(小学奥数)盈亏问题(三)

6-1-7.盈虧問題（三）
教學目標
1.熟練掌握盈虧問題的本質.
2.運用盈虧問題的解題方法解決一些生活實際問題．
知識精講
盈虧問題的特點是問題中每一同類量都要出現兩種不同的情況．分配不足時，稱之為“虧”，分配有餘稱之為“盈”；還有些實際問題，是把一定數量的物品平均分給一定數量的人時，如果每人少分，則物品就有餘(也就是盈)，如果每人多分，則物品就不足(也就是虧)，凡研究這一類演算法的應用題叫做“盈虧問題”．可以得出盈虧問題的基本關係式：
(盈+虧)÷兩次分得之差=人數或單位數
(盈-盈)÷兩次分得之差=人數或單位數
(虧-虧)÷兩次分得之差=人數或單位數
物品數可由其中一種分法和人數求出.也有的問題兩次都有餘或兩次都不足，不管哪種
情況，都是屬於按兩個數的差求未知數的“盈虧問題”.
注意：1.條件轉換；2.關係互換.
模組一、利用條件關係轉換解盈虧問題——轉化被分配物質
【例 1】王老師給小朋友分蘋果和桔子，蘋果數是桔子數的2倍.桔子每人分3個，多4個；蘋果每人分7個，少5個.問有多少個小朋友？多少個蘋果和桔子？【考點】盈虧問題【難度】3星【題型】解答
【解析】因為桔子每人分3個多4個，而蘋果是桔子的2倍，因此蘋果每人分6個就多8個.又已知蘋果每人分7個少5個，所以應有（8+5）÷（6-5）=13
（人）.
蘋果個數為13×7-5=86（個）.
桔子數為 13×3+4=43（個）.
答：有13個小朋友，86個蘋果和43個桔子.
【答案】13個小朋友，蘋果86個，桔子43個
【巩固】學而思學校買來一批體育用品，羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，分給同學們，每組分乒乓球拍5副，餘乒乓球拍15副，每組分羽毛球拍14副，則差30副，問：學而思學校買來羽毛球拍、乒乓球拍各多少副？
【考點】盈虧問題【難度】3星【題型】解答
【解析】因為羽毛球拍是乒乓球拍的2倍，如果每次分羽毛球拍5×2=10（副），最後應餘下15×2=30（副），因為14-5×2=4（副），分到最後還差30副，所以比每次分10副總共差30+30=60（副），所以有小組：60÷4=15（組），乒乓球拍有：5×15+15=90（副），羽毛球拍90×2=180（副）. 【答案】羽毛球拍180副，乒乓球拍90副
【例 2】有若干個蘋果和若干個梨.如果按每1個蘋果配2個梨分堆，那麼梨分完時還剩2個蘋果；如果按每3個蘋果配5個梨分堆，那麼蘋果分完時還剩1個梨.蘋果和梨各有多少個?
【考點】盈虧問題【難度】4星【題型】解答
【解析】容易看出這是一道盈虧應用題，但是盈虧總額與兩次分配數之差很難找到.
原因在於第一種方案是1個蘋果“搭配”2個梨，第二種方案是3個蘋果“搭配”5個梨.如果將這兩種方案統一為1個蘋果“搭配”若干個梨，那麼問題就好解決了.將原題條件變為“1個蘋果搭配2個梨，缺4個梨；1個蘋果搭配5/3個梨，多1個梨”，此時盈虧總額為415
+=(個)梨，兩次分配數之差為25/31/3
+÷-=(個)，有梨
-=(個)梨.所以有蘋果(41)(25/3)15
⨯-=(個).
152426
【答案】蘋果15個，梨26個
【巩固】有若干梨和蘋果，如果1個梨和3個蘋果分成一堆，則多2個梨，如果2個梨和5個蘋果分成一堆，則少2個蘋果，則梨有個，蘋果有
個。

【考點】盈虧問題【難度】4星【題型】填空
【關鍵字】學而思杯，3年級，第11題
【解析】()()
82318
-⨯=個蘋果
-÷-=個梨，()
623 2.58
【答案】梨有8個，蘋果有18個
【巩固】有紅球和綠球若干個，如果按每組1個紅球2個綠球分組，綠球恰好夠用，但剩5個紅球；如果按每組3個紅球5個綠球分組，紅球恰好夠用，但剩
5個綠球，則紅球和綠球共有_____________個。

