2017广州中考数学(解析)

2017年广东省广州市中考数学试卷
满分：150分 版本：北师大版
一、选择题（每小题3分，共10小题，合计48分）
1．（2017广东广州）如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为（ ）
A ．－6
B ．6
C ．0
D ．无法确定
答案：B ，解析：∵只有符号不同的两个数互为相反数，∴－6的相反数是6，即点B 表示6. 2．（2017广东广州）如图2，将正方形ABCD 中的阴影三角绕点A 顺时针．．．旋转90°后，得到的图形为（ ）
A. B. C. D.
答案：A ，解析：选项A 是原阴影三角形绕点A 顺时针旋转90°后得到的；选项B 是原阴影三角形绕点A 顺时针（或逆时针）旋转180°后得到的；选项C 不能由原阴影三角形绕点A 旋转一定度数得到；选项A 是原阴影三角形绕点A 顺时针旋转270°后得到的． 3．（2017广东广州）某6人活动小组为了解本组成员的年龄情况，作了一次调查，统计的年龄如下（单位：岁）：12,13,14,15,15,15.这组数据中的众数，平均数分别为（ ） A ．12,14
B ．12,15
C ．15,14
D ．15,13
答案：C ，解析：该组数据中，15出现的次数最多，故众数是15；该组数据的平均数x －
＝
1
6
(12＋13＋14＋15×3)＝14． 4．（2017广东广州）下列运算正确的是（ ）
A ．
362a b a b ++= B ． 2233
a b a b
++⨯= C 2a a = D ．|a |＝a （a ≥0） 答案：D ，解析：()333==2236a b a b a b
+⨯++⨯，故选项A 不正确；22233a b a b ++⨯=，故选项B ()()
2
00a a a a a a ≥⎧⎪==⎨-<⎪⎩，故选项C 不正确，选项D 正确．
5．（2017广东广州）关于x 的一元二次方程x 2＋8x ＋q ＝0有两个不相等的实数根，则q 的取值范围是（ ）
A ．q ＜16
B ．q ＞16
C ．q ≤4
D ．q ≥4
答案：A ，解析：根据一元二次方程根的判别式，得△＝82－4q ＞0，解得q ＜16. 6．（2017广东广州）如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的（ ） A ．三条边的垂直平分线的交点 B ．三条角平分线的交点 C ．三条中线的交点
D ．三条高的交点
答案：B ，解析：如图，三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点.
7．（2017广东广州）计算()23
2
b a b a
g ，结果是（ ）
A ．a 5b 5
B ．a 4b 5
C ．ab 5
D ．a 5b 6
答案：A ，解析：原式＝a 6b 3·
2
b a
＝a 5b 5． 8．（2017广东广州）如图，E ,F 分别是ABCD 的边AD ，BC 上的点，EF ＝6，∠DEF ＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到 EFC ’D ’，ED ’交BC 于点G ，则△GEF 的周长为（ ）
A ．6
B ．12 C.18 D.24
答案：C ，解析：由折叠的性质可知，∠GEF ＝∠DEF ＝60°.又∵AD ∥BC ，∴∠GFE ＝∠DEF
＝60°，∴△GEF 是等边三角形.∵EF ＝6，∴△GEF 的周长为18．
9．（2017广东广州）如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连接CO ,AD ,∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是（ ）
A ．AD ＝2O
B B ．CE ＝EO
C ．∠OCE ＝40°
D ．∠BOC ＝2∠BAD
答案：D ，解析：如图，连接OD .∵AD 是非直径的弦，OB 是半径，∴AD ≠2OB ，故选项A 不
正确；∵AB⊥CD，∴»»
=
BC BD，∴∠COB＝∠BOD＝2∠BAD＝40°，故选项D正确；∵∠OCE＝
180°－90°－40°＝50°，∴∠COB≠∠OCE，∴CE≠EO，故选项B，C不正确.
