【课堂新坐标】高中数学北师大版选修2-2学案：第4章 章末分层突破 含解析

章末分层突破
[自我校对]
①面积、路程 ②做功 ③牛顿-莱布尼茨 ④面积 ⑤体积
1.(3)取极限.
2.利用定积分的几何意义求定积分.
3.利用微积分基本定理求定积分.若F ′(x )＝f (x )，⎠
⎛a
b
f （x ）dx ＝F (b )－F (a ).
求下列定积分.
(1)⎠
⎛
－2
2
4－x 2dx ；(2)
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪ln 3
x x dx .
【精彩点拨】 (1)可用定积分的几何意义求解； (2)先去绝对值号，然后结合定积分的性质求解.
【规范解答】 (1)⎠⎛－224－x 2dx 表示的是图中阴影所示半径为2的半圆的面
积.
其面积为1
2×π×22＝2π， 所以⎠⎛－2
24－x 2dx ＝2π.
(2)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪
ln 3
x x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln 3x x ，1e ≤x ≤1，
ln 3
x
x ，1≤x ≤e ，
∴⎠⎜⎛1e e ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ln 3x x dx ＝⎠⎜⎛1e
1⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln 3
x x dx ＋⎠⎛1e
ln 3x x dx . ∵⎝ ⎛⎭
⎪⎫
ln 4x 4′＝ln 3
x x ， ∴⎠
⎜⎛1e
e ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪ln 3
x x dx ＝－ln 4x 4⎪⎪⎪1
1e ＋ln 4x 4|e 1＝－ln 414＋ln 41
e
4＋ln 4e 4－ln 414＝12.
[再练一题] 1.计算下列定积分. (1)⎠⎛12
1
x （x ＋1）
dx ； (2) ⎠⎜⎛-π2
π2 (cos x ＋2x )dx . 【解】 (1)∵⎠⎛121x （x ＋1）dx ＝⎠⎛12⎝
⎛⎭⎪⎫1
x －1x ＋1dx
＝[ln x －ln (x ＋1)]|2
1＝ln 4
3.
(2) ⎠⎜⎛-π
2
π2 (cos x ＋2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋2x ln 2⎪⎪⎪⎪π2－π2
＝2＋1ln 2(2π2－2－
π
2).
1.用.求解时应将相应问题画出草图，适当分割后转化为定积分求解.
2.利用定积分也可以求出一些简单的几何体体积.如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.计算由曲线y ＝f (x )，直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x
轴旋
转一周而形成的旋转体的体积为V ＝⎠⎛a
b
π[f （x ）]2dx . 求由曲线y ＝x 2＋4与直线y ＝5x ，x ＝0，x ＝4所围成的平面图形的
面积.
【精彩点拨】 画出草图→求交点坐标→确定被积函数
及积分上、下限→求定积分
【规范解答】 画出草图，如图所示.
所求平面图形为图中阴影部分.
解方程组⎩
⎨⎧y ＝x 2
＋4，
y ＝5x ，得交点A (1，5)，B (4，20).
故所求平面图形的面积
S ＝⎠⎛01(x 2＋4－5x )dx ＋⎠⎛14(5x －x 2－4)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋4x －52x 2⎪⎪⎪1
0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52x 2－13x 3－4x ⎪⎪⎪4
1
＝13＋4－52＋52×42－13×43
－4×4－52＋13＋4＝193. [再练一题]
2.求曲线y ＝sin x ，x ∈[0，π]与x 轴所围成平面图形绕x 轴旋转一周所得到旋转体的体积.
【导学号：94210078】
【解】 由体积公式V ＝⎠⎛0ππy 2dx ＝⎠⎛0
ππ(sin x )2dx
及用定积分求曲边图形的面积.在做题前首先要画出图形，确定图形是在x 轴的上方还是下方，并且通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限.
如图4-1所示，在区间[0，1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t
的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小.
图4-1
【精彩点拨】 确定被积函数，积分上、下限，求定积分，并用导数求最值. 【规范解答】 S 1的面积等于边长分别为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y ＝x 2与x 轴，直线x ＝t 围成的面积.
即S 1＝t ·t 2－⎠⎛0
t x 2dx ＝2
3t 3；
S 2的面积等于曲线y ＝x 2与x 轴，x ＝t ，x ＝1围成的面积去掉一矩形面积，矩形边长分别为t 2，1－t ，
即S 2＝⎠⎛t 1x 2dx －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋1
3.
