高考总复习北师大版数学文第二章 第四节函数的图像

第四节函数的图像
错误!
１．利用描点法作函数图像
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
首先：１确定函数的定义域；２化简函数解析式；３讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）；其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点）；
最后：描点，连线．
２．利用图像变换法作函数的图像
（１）平移变换：
y＝f（x）错误!y＝f（x—a）；
y＝f（x）错误!y＝f（x）＋b.
（２）伸缩变换：
y＝f（x）
1
01
1
1
ω
ω
ω
ω
<<
>
−−−−−−−−→
，伸原的倍
，短原的
长为来
缩为来
y＝f（ωx）；
y＝f（x）错误!y＝Af（x）．
（３）对称变换：
y＝f（x）错误!y＝—f（x）；
y＝f（x）错误!y＝f（—x）；
y＝f（x）错误!y＝—f（—x）．
（４）翻折变换：
y＝f（x）错误!y＝f（|x|）；
y＝f（x）错误!y＝|f（x）|.
１．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图像对应的解析式，这样才能避免出错．
２．明确一个函数的图像关于y轴对称与两个函数的图像关于y轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系．
[试一试]
（２0１４·安徽“江南十校”联考）函数y＝log２（|x|＋１）的图像大致是（）
解析：选B 首先判断定义域为R.又f（—x）＝f（x）．所以函数y＝log２（|x|＋１）为偶函数，当x>0时，y＝log２（x＋１）．故选Ｂ．
１．数形结合思想
借助函数图像，可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用函数的图像，还可以判断方程f（x）＝g（x）的解的个数、求不等式的解集等．
２．分类讨论思想
画函数图像时，如果解析式中含参数，还要对参数进行讨论，分别画出其图像．
[练一练]
若关于x的方程|x|＝a—x只有一个解，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意a＝|x|＋x
令y＝|x|＋x＝错误!图像如图所示，故要使a＝|x|＋x只有一解则a>0．
答案：（0，＋∞）
错误!
考点一作函数的图像
（１）y＝|lg x|；
（２）y＝２x＋２；
（３）y＝x２—２|x|—１．
解：（１）y＝错误!图像如图１．
（２）将y＝２x的图像向左平移２个单位．图像如图２．
（３）y＝错误!图像如图３．
[类题通法]
画函数图像的一般方法
（１）直接法．当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；
（２）图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
考点二识图与辨图
[典例] （１）（２0２）
（２）（２0１２·湖北高考）已知定义在区间[0,２]上的函数y＝f（x）的图像如图所示，则y＝—f（２—x）的图像为（）
[解析] （１）f（x）＝ln（x２＋１），x∈R，当x＝0时，f（0）＝ln １＝0，即f（x）过点（0,0），排除B，Ｄ．
∵f（—x）＝ln[（—x）２＋１]＝ln（x２＋１）＝f（x），
∴f（x）是偶函数，其图像关于y轴对称，故选Ａ．
（２）法一：由y＝f（x）的图像知
f（x）＝错误!
当x∈[0,２]时，２—x∈[0,２]，
所以f（２—x）＝错误!
故y＝—f（２—x）＝错误!
法二：当x＝0时，—f（２—x）＝—f（２）＝—１；当x＝１时，—f（２—x）＝—f（１）＝—１．观察各选项，可知应选Ｂ．
[答案] （１）A （２）B
[类题通法]
识图常用的方法
（１）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升（或下降）的趋势，利用这一特征分析解决问题；
（２）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
（３）函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．[针对训练]
１．（２0１４·潍坊高三期末）函数y＝x sin x在[—π，π]上的图像是（）
解析：选A 因为函数为偶函数，排除选项D；f（π）＝0，排除选项C；f错误!＝错误!，排除选项Ｂ．故选Ａ．
２．如图，函数f（x）的图像是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0,0），（１,２），（３,１），则f错误!的值等于________．
解析：∵由图像知f（３）＝１，
∴错误!＝１．∴f错误!＝f（１）＝２．
答案：２
考点三函数图像的应用
函数图像是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.归纳起来图像的应用常见的命题角度有：
１确定方程根的个数；
２求参数的取值范围；
３求不等式的解集.
角度一确定方程根的个数
１．（２0１４·日照一模）已知f（x）＝错误!则函数y＝２f２（x）—３f（x）＋１的零点个数是________．解析：方程２f２（x）—３f（x）＋１＝0的解为f（x）＝错误!或１．作出y＝f（x）的图像，由图像知零点的个数为５．
答案：５
角度二求参数的取值范围
２．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝错误!设函数错误!（x２—２）⊗（x—１），x∈R.若函数y＝f（x）—c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）
Ａ．（—１,１]∪（２，＋∞）Ｂ．（—２，—１]∪（１,２]
Ｃ．（—∞，—２）∪（１,２] Ｄ．[—２，—１]
解析：选B ∵a⊗b＝错误!
∴函数f（x）＝（x２—２）⊗（x—１）
＝错误!
结合图像可知，当c∈（—２，—１]∪（１,２]时，函数f（x）与y＝c的图像有两个公共点，∴c的取值范围是（—２，—１]∪（１,２]．
角度三求不等式的解集
３．函数f（x）是定义在[—４,４]上的偶函数，其在[0,４]上的图像如图所示，那么不等式错误!<0的解集为________．
解析：在错误!上y＝cos x>0，
在错误!上y＝cos x<0．
由f（x）的图像知在错误!上错误!<0，
因为f（x）为偶函数，y＝cos x也是偶函数，
所以y＝错误!为偶函数，
所以错误!<0的解集为错误!∪错误!.