10．（2017广东广州）a≠0，函数y＝a
x
与y＝－ax2＋a同一直角坐标系中的大致图象可能是（）
A. B. C. D. 答案：D，解析：由下表可知，选项D符合题意.
a＞0 a＜0
函数y＝a
x
图像位于第一、三象限图像位于第二、四象限
y＝－ax2＋a开口向下，与y轴的交点
（0,a）在y轴的正半轴开口向上，与y轴的交点（0,a）在y轴的负半轴
二、填空题：（每小题3分，共6小题，合计18分）
11．（2017广东广州）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝110°，则∠B＝.
答案：70°，解析：∵AD∥BC，∴∠B＝180°－∠A＝180°－110°＝70°. 12．（2017广东广州）分解因式：xy2－9x＝.
答案：.x(y＋3)(y－3) 解析：原式＝x(x2－9)＝x(y＋3)(y－3).
13．（2017广东广州）当x＝时，二次函数y＝x2－2x＋6有最小值.
答案：1 5 解析：∵y＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，∴当x＝1时，y最小值＝5.
14．（2017广东广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝15，tanA＝15
8
，则AB＝.
答案：17，解析：∵tanA＝BC
AC
，即
15
8
＝
15
AC
，∴AC＝8.根据勾股定理，得AB22
AC BC
+
22
815
+17.
15．（2017广东广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，若圆锥的底面圆半径是5，则圆锥的母线l ＝ .
答案：35 解析：圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的
半径长等于圆锥的母线长，即
120180
l
π⨯＝2π×5，解得l ＝35. 16．（2017广东广州）如图，平面直角坐标系中O 是原点，□ABCD 的顶点A ,C 的坐标分别是（8，0），（3,4），点D ,E 把线段OB 三等分，延长CD ,CE 分别交OA ，AB 于点F ，G ，连接FG ，则下列结论：①F 是OA 的中点；②△OFD 与△BEG 相似；③四边形DEGF 的面积是20
3
；④OD ＝45；
其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
答案：①③ 解析：∵BC ∥OA ，且点D ，E 是OB 的三等分点，∴12BC BD OF OD ==，∴OF ＝1
2
BC ＝12OA ，∴点F 是OA 的中点，故①正确；易证点G 是AB 的中点，∴S △COF ＝S △BCG ＝1
4
S □OABC ，∴S 四边形AFCG ＝12 S □OABC .由点A ，C 的坐标可知S □OABC ＝8×4＝32，S △CDE ＝13S △BOC ＝13×1
2
S □OABC
＝163.∵FG 是△AOB 的中位线，∴S △AFG ＝14S △AFG ＝14×12
S □OABC ＝4，∴S 四边形DEGF ＝S 四边形AFCG
－S △CDE －S △AFG ＝12S □OABC －S △CDE －S △AFG ＝16－163－4＝20
3
，故③正确；由平行四边形的性质可
知点B 的坐标为(11，4)，则OB 22
114+137，∴OD ＝13
OB 137，故④不正确.由于
△OFD 与△BEG 相似的条件不充足，故②不正确.
三、解答题：本大题共9个小题，满分102分． 17．（本小题满分9分）解方程组：5,
2311
x y x y +=⎧⎨+=⎩.
思路分析：利用加减消元法或代入消元法求解. 解：①×3，得
3x ＋3y ＝15③， ③－②，得 x ＝4.
将x ＝4代入①，得 y ＝1.
∴方程组得解为=4,
1
x y ⎧⎨
=⎩. 18．（2017广东广州）（本小题满分9分）如图，点E ,F 在AB 上，AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF . 求证：△ADF ≌△BCE
.
思路分析：根据SAS 证明两个三角形全等. 证明：∵AE ＝BF ， ∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ， 即AF ＝BE .
在△ADF 和△BCE 中，
AD BC A B AF BE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，，
， ∴△ADF ≌△BCE （SAS ）.