所以阴影部分面积
S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋1
3(0≤t ≤1). 令S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝ ⎛⎭⎪⎫
t －12＝0，
得t ＝0或t ＝1
2， 易知当t ＝1
2时，S 最小， 所以最小值为S ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1
4.
[再练一题]
3.(2016·潍坊高二检测)如图4-2，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值.
图4-2
【解】 抛物线y ＝x －x 2与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1，所以抛物线与x 轴所围成图形的面积为
S ＝⎠
⎛0
1(x －x 2
)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x 3
3⎪⎪⎪1
0＝12－13＝1
6.
抛物线y ＝x －x 2与直线y ＝kx 交点的横坐标分别为x 1′＝0，x 2′＝1－k ， 所以S 2＝⎠
⎛0
1－k
(x －x 2－kx )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－x 33⎪⎪⎪1－k
0＝16(1－k )3，又知S ＝16， 所以(1－k )3＝1
2， 于是k ＝1－312＝1－34
2.
1.(2014·陕西高考)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )dx 的值为( )
A.e ＋2
B.e ＋1
C.e
D.e －1
【解析】 ⎠⎛0
1 (2x ＋e x )dx ＝(x 2＋e x )|1
0＝e .故选C.
【答案】 C
2.(2014·江西高考)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )dx ，则⎠⎛01f (x )dx ＝( )
A.－1
B.－13
C.1
3
D.1
【解析】 ∵f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )dx ，∴⎠⎛0
1f (x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x ∫10
f （x ）dx |10＝1
3＋2⎠⎛0
1f (x )dx ，
∴⎠⎛01f (x )dx ＝－1
3. 【答案】 B
3.(2014·湖北高考)若函数f (x )，g (x )满足⎠⎛－1
1
f （x ）·
g （x ）dx ＝0，则称f (x )，g (x )为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f (x )＝sin 12x ，g (x )＝cos 1
2x ；②f (x )＝x ＋1，g (x )＝x －1；③f (x )＝x ，g (x )＝x 2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】 ①⎠⎛－1
1f (x )g (x )dx
＝⎠⎛－11sin 12xcos 12xdx ＝1
2⎠⎛－1
1sin xdx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12cos x ⎪⎪⎪
1
－1＝0，故第①组是区间[－1，1]上的正交函数； ②⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝⎠⎛－1
1(x ＋1)(x －1)dx ＝⎠⎛－1
1(x 2
－1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3
3－x |1
－1＝－43≠0，故第②组不是区间[－1，1]上的正交
函数；
③⎠⎛－11f (x )g (x )dx ＝⎠⎛－11x ·x 2
dx ＝⎠⎛－1
1x 3
dx ＝x 4
4|1
－1＝0，故第③组是区间[－1，1]上的正交函数.综上，满足条件的共有两组.
【答案】 C
4.(2015·湖南高考)⎠⎛0
2(x －1)dx ＝__________.
【解析】 ⎠
⎛0
2
(x －1)dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x ⎪⎪⎪2
＝12×22－2＝0.
【答案】 0
章末综合测评(四) 定积分
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.⎠⎛1
4x d x 表示平面区域的面积，则该平面区域用阴影表示为( )
A B C D
【解析】 由定积分的几何意义易知选项B 正确. 【答案】 B 2.⎠⎛0
2πsin x d x ＝( )
A.1
B.2
C.－2
D.0
【解析】 ⎠⎛0
2πsin x d x ＝－cos x |2π
0＝0.
【答案】 D
3.⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x ＝( ) A.12 B.2 C.－12
D.－2
【解析】 ⎠⎛12(3x 2－2x 3)d x
＝⎠⎛12(3x 2)d x －⎠⎛1
2(2x 3)d x ＝3⎠⎛12x 2d x －2⎠⎛12x 3d x ＝3×73－2×154
＝7－152＝－12. 【答案】 C
4.若⎠⎛0a (2－3x )d x ＝－2(a >0)，则a 的值为( )
A.2
B.23
C.2或23
D.2或－2
3 【解析】 ∵a >0，∴⎠⎛0a (2－3x )d x ＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －32x 2|a 0＝2a －32a 2，由题知2a －32a 2
＝－2，解得a ＝2.