【考點】盈虧問題【難度】4星【題型】填空
【關鍵字】希望杯，五年級，二試，第14題
【解析】設紅球有a個，綠球有b個。

在第一種分法中，(a-5)÷1=b÷2；在第二種分法中,（b-5）÷5=a÷3。

解得：b=80,a=45.所以紅球和綠球共有80+45=125個。

【答案】125個
【巩固】有若干個蘋果和梨，如果按1個蘋果配3個梨分一堆，那麼蘋果分完時，還剩2個梨；如果按半個蘋果配2個梨分一堆，那麼梨分完時，還剩半個
蘋果.問梨有多少個？
【考點】盈虧問題【難度】4星【題型】解答
【解析】1個蘋果配3個梨，多2個梨；半個蘋果配2個梨，即1個蘋果配4個梨，剩半個蘋果，即少2個梨.蘋果有：（2+2）÷（4-3）=4（個），梨有：3×4+2=14（個）.
【答案】14個
【巩固】四(2)班在這次的班級評比中，獲得了“全優班”的稱號．為了獎勵同學們，班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮．劉老師把這些鉛筆和橡皮分成一小堆
一小堆，以便分給幾位優秀學生．如果每堆有1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分
完時橡皮還剩5塊；如果每堆有3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分完時還剩5
支鉛筆．那麼，劉老師一共買了多少塊橡皮?多少支鉛筆?
【考點】盈虧問題【難度】4星【題型】解答
【解析】如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、2支鉛筆正好分完；而按3塊橡皮、5支鉛筆分，則剩下10+5=15(支)鉛筆，但如果按3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可以分成：15÷(6—5)=15(堆)，所以，橡皮數為：15×3=45(塊)，鉛筆數為：15×6—10=80(支)．
【答案】橡皮45支，鉛筆80支
【巩固】小白兔和小灰兔各有若干只．如果5只小白兔和3只小灰兔放到一個籠子中，小白兔還多4只，小灰兔恰好放完；如果7只小白兔和3只小灰兔
放到一個籠子中，小白兔恰好放完，小灰兔還多12只．那麼小白兔和小
灰兔共有多少只？
【考點】盈虧問題【難度】4星【題型】解答
【解析】“7只小白兔和3只小灰兔裝一個籠子，小白兔恰好裝完，小灰兔還多12只”說明小白兔少了12÷3×7＝28（只），這樣原來籠子數有：（28＋4）÷（7－5）＝16（個），所以小白兔有16×5＋4＝84（只），小灰兔有16×3＝48（只），合起來有84＋48＝132（只）．
【答案】132只
【例 3】幼稚園老師買了同樣多的巧克力、奶糖和水果糖．她發給每個小朋友2塊巧克力，7塊奶糖和8塊水果糖．發完後清點一下，水果糖還剩15塊，而巧克力恰好是奶糖的3倍．那麼共有_____________個小朋友．
【考點】盈虧問題【難度】5星【題型】填空
【關鍵字】迎春杯，中年級組，復試題
【解析】方法一：畫線段圖分析，由題意知：
從奶糖的7份中取2份，那麼剩下的5份就和上面的2小段相等．如圖：
那麼2小段和5份都看成10份量，那麼總量就相當於19份量，水果糖中原有的8份就是現在的16份，則剩下的15塊水果糖就佔有3份，則1份
就是5塊，給小朋友們分出去的水果糖數量是：16580
⨯=（塊），小朋友的人數是：80810
÷=（人）．
方法二：由上圖知，設發完後奶糖剩下1份，則巧克力剩下3份，而巧克力與奶糖每人分得相差5塊，對應剩下的糖相差2份，水果糖與奶糖每人分得相差1塊，則對應剩下的糖應相差250.4
÷=份，所以水果糖最後應剩下-=份，恰是15塊，所以1份對應的是150.625
÷=，所以應用盈虧問題共
10.40.6
有(2515)(87)10
-÷-=（人）．
【答案】10人
模組二、盈虧問題的綜合運用
【例 4】“六一”兒童節，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內的球的數量相等．花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．因節日商店優惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結果小明少花了4元錢，那麼小明共買了多少個球？
【考點】盈虧問題【難度】4星【題型】解答
【解析】花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個．即花球原價10元錢20個，白球原價10元錢30個．那麼，同樣買花球和白球各30個，花球要比白球多花1025
÷+÷=（元）．現在兩種球的售價都是2÷=（元），共需要30230325
元錢5個，花球和白球各買30個需要(305)2224
÷⨯⨯=（元），說明花球和白球各買30個能省下25241
-=（元）．現在共省了4元，說明花球和白球各有
⨯=（個）．
304120
⨯=（個），共買了1202240
【答案】240個
【例 5】一盒咖啡中有若干袋，一包方糖中有若干塊．小唐喝前兩盒咖啡時每袋咖啡都放3塊方糖，結果共用了1包方糖和第2包中的24塊；小唐喝後三盒咖啡時每袋咖啡都只放1塊方糖，最後第3包方糖還剩下36塊，那麼每盒咖啡有多少袋？
【考點】盈虧問題【難度】5星【題型】解答
【解析】小唐喝前2盒咖啡，每袋放3塊糖，相當於喝6盒咖啡每袋放1塊糖；
小唐喝後3盒咖啡，每袋放1塊糖，所以喝後3盒用掉的方糖總量是前2盒用掉方糖量的一半．
小唐喝前2盒咖啡一共用掉方糖一包又24塊，
喝後3盒咖啡用掉方糖一包差12塊，