19．（2017广东广州）（本小题满分10分）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间 （单位：小时），将学生分成五类：A 类（0≤t ≤2），B 类（2＜t ≤4），C 类（4＜t ≤6），D 类（6＜t ≤8），E 类（t ＞8），绘制成尚不完整的条形统计图如图
11.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）E 类学生有_________人，补全条形统计图； （2）D 类学生人数占被调查总人数的__________%；
（3）从该班做义工时间在0≤t≤4的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在2＜t≤4中的概率．思路分析：（1）∵全班人数为50，∴E类学生人数为50－（2+3+22+18）＝5；（2）D类学生人数占
被调查人数的百分比为18
50
×100%＝36%；（3）先列举所有可能的结果，再利用概率计算公式求解.
解：（1）5，补全条形统计图如图所示：
（2）36；
（3）该班做义工时间在0≤t≤4的学生有5人，其中A类（0≤t≤2）的学生有2人，B类（0≤t≤2）的学生有3人.设这5人分别为A1，A2，B1，B2，B3，从中任选2人，所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10种，其中两人都在2＜t≤4的结果有3种：（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），∴P
（这2人做义工时间都在2＜t≤4）＝
3 10
.
20．（2017广东广州）（本小题满分10分）如图12，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC ＝23.
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若△ADE的周长为a，先化简T＝（a＋1）2－a（a－1），再求T的值．
思路分析：（1）按照线段垂直平分线的尺规作图方法作图；（2）通过解直角三角形求出△ADE的周长为a，再化简、代入求值.
解：（1）如图所示：
（2）∵DE是线段AC的垂直平分线，
∴∠AED＝90°，AE＝1
2
AC＝
1
2
×33
在RtADE中，∠A＝30°，AE3DE＝AE·tanA3
3
3
＝1，AD＝2DE＝2.
∴a＝AD+DE+AE＝＝3
T=（a＋1）2－a（a－1）＝a2＋2a＋1－a2＋a＝3a＋1＝3（+1＝+10.
21．（2017广东广州）（本小题满分12分）甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60
公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的4
3
倍，甲队比
乙队多筑路20天．
（1）求乙队筑路的总公里数；
（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．
思路分析：（1）根据“乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的4
3
倍”求解；（2）根据“甲队
比乙队多筑路20天”列分式方程求解，注意检验.
解：（1）60×4
3
＝80（公里），即乙队筑路的总公里数为80公里.
（2）设甲队每天筑路8x公里，乙队每天筑路5x公里，根据题意，得6080
20
58
x x
-=
解得x＝
1 10
.
经检验，x＝
1
10
是原方程的解且符合题意,
1 10×8＝
4
5
.
答：乙队平均每天筑路4
5
公里.
22．（2017广东广州）（本小题满分12分）将直线y＝3x＋1向下平移1个单位长度，得到直线y＝
3x＋m，若反比例函数y＝k
x
的图象与直线y＝3x＋m相交于点A，且点A的纵坐标是3．
（1）求m和k的值；
（2）结合图象求不等式3x＋m＞k
x
的解集．
思路分析：（1）将直线y＝3x＋1向下平移1个单位长度后得到直线y＝3x+1－1，故3x＋m＝3x+1
－1，从而求得m的值和点A的坐标，将点A代入y＝k
x
可得到k的值；（2）直线y＝3x＋m在双曲
线y＝k
x
上方时x的取值范围，即为不等式3x＋m＞
k
x
的解集.
解：（1）根据题意，得3x ＋m ＝3x +1－1，解得m ＝0.∴y ＝3x .
将y ＝3代入y ＝3x ，得3x ＝3，解得x ＝1，∴点A 的坐标为（1,3）. 将（1,3）代入y ＝
k
x
，得k ＝3. （2）如图，可知不等式3x ＋m ＞
k
x
的解集为－1＜x ＜0或x ＞1.