【答案】 A
5.曲线y 2＝6ax ，x ＝2a (a >0)绕x 轴旋转所得旋转体的体积为( ) A.2πa 2 B.4πa 2 C.12πa 3
D.14πa 3
【解析】 V ＝⎠⎛02a πy 2d x ＝⎠⎛02a π6ax d x ＝3πax 2|2a
0＝12πa 3.
【答案】 C
6.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧x 2，x ∈[0，1]，1x
，x ∈[1，e ]，则⎠⎛0e f (x )d x 等于( )
【导学号：94210079】
A.4
3 B.5
4 C.65
D.76
【解析】 ⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1
x d x
＝13x 3⎪⎪⎪1
0＋ln x |e
1＝43.
【答案】 A
7.由y ＝e x ，x ＝2，y ＝e 围成的曲边梯形的面积是( ) A.e 2－2e B.e 2－e C.e 2
D.e
【解析】 所求面积为S ＝⎠⎛12(e x －e )d x
＝(e x －ex )⎪⎪⎪
2
1
＝e 2－2e .
【答案】 A
8.(2016·石家庄高二检测)若⎠⎛1a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －1x d x ＝3－ln 2，且a >1，则a 的值为( )
A.6
B.4
C.3
D.2
【解析】 ⎠⎛1a ⎝
⎛⎭
⎪⎫2x －
1x d x ＝(x 2－ln x )|a 1＝a 2－ln a －1，故有a 2－ln a －1＝3－ln 2，解得a ＝2.
【答案】 D
9.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121
x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )
A.S 1<S 2<S 3
B.S 2<S 1<S 3
C.S 2<S 3<S 1
D.S 3<S 2<S 1
【解析】 S 1＝⎠⎛1
2x 2d x ＝13x 3⎪⎪⎪2
1＝13×23－13＝73，S 2＝⎠
⎛1
21x d x ＝ln x ⎪⎪⎪
2
1＝ln 2，
S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪
2
1＝e 2－e ＝e (e －1)，ln 2<ln e ＝1，且73<2.5<e (e －1)，所以ln 2<73
<e (e －1)，即S 2<S 1<S 3.
【答案】 B
10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，
x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f [f (1)]＝1，则实数a 的值是( )
A.4
B.3
C.2
D.1
【解析】 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x
＋t 3|a
0＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.
因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 【答案】 D
11.定积分⎠⎛01(1－（x －1）2－x )d x 等于( )
A.π－24
B.π2－1
C.π－14
D.π－12
【解析】 ⎠⎛01(1－（x －1）2－x )d x
＝⎠⎛011－（x －1）2d x －⎠⎛0
1x d x . ⎠⎛0
1
1－（x －1）2d x 表示圆(x －1)2＋y 2＝1的上半圆与x ＝1，x ＝0，y ＝0围成的图形面积.
画出图形(略)可知
S 1＝⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π
4，
S 2＝⎠⎛01x d x ＝1
2，∴S ＝S 1－S 2＝π－24.
【答案】 A
12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋
25
1＋t
(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )
A.1＋25ln 5
B.8＋25ln 11
3 C.4＋25ln 5
D.4＋50ln 2
【解析】 由v (t )＝7－3t ＋251＋t ＝0，可得t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ＝－83舍去，因此汽车从刹
车到停止一共行驶了 4 s ，此期间行驶的距离为⎠⎛0
4
v (t )d t ＝⎠⎛04⎝
⎛⎭⎪⎫
7－3t ＋
251＋t d t ＝
⎣⎢⎡⎦⎥⎤7t －32t 2＋25ln （t ＋1）⎪⎪⎪
4
＝4＋25ln 5. 【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.若⎠⎛0
1(2x ＋k )d x ＝2，则k ＝________.
【解析】 ∵⎠⎛01(2x ＋k )d x ＝(x 2＋kx )⎪⎪⎪
1
0＝1＋k ＝2，∴k ＝1.
【答案】 1
14.曲线y 2＝4ax ，x ＝a (a >0)绕x 轴旋转所得的旋转体体积是________.
【导学号：94210080】
【解析】 由旋转体体积公式可得： V ＝π⎠⎛0a y 2d x ＝π⎠⎛0a 4ax d x ＝4πa ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2|a
0＝2πa 3.
【答案】 2πa 3
15.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为
________.
【解析】 ∵⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝ax 2
0＋c ，∴a 3＝ax 20.
∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33. 【答案】 3
3
16.曲线y ＝x 2和曲线y 2＝x 围成的图形的面积是________.
