，3BC =，4AC =， ∴34＝2AD ＝4CD
， 解得AD ＝83，CD ＝163
， ∴友爱四边形ABCD 的周长为816321333
+++=； 当∠B=∠D 时，ABC ∽
ADC ， 则BC DC ＝AB AD ＝AC AC
＝1， ∵2AB =，3BC =，4AC =， ∴3DC ＝2AD
＝1， 解得AD ＝2，CD ＝3，
∴友爱四边形ABCD 的周长为233210+++=，
综上所述，友爱四边形ABCD 的周长为13或10；
（3）如图3，过点A 作AM ⊥BC 于M ，
则∠AMB ＝90°，
∵60ABC ∠=︒，
∴∠BAM ＝30°，
∴BM ＝12
AB ， ∴在Rt △ABM 中，AM
，
∵
ABC 的面积为33， ∴12
BC ×3AB ＝33， ∴BC ×AB ＝12，
∵四边形ABCD 是被BD 分割成的“友爱四边形”，且AB ≠BC ，
∴
ABD ∽DBC ∴AB BD BD BC
=， ∴BD 2＝AB ×BC ＝12，
∴BD ＝12＝23．
【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质、三角形的面积计算，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、理解“友爱四边形”的定义是解题的关键．
22．（1）
254；（2）544 【分析】
（1）连接AD ，利用“HL”证明Rt △ADB ≅Rt △ACB ，推出AB ⊥DC ，DE=CE ，再证明BE 为△DCF 的中位线，利用锐角三角函数的定义得到
AD 1BD 2=，再利用勾股定理即可求得⊙O 的半径；
（2）同理先求得DE=5， DC=10，利用勾股定理可求得CG=
152，证明△OBM ~△GCM ，推出56OM MG =，推出OBM
GBM 56
S S =，设OBM 5S a =，则GBM 6S a =，利用三角形的中线平分此三角形的面积，即可推出DGF 44S
a =，即可求得答案．
【详解】
（1）连接AD ，
∵∠1=∠2，
∴AD=AC ，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=∠ACB=90︒，
∴Rt △ADB ≅Rt △ACB(HL)，
∴DB=CB ，∠1=∠3，
∴AB ⊥DC ，
∴DE=CE ，
∵CF ⊥DC ，
∴BE ∥FC ，
∴BE 为△DCF 的中位线，
∴DB=12DF=55， ∵AE ：EC=1：2， ∴AE AD 1tan 3tan 1EC BD 2∠∠==
==， ∴AD=552
， ∴AB=()222252555522
AD BD ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴⊙O 的半径为
254
； （2）连接BG ，
∵CF ⊥DC ，
∴∠ACG=90︒，
∴DG 为⊙O 的直径，
∵DE 1tan 3EB 2
∠==，
∴EB=2DE ，
∵222DE EB BD +=
，即(2
224DE DE +=， ∴DE=5，则DC=2DE=10，
∵222DC CG GD +=，即222
25102CG ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴CG=
152
， ∵BO ∥GC ，
∴△OBM ~△GCM ， ∴OM OB MG CG
=， 则25
54156
2
OM OB MG CG ===， ∴OBM GBM 56
S S =， 设OBM 5S
a =，则GBM 6S a =， ∴GBO 5611S
a a a =+=， ∵点O 为直径DG 的中点， ∴DBO GBO 11S
S a ==， ∴DBG GBO 222S S a ==， ∵点B 为线段DF 的中点，
DGF DBG 244S S a ==，
∴OBM DGF 554444S a S a ==． 故答案为：
544
． 【点睛】
本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，三角形中位线的判定和性质，三角形的中线的性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 23．（1）画图见解析；（2）14
【分析】
（1）给A 、B 、C 三点坐标乘以-2，得到A 1、B 1、C 1的坐标，再描点连接即得到111A B C △； （2）给ABC 的面积乘以4即得111A B C △的面积．
【详解】
（1）如图，111A B C △为所作．
（2）ABC 的面积为
72，位似比为2：1， ∴111A B C △的面积是
272142
⨯=． 故答案为：14．
【点睛】 此题考查位似图形和坐标变换．当位似中心为坐标原点时，位似图形的对应点之坐标比（即横坐标与横坐标之比，纵坐标与纵坐标之比）的绝对值等于位似比．当比值为负时，图形分居原点两侧；当比值为正时，图形在原点一侧．
24．这座建筑物的高BC 为 14米
【分析】
根据两组相似三角形ACF EDF ∆∆∽和BCG EDG ∆∆∽，利用对应边成比例，列出CD 和BC 的关系式，然后解方程求出BC 的长．
【详解】
解：由题意可得90ACF EDF AFC EFD ︒∠∠∠∠＝＝，＝，
ACF EDF ∴∆∆∽，
AC CF ED DF
∴=， 即3545
BC CD ++=， 554BC CD -∴=
， 由题意可得，90BCG EDG BGC EGD ︒∠∠∠∠＝＝，＝，
BCG EDG ∴∆∆∽，
BC CG ED DG
∴=，
即
5 1.545 1.5
BC CD ++=+， 6.54( 6.5)BC CD ∴+＝， 556.54264
BC BC -∴=⨯+， 14BC ∴=，
∴这座建筑物的高BC 为 14米．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形对应边成比例的性质列式求边长．
25．（1）t ；（4﹣2t ）；（2）要使CPQ ∆与CBA ∆相似，运动的时间为1.2或
1611
秒． 【分析】
（1）结合题意，直接得出答案即可；
（2）若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例．设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt ABC Rt QPC ∆∆∽，②若Rt ABC Rt PQC ∆∆∽，然后列方程求解．
【详解】
解：（1）经过t 秒后，CQ ＝t ，CP ＝4﹣2t ，
故答案为：t ；（4﹣2t ）．
（2）设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt ABC Rt QPC ∆∆∽，则
AC QC BC PC =，即3442t t =-，解得t ＝1.2； ②若Rt ABC Rt PQC ∆∆∽，则PC AC QC BC =，即4234t t -=，解得t ＝1611
； 由P 点在BC 边上的运动速度为2cm/s ，Q 点在AC 边上的速度为1cm/s ，可求出t 的取值范围应该为0＜t ＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t 均满足条件．
答：要使CPQ ∆与CBA ∆相似，运动的时间为1.2或
1611秒． 【点睛】
本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．
26．（1）图见解析；（2）见解析
【分析】
（1）过点B 作AB 的垂线，并用圆规在垂线上截取BC ，使BC=12
AB ，连接AC ，以C 为圆心，BC 为半径画弧，交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 为半径画弧，交AB 于E ，则点E 即为线段AB 的黄金分割点；
（2）设BC=a ，则AB=2a ，AC=225AB BC a +=，通过计算证明2AE BE AB =⋅即可
解决问题．
【详解】
（1）如图：点E 即为所求；
（2）设BC=a ，则AB=2a ，
∴225AB BC a +=，
∵CD=BC=a ，
∴5a -a ， ∵2222(5625)AE a a a a =-=-，222(25)625AB BE a a a a a a ⋅=⋅+=-， ∴2AE BE AB =⋅，
∴点E 是线段AB 的黄金分割点．
【点睛】
此题考查黄金分割，黄金分割的作图，勾股定理，正确掌握黄金分割的知识并熟练应用解决问题是解题的关键．。