因此一包又24塊方糖與兩包差24塊方糖一樣多，一包方糖有+÷-=（塊）．
(2424)(21)48
於是喝前兩盒咖啡用掉方糖482472
+=（塊），每盒咖啡的袋數為：723212
÷÷=（袋）．
【答案】12袋
【例 6】巧克力每盒9塊，軟糖每盒11塊，要把這兩種糖分發給一些小朋友，每種糖每人一塊，由於又來了一位小朋友，軟糖就要增加一盒，兩種糖分發的盒數就一樣多，現在又來了一位小朋友，巧克力還要增加一盒，則最後共有多少個小朋友？
【考點】盈虧問題【難度】5星【題型】解答
【解析】新來了一位小朋友，就要增加一盒軟糖，說明在此之前，軟糖應該是剛好分完幾整盒，所以原來的小朋友人數是11的倍數．增加了第二位小朋友之後，巧克力糖也要再來一盒了，說明原有的小朋友分幾整盒巧克力糖之後還剩下一塊，也就是說，原有的小朋友人數是9的倍數減1．符合這兩個條件的最小的數是44，而且它剛好滿足原有的巧克力比軟糖多一盒的條件，所以原有44個小朋友，最後有46個小朋友．
【答案】46個小朋友
【例 7】有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人．如果把書全部分給第一組，那麼每人4本，有剩餘；每人5本，書不夠．如果把書全分給第二組，那麼每人3本，有剩餘；每人4本，書不夠．問第二組有多少人？【考點】盈虧問題【難度】5星【題型】解答
【解析】如果把書全部分給第一組，那麼每人4本，有剩餘；每人5本，書不夠．說明第一組人數少於48412
÷=，即9人；如果把書全分
÷=（人），多於48593
給第二組，那麼每人3本，有剩餘；每人4本，書不夠．說明第二組人數少於48316
÷=（人）；因為已知第二組比第一組多5人，÷=（人），多於48412
所以，第一組只能是10人，第二組15人．
【答案】15人
【例 8】有若干盒卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人至少可以得到7張；
如果每人分8張卡片，則還缺少5張．現在把所有卡片都分完，每人分到60張，而且還多出4張．問：共有多少個小朋友？
【考點】盈虧問題【難度】5星【題型】解答
【解析】首先由題意，一盒卡片每人分7張則有剩餘，每人分8張則少5張，證明總人數多於5個．
如果一共有7盒卡片，則所有人每人要想分到8756
⨯=（張）卡片，還缺35張，卡片張數比題中所述要少．
如果一共有9盒卡片，則只要再添上5945
⨯=（張）卡片，就能使所有人每人分到8972
⨯=（張），人數為1
+÷-=<，不滿足總人數多於5個
(454)(7260)45
12
的要求．
類似地，當卡片總盒數多於9時，都不滿足總人數多於5個的要求．
因此卡片一共有8盒，添上5840
⨯=（張）卡片，就能使所有人每人分到8864
⨯=（張），所以總人數為：(404)(6460)11
+÷-=（人）．
(二解)60784
÷=，60874
÷=，說明卡片的盒數是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們在每盒中加5張（8盒共加40張），每人就可以得到8864
⨯=（張），現在實際每人得到60張，即每人需要退出4張，其中要有4張是每人60張後多下來的，還有40張是我們一開始借來的要還出去，即要退出44張，44411
÷=（人），說明有11人．
【答案】11個小朋友
【例 9】一班和二班的學生一起出去划船，要求一班和二班的學生不能坐同一艘船，但每船都按要求儘量坐滿，如果7人一船，則共需15船；如果要求8人一船，則恰好全部坐滿；如果要求10人一船，則一班比二班多3船，那麼一班和二班分別有_____、______人.
【考點】盈虧問題【難度】5星【題型】填空
【關鍵字】學而思杯，5年級，第13題
【解析】8人一船，則恰好全部坐滿，那麼兩班人數都是8的倍數；10人一船，則一班比二班多3船，說明一班比二班人多. 7人一船，肯定也是一班船多，多的數目也是3左右. 由於兩班船和是15，是奇數，所以差也應該是奇數.
下麵我們按照差分別是1，3，5分別討論.
發現在船數差3和差5的時候，會出現10人每船時差3的情況，但是第一種一班人數沒有8的倍數，所以取第二種情況，一班64人，二班32人. 【答案】一班64人，二班32人.
【例 10】幼稚園有三個班，甲班比乙班多4人，乙班比丙班多4人，老師給小孩分棗，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗，結果甲班比乙班共多分3個棗，乙班比丙班總共多分5個棗．問：三個班總共分了多少個棗？
【考點】盈虧問題【難度】6星【題型】解答
【解析】設丙班有x個小孩，那麼乙班就有4
（）
+
x個小孩．
x個小孩，甲班有8
（）
+
乙班每個小孩比丙班每個小孩少分5個棗，那麼x個小孩就少分5x個棗，而乙班比丙班總共多分5個棗，所以多出來的那4個小孩分了55
x個棗．
（）
+
同樣的道理，甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，那麼4
+x個小孩
（）就少分312
（）
x個棗，而甲班比乙班總共多分3個棗，所以多出來的那4個
+
小孩分了3123315
x x個棗．
++=+
甲班每個小孩比乙班每個小孩少分3個棗，4個小孩就少3412
⨯=個棗，因此我們得到：5531512
x．
=
+=++
x x，解得11
所以，丙班有11個小朋友，乙班有15個小朋友，甲班有19個小朋友；甲班
每人分12個棗，乙班每人分15個棗，丙班每人分20個棗．—共分了
⨯+⨯+⨯=（個）棗．
121915152011673
【答案】673個
【例 1】動物園裏猩猩比狒狒多，猴子比猩猩多。