【解析】 作出两曲线y ＝x 2与y ＝x 1
2围成的图形(如图阴影所示)，则图形的
面积S ＝⎠
⎛0
1⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12－x 2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－13x 3⎪⎪⎪1
0＝23－13＝13.
【答案】 1
3
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)由直线y ＝kx (k >0)，直线y ＝0，x ＝1所围成的图形的面积为S 1，由曲线y ＝3－3x 2，直线x ＝0，x ＝1，y ＝0所围成的图形的面积为S 2，当S 1＝S 2时，求k 的值及直线的方程.
【解】 依题意得S 1＝⎠⎛0
1
kx d x ＝12kx 2|10＝k
2，
S 2＝⎠⎛0
1(3－3x 2)d x ＝(3x －x 3)|1
0＝2.
∵S 1＝S 2，∴k
2＝2， 解得k ＝4，
则直线的方程为y ＝4x .
18.(本小题满分12分)如图1所示，求由曲线y ＝1
4x 2，x ∈[0，3]，x ＝0及y ＝21
4所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所形成几何体的体积
.
图1
【解】 根据题意和图形，所求体积V ＝⎠⎜⎛094 π·(2y )2
d y ＝4π⎠⎜⎛0
94 y d y ＝4π×
12y 2⎪⎪⎪9
40
＝2π×8116＝81π8. 19.(本小题满分12分)计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围成图形的面积.
【解】 由⎩⎨⎧y ＝x ＋3，
y ＝x 2
－2x ＋3， 解得x 1＝0，x 2＝3.
因此所求图形的面积为 S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x
＝⎠⎛0
3[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x ＝⎠
⎛0
3
(－x 2＋3x )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2⎪⎪⎪3
0＝92.
20.(本小题满分12分)求由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2以及x 轴所围成的平面图形的面积.
【解】 作出直线y ＝x －2，曲线y ＝x 的草图， 所求平面图形的面积为图中阴影部分的面积.
可求得直线y ＝x －2与曲线y ＝x 的交点为(4，2).直线y ＝x －2与x 轴的交点为(2，0).阴影部分的面积(记为S )，由两部分组成：一部分是直线x ＝2左边的图形的面积(记为S 1)；另一部分是直线x ＝2右边的图形的面积(记为S 2).
则S ＝S 1＋S 2 ＝⎠⎛02
x d x ＋⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎠⎛24x d x －⎠⎛24（x －2）d x ＝23
x 32|20＋23x 3
2|42－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－2x |42＝103
.
21.(本小题满分12分)设F (x )＝⎠⎛0x (t 2＋2t －8)d t .
(1)求F (x )的单调区间； (2)求F (x )在[1，3]上的最值.
【解】 依题意，F (x )＝⎠⎛0x (t 2＋2t －8)d t
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13t 3＋t 2－8t |x 0＝13x 3＋x 2－8x ， 定义域是(0，＋∞). (1)F ′(x )＝x 2＋2x －8， 令F ′(x )>0，得x >2或x <－4， 令F ′(x )<0，得－4<x <2， 由于定义域是(0，＋∞)，
∴函数的增区间是(2，＋∞)，减区间是(0，2). (2)令F ′(x )＝0，得x ＝2(x ＝－4舍去)， 由于F (1)＝－203，F (2)＝－28
3，F (3)＝－6，
∴F (x )在[1，3]上的最大值是F (3)＝－6，最小值是F (2)＝－28
3.
22.(本小题满分12分)求由曲线y ＝x 2，直线y ＝2x ＋3所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
【解】
曲线y ＝x 2与直线y ＝2x ＋3的交点为A (－1，1)，B (3，9)，则它们所围成的平面图形如图中阴影部分所示.
所以所得旋转体的体积V 等于直线y ＝2x ＋3，x ＝－1，x ＝3与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V 1)减去曲线y ＝x 2，直线x ＝－1，x ＝3与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积(记为V 2).
又V 1＝⎠⎛－13π(2x ＋3)2d x ＝π⎠⎛－13(4x 2＋12x ＋9)d x ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3＋6x 2＋9x ⎪⎪⎪
3
－1＝3643π.
V 2＝⎠⎛－13π(x 2)2d x ＝π⎠⎛－1
3x 4
d x ＝π5x 5⎪⎪⎪3
－1
＝244
5π.所以所求旋转体的体积V ＝V 1－V 2 ＝1 08815π.。