函数单调性的判断或证明方法之欧阳与创编

函数单调性的判断或证明方法.（1）
时间：2021.03.08 创作：欧阳与
（2）定义法。

用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①取值，设，且；②作差，求
；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）向有利于判断差值符号的方向变形；④定号，判断的正负符号，当符号不确定时，应分类讨论；⑤下结论，根据函数单调性的定义下结论。

例1.判断函数在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
解：设－1<x1<x2，
则f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
∵－1<x1<x2，
∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.
∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．当a<0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．
例2.证明函数在区间和
上是增函数；在上为减函数。

（增两端，减中间）
证明：设，则
因为，所以,
所以，
所以
所以
设
则，
因为，
所以，
所以
所以
同理，可得
（3）运算性质法.
①在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．（增+增=增；减+减=减；增-减=增，减-增=减）
②若.
③当函数
.
④函数
二者有相反的单调性。

⑤运用已知结论，直接判断函数的单调性，如一次函数、反比例函数等。

（3）图像法.根据函数图像的上升或下降判断函数的单调性。

例3.求函数的单调区间。

解：
在同一坐标系下作出函数的图像得
所以函数的单调增区间为
减区间为.
（4）复合函数法.（步骤：①求函数的定义域；②分
解复合函数；③判断内、外层函数的单调性；④根据
复合函数的单调性确定函数的单调性.⑤若集合是内
层函数的一个单调区间，则便是原复合函数的一个单调区间，如例4；若不是内层函
数的一个单调区间，则需把划分成内层函数的若干个单调子区间，这些单调子区间便分别
是原复合函数的单调区间，如例5.）
设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增
异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函
数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数
为减函数。

如下表：
增增增
增减减
减增减
减减增例4.求函数的单调区间
解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；
易知是外层函数的单调增区间；
令，解得的取值范围为；
由于是内层函数的一个单调减区间，于是便是原函数的一个单调区间；
根据复合函数“同增异减”的复合原则知，是原函数的单调减区间。

例5求函数的单调区间.
解原函数是由外层函数和内层函数复合而成的；
易知和都是外层函数的单调减区间；
令，解得的取值范围为；
结合二次函数的图象可知不是内层函数
的一个单调区间，但可以把区间划分
成内层函数的两个单调子区间和，其中
是其单调减区间，是其单调增区间；
于是根据复合函数“同增异减”的复合原则
知，是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。

同理，令，可求得是原函数的单调增区间，是原函数的单调减区间。

综上可知，原函数的单调增区间是和
，单调减区间是和.
（5）含参数函数的单调性问题.
例.设
（先分离常数，即对函数的解析式进行变形，找到基本函数的类型，再分类讨论.）
解：由题意得原函数的定义域为
，当
上为减函数；
当
上为增函数。

（6）抽象函数的单调性.（抽象函数问题是指没有给出解析式，只给出一些特殊条件的函数问题）
常采用定义法.要充分利用已知条件，对变量进行合理赋值，并结合函数单调性的定义进行证明。

例１已知函数对任意实数，均有
．且当＞０时，＞０，试判断的单调性，并说明理由.
解析：设，且，则－＞０，故＞０．
∴－＝－
＝＋－
＝＞０．
∴＜．故在（－，＋）上为增函数．
例2. 设f(x)定义于实数集上，当时，，且对于任意实数x、y，有，求证：
在R上为增函数。

证明：
在中取，得
若，令，则，与矛盾所以，即有
当时，；
当时，而所
以
当时，
所以对任意，恒有
设，则
所以
所以在R上为增函数。

时间：2021.03.08 创作：欧阳与。