辽宁省瓦房店高级中学2020学年高一数学暑假作业试题(4)

瓦房店高级中学2020学年高一暑假作业数学试题（4）
一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设,m n 是两条不同的直线，αβγ,,是三个不同的平面，给出下列四个命题：（ ） ①若m ⊥α，n //α，则m n ⊥ ②若αβ//，βγ//，m ⊥α，则m ⊥γ ③若m //α，n //α，则m n // ④若αγ⊥，βγ⊥，则αβ// 其中正确命题的序号是
A ．. ①和②
B ． ②和③
C ． ③和④
D ．①和④ 2．下列命题中错误的是：（ ）
A ．如果αβ⊥，那么α内一定存在直线平行于平面β；
B ．如果αβ⊥，那么α内所有直线都垂直于平面β；
C ．如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β；
D ．如果,αγβγ⊥⊥，l αβ=I ,那么l γ⊥.
3．两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5,4,3cm cm cm ，把它们重叠在一起组成一
个新长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是（ ） A. 77cm B. 72cm C. 55cm D. 102cm 4．已知,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面，有下列命题
①若,//m n αα⊂，则//m n ；②若//,//m m αβ，则//αβ；
③若,//n m n αβ=I ，则//m α且//m β；④若,m m αβ⊥⊥，则//αβ. 其中真命题的个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 5．对于直线,m n 和平面α，下面命题中的真命题是（ ） A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//n B ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交 C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //
D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //
6．已知球的表面积为20π，球面上有,,A B C 三点.如果2,AB AC BC ===心到平面ABC 的距离为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2 7．在下列关于直线,l m 与平面,αβ的命题中,真命题是（ ）
A ．若l β⊂且αβ⊥,则l α⊥
B ．若l β⊥且//αβ,则l α⊥
C ．若l β⊥且αβ⊥,则//l α
D ．若m αβ=I 且//l m ,则//l α. 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题：
① ////m m αββα⎫⇒⎬⊂⎭ ② //////m n n m ββ⎫⇒⎬⎭
③ ,m m n n αβ⊂⎫⇒⎬⊂⎭异面 ④ //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭
其中假命题有（ ）
A ． 0个
B ． 1个
C ． 2个
D ．3个 9．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是（ ）
A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同
B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴
C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变
D ．斜二测坐标系取的角可能是135°
10．一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，
则该球的体积是 （ ）
A
11．12. V 3=
13③同一条直线 ④一条直线及其外一点
在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）. 14．下面是关于四棱柱的四个命题：
①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱 ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱 其中，真命题的编号是 (写出所有真命题的编号)． 15． 用平面α截半径为R 的球，如果球心到截面的距离为
2
R
，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为__________
16．已知平面αβ⊥， βα⋂=l ，P 是空间一点，且P 到,αβ的距离分别是1、2，则点
P 到l 的距离为
三、计算题
17.如图，在正三棱柱ABC A B C -111中，2AB =，AA 12=，由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线与AA 1的交点记为M ，求： （I ）三棱柱的侧面展开图的对角线长;
（II ）该最短路线的长及A M
AM
1的值.
A
A 1
M
18. 已知在三棱锥S ABC -中，90ACB ︒
∠=，又SA ⊥平面ABC ，AD SC ⊥于D ，
求证：AD ⊥平面SBC .
19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，E 是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F （1）证明//PA 平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面.EFD
20. 如图，在四边形ABCD 中，090DAB ∠=，0135ADC ∠=，5AB =，
22CD =，
2AD =，求四边形ABCD 绕AD 旋转一周所成几何体的表面积及体积
21. 如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ︒
∠=，,M N 分别为111,BB A C 的中点.
（1）求证：1AB CB ⊥； （2）求证：//MN 平面1ABC .
22. 如图，在直三棱柱
111ABC A B C -中，1AB BB =，
11AC A BD ⊥平面，D 为的AC 中点.
（1）求证：1B C ∥平面1A BD ； （2）求证：11B C ⊥平面11ABB A ；
（3）设E 是1CC 上一点，试确定E 的位置，
使平面1A BD ⊥平面BDE ，并说明理由.
A
C
B
D
1B
1
C 1
A
参考答案（四）
一、选择题
1．A 2．B 3．C 4．B 5．C6．A 7．B 8．D 9．C 10．C 11、B 12. C
二、填空题
13．①②④ 14．②④ 15． 3:16 16．5 三、计算题
17. 解：（I ）正三棱柱ABC A B C -111的侧面展开图是长为6，宽
为2的矩形，其对角线长为 6221022
+=
（II ）如图，将侧面AA B B 11绕棱AA 1旋转120ο
使其与侧面AA C C 11在同一平面上，点B 运动到点D 的位置，连接DC 1交AA 1于M ，则DC 1就是由顶点B 沿棱柱侧面经过棱AA 1到顶点C 1的最短路线，其长为
DC CC 212
224225
+=
+=
Θ∆∆DMA C MA ≅11， ∴=AM A M 1 故
A M
AM
11= 18. 证SA ⊥面ABC ， BC ⊥面ABC ，⇒ BC ⊥SA ；
又BC ⊥AC ，且AC 、SA 是面SAC 内的两相交线，∴BC ⊥面SAC ； 又AD ⊂面SAC ，∴ BC ⊥AD ，
又已知SC ⊥AD ，且BC 、SC 是面SBC 内两相交线，∴ AD ⊥面SBC .
（2）证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥
∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线，∴PC DE ⊥ ① 同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC
∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC
而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥ ②
由①和②推得⊥DE 平面PBC 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥ 又PB EF ⊥且E EF DE =I ，所以PB ⊥平面EFD
20.解：S S S S =++表面圆台底面圆台侧面圆锥侧面2
5(25)52
22πππ=⨯+⨯
+⨯+⨯⨯
(4260)π=+
V V V =-圆台圆锥 222112211
()33
1483
r r r r h r h πππ=++-=
证法二
取AC 1的中点F ，连BF 、NF 在△AA 1C 1中，N 、F 是中点，∴NF 2
1
//AA 1， 又∵BM 2
1
//
AA 1，∴EF //BM ，故四边形BMNF 是平行四边形，∴MN//BF ， 而EF ⊂面ABC 1，MN ⊄平面ABC 1，∴MN//面ABC 1。