一天，飼養員拿了10箱香蕉分給它們。

每只猩猩比每只狒狒多分1根，每只猴子比每只猩猩多分1根。

分完後，只剩下2根香蕉。

如果每箱香蕉數量相同，都是40多個，而且
猴子比狒狒多6只，猩猩16只。

那麼，動物園裏有_______________只猴
子。

A.18
B. 19
C. 20
D. 17
【考點】盈虧問題【難度】6星【題型】選擇
【關鍵字】迎春杯，中年級組，復試，8題
【解析】B，由題意知，共吃了香蕉~
400500根，且個位數是8。

設有猴子n只，則有狒狒()
n-6只。

因為猩猩的數量介於猴子與狒狒之間，所以17≤n≤21。

再設每只猴子吃了a根香蕉，則每只猩猩吃了()
a-2根。

a-1根，每只狒狒吃了()共吃香蕉
()()()
an a a n
⨯
11626
+-+--
16162612
an a an n a
=+-+--+
21024
an a n
=+--
()
2524
=+--
a n n
=。

X的個位數是8，且17≤n≤21
X
若n=17，則X a
4438。

a的個位只能是4或9，不滿足X
=-
400500；
<<
若n=18，則X a
=-
4640。

a的個位只能是3或8，不滿足X
400500；
<<
若n=19，則X a
4842。

a的個位只能是0或5，當a=10時，X=438，符
=-
合題意；
同理，n=20或21都不符合題意。

所以有猴子19只。

【答案】19。