23．（2017广东广州）（本小题满分12分）已知抛物线y 1＝－x 2
＋mx ＋n ，直线y 2＝kx ＋b ，y 1的对称轴与y 2交于点A （－1,5），点A 与y 1的顶点B 的距离是4． （1）求y 1的解析式；
（2）若y 2随着x 的增大而增大，且y 1与y 2都经过x 轴上的同一点，求y 2的解析式．
思路分析：（1）由“y 1的对称轴经过点A （－1,5）”可知对称轴为x ＝－1，从而求得m 的值，
进而可用含n 的式子表示出顶点B 的坐标，再由“点A 与y 1的顶点B 的距离是4”求得n 的值；（2）由（1）中所求y 1的函数解析式求得y 2与x 轴的交点，利用待定系数法求出y 2的解析式.注意“y 2随着x 的增大而增大”这一条件的限制.
解：（1）∵y 1的对称轴与y 2交于点A （－1,5）， ∴y 1的对称轴为x ＝－1. ∴()
21m
-
⨯-＝－1，解得m ＝－2.
∴y 1＝－x 2
－2x ＋n ＝－（x +1）2
＋n ＋1. ∴顶点B 的坐标为（－1，n ＋1）.
∵AB ＝4，∴|（n ＋1）－5|＝4，解得n 1＝0，n 2＝8. 当n ＝0时，y 1＝－x 2
－2x ；当n ＝8时，y 1＝－x 2
－2x ＋8. 即y 1的解析式为y 1＝－x 2
－2x 或y 1＝－x 2
－2x ＋8. （2）当y 1＝－x 2
－2x 时，
将y ＝0代入y 1＝－x 2
－2x ，得x 1＝0，x 2＝－2，∴y 1与x 轴的交点为（0,0），（－2,0）. ∵y 2随x 的增大而增大，∴k ＞0.
①当y2经过A（－1，5），（0，0）时，则有
5,
k b
b
-+=
⎧
⎨
=
⎩
，解得
5,
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，∴y2＝－5x.（不合题意，
舍去）.
②当y2经过A（－1，5），（－2，0）时，则有
5,
20
k b
k b
-+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得
5,
10
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，∴y2＝5x+10.
当y1＝－x2－2x+8时，将y＝0代入y1＝－x2－2x+8，得x1＝2，x2＝－4，∴y1与x轴的交点为（2,0），（－4,0）.
①当y2经过A（－1，5），（2，0）时，则有
5,
20
k b
k b
-+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
5
,
3
10
3
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，∴y2＝
5
3
-x+
10
3
.（不合题意，舍去）.
②当y2经过A（－1，5），（－4，0）时，则有
5,
40
k b
k b
-+=
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得
5
,
3
20
3
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，∴y2＝
5
3
x+
20
3
.
综上可知，y2的解析式为y2＝5x+10或y2＝
5
3
x+
20
3
.
24．（2017广东广州）（本小题满分14分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△COD 关于CD的对称图形为△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB＝6cm，BC5.
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段P A匀速运动到点A，到达点A后停止运动．当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．思路分析：（1）根据矩形的性质和轴对称的性质证明四边形OCED的四条边都相等；（2）①连接OE，设直线OE交AB于点F，交DC于点G，可知∠EAD＝∠AEF，在△AEF中求得sin∠AEF 即可；②过点P作PM⊥AB，垂足为点M. Q由O运动到P所需时间就是OP+MA最小.
解：（1）证明：∵四边形ABCD是为矩形，
∴AC ＝BD .
∵AC 与BD 交于点O ，且△COD 与△CED 关于CD 对称， ∴DO ＝CO ，且DO ＝DE ，OC ＝EC ， ∴DO ＝OC ＝EC ＝ED ， ∴四边形OCED 是菱形.
（2）①连接OE ，设直线OE 交AB 于点F ，交DC 于点G . ∵△COD 与△CED 关于CD 对称，∴OE ⊥DC . ∵DC ∥AB ，∴OF ⊥AB ，EF ∥AD .
∵G 为DC 的中点，O 为AC 的中点，∴OG 是△CAD 的中位线，∴OG ＝GE ＝
5. 同理可得OF
＝52，AF ＝3，∴AE ＝2
222
35819=3==242EF AF ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
. ∵∠EAD ＝∠AEF ，∴sin ∠EAD ＝sin ∠AEF ＝
32
93
2
AF AE ==.
①过点P 作PM ⊥AB ，垂足为点M . ∴Q 由O 运动到P 所需时间为3s . 由①可知AM ＝
2
3
AP . ∴点Q 以1.5cm /s 的速度从点P 到A 所需时间等同于以1cm /s 的速度从M 运动到A , 即t ＝t OP +t P A ＝
111
OP MA OP MA
++=
， ∴Q 由O 运动到P 所需时间就是OP +MA 最小. 如图，当P 运动到P 1，即P 1O ∥AB 时，所用时间最短. ∴t ＝
3
=11
OP MA +＝3s . 在Rt △AP 1M 1中，设AM 1＝2x ，则AP 1＝3x ，∵AP 12＝AM 12+P 1M 12，∴（3x ）2＝（2x ）2+2
52⎛ ⎝⎭
，
解得x1＝1
2
，x2＝－
1
2
（舍去），∴AP＝
3
2
.
答：AP的长为3
2
cm，点Q走完全程需时3s.
25．（2017广东广州）（本小题满分14分）如图14，AB是⊙O的直径，»»
AC BC
，AB＝2，连接
AC.
（1）求证：∠CAB＝45°；
（2）若直线l为⊙O的切线，C是切点，在直线L上取一点D，使BD＝AB，BD所在的直线与AC 所在的直线相交于点E，连接AD．
①试探究AE与AD之间的数量关系，并证明你的结论；
②EB
CD
是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
思路分析：（1）连接BC，根据“同弧所对的圆周角等于圆角角的一半”求解；（2）①当BD＝
AB时，有∠ABD为锐角和∠ABD为钝角两种情形；②分D在点C左侧或D在点C右侧两种情况求解.
解：（1）证明：如图，连接BC.
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝1
2
（180°－90°）＝45°.
（2）①当∠ABD为锐角时，如图所示，作BF⊥l于F.
由（1）可知△ABC为等腰直角三角形.
∵O是AB的中点，∴CO＝AO＝BO，∴△COB为等腰直角三角形. ∵l是⊙O的切线，∴OC⊥l.
∵BF⊥l，∴四边形OBEC为矩形.
∴AB ＝2BF ，∴BD ＝2BF ，∴∠BDF ＝30°，∴∠DBA ＝30°，
∴∠BDA ＝∠BAD ＝75°，∠CBE ＝15°，∠CEB ＝90°－15°＝75°，∴∠CEB ＝∠DEA ，∴AD ＝AE .
②当∠ABD 为钝角时，如图所示，同样BF ＝12BD ，∠BDC ＝30°， ∴∠ABD ＝150°，∠AEB ＝90°－∠CBE ＝15°，∠ADB ＝
12（180°－150°）＝15°， ∴∠AED ＝∠ADE ，∴AE ＝AD .
②当D 在C 左侧时，由①可知CD ∥AB ，∠ACD ＝∠BAE ，∠DAC ＝∠EBA ＝30°， ∴△CAD ∽△BAE ，∴2
AC CD BA AE ==AE 2CD . ∵BA ＝BD ，∠BAD ＝∠BDA ＝15°，∴∠IBE ＝30°.
在Rt △IBE 中，BE ＝2EI ＝2×22
AE 2AE 22＝2CD . ∴2EB CD
=. 当D 在C 右侧时，过E 走EI ⊥AB 与I .
由①可知∠ADC ＝∠BEA ＝15°.
∵AB ∥CD ，∴∠EAB ＝∠ACD ，
∴△ACD ∽△BAE ，
∴2
AC CD BA AE ==AE 2. ∵BA ＝BD ，∠BAD ＝∠BDA ＝15°，∴∠IBE ＝30°.
在Rt △IBE 中，BE ＝2EI ＝2×22
AE 2AE 22＝2CD . ∴2EB CD
=.
综上所述，EB
CD
为定值，其值为2.。