答案：错误!∪错误!
[类题通法]
１．研究函数性质时一般要借助于函数图像，体现了数形结合思想；
２．有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决；
３．方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决．
错误!
[课堂练通考点]
１．函数y＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是（）
解析：选A y＝x|x|＝错误!为奇函数，奇函数图像关于原点对称．
２．（２0１３·北京高考）函数f（x）的图像向右平移１个单位长度，所得图像与曲线y＝e x关于y 轴对称，则f（x）＝（）
Ａ．e x＋１Ｂ．e x—１
Ｃ．e—x＋１Ｄ．e—x—１
解析：选D 与曲线y＝e x关于y轴对称的曲线为y＝e—x，函数y＝e—x的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f（x）的图像，即f（x）＝e—（x＋１）＝e—x—１.
３．（２0１３·湖南高考）函数f（x）＝ln x的图像与函数g（x）＝x２—４x＋４的图像的交点个数为（）
Ａ．0 Ｂ．１
Ｃ．２Ｄ．３
解析：选C g（x）＝x２—４x＋４＝（x—２）２，在同一平面直角坐标系内画出函数f（x）＝ln x与g（x）＝（x—２）２的图像（如图）．由图可得两个函数的图像有２个交点．
４．已知函数f（x）的图像如图所示，则函数g（x）＝log错误!f（x）的定义域是________．
解析：当f（x）>0时，函数g（x）＝log 错误!f（x）有意义，
由函数f（x）的图像知满足f（x）>0的x∈（２,8]．
答案：（２,8]
５．设函数f（x）＝|x＋a|，g（x）＝x—１，对于任意的x∈R，不等式f（x）≥g（x）恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：如图作出函数f（x）＝|x＋a|与g（x）＝x—１的图像，观察图像可
知：当且仅当—a≤１，即a≥—１时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，因此a的取值范围是[—１，＋∞）．答案：[—１，＋∞）
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
１．函数f（x）＝２x３的图像（）
Ａ．关于y轴对称Ｂ．关于x轴对称
Ｃ．关于直线y＝x对称Ｄ．关于原点对称
解析：选D 显然函数f（x）＝２x３是一个奇函数，所以其图像关于原点对称．
２．函数y＝错误!的图像大致是（）
解析：选B 当x<0时，函数的图像是抛物线；当x≥0时，只需把y＝２x的图像在y轴右侧的部分向下平移１个单位即可，故大致图像为Ｂ．
３．为了得到函数y＝２x—３—１的图像，只需把函数y＝２x的图像上所有的点（）
Ａ．向右平移３个单位长度，再向下平移１个单位长度
Ｂ．向左平移３个单位长度，再向下平移１个单位长度
Ｃ．向右平移３个单位长度，再向上平移１个单位长度
Ｄ．向左平移３个单位长度，再向上平移１个单位长度
解析：选A y＝２x错误!
y＝２x—３错误!
y＝２x—３—１．故选Ａ．
４．（２0１３·四川高考）函数y＝错误!的图像大致是（）
解析：选C 因为函数的定义域是非零实数集，所以A错；当x<0时，y>0，所以B错；当x→＋∞时，y→0，所以D错，故选Ｃ．
５．错误!已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝错误!若方程f（x）＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为（）
Ａ．（—∞，１）Ｂ．（—∞，１]
Ｃ．（0,１）Ｄ．（—∞，＋∞）
解析：选A x≤0时，f（x）＝２—x—１,0<x≤１时，
—１<x—１≤0，
f（x）＝f（x—１）＝２—（x—１）—１．
故x>0时，f（x）是周期函数，
如图所示．
若方程f（x）＝x＋a有两个不同的实数根，则函数f（x）的图像与直线y＝x＋a有两个不同交点，
故a<１，即a的取值范围是（—∞，１），故选Ａ．
6．已知下图（１）中的图像对应的函数为y＝f（x），则下图（２）中的图像对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是________（填序号）．
１y＝f（|x|）；２y＝|f（x）|；３y＝—f（|x|）；４y＝f（—|x|）．
解析：由图（１）和图（２）的关系可知，图（２）是由图（１）在y轴左侧的部分及其关于y轴对称图形构成的，故选４.
答案：４
7．函数f（x）＝错误!图像的对称中心为________．
解析：f（x）＝错误!＝１＋错误!，把函数y＝错误!的图像向上平移１个单位，即得函数f（x）的图像．由y＝错误!的对称中心为（0,0），可得平移后的f（x）图像的对称中心为（0,１）．答案：（0,１）
8．如图，定义在[—１，＋∞）上的函数f（x）的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，则f（x）的解析式为________．
解析：当—１≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，
则错误!得错误!∴y＝x＋１．
当x>0时，设解析式为y＝a（x—２）２—１，
∵图像过点（４,0），∴0＝a（４—２）２—１，得a＝错误!.
答案：f（x）＝错误!
9．已知函数f（x）＝２x，x∈R.
当m取何值时方程|f（x）—２|＝m有一个解？两个解？
解：令F（x）＝|f（x）—２|
＝|２x—２|，
G（x）＝m，画出F（x）的图像如图所示．
由图像看出，当m＝0或m≥２时，函数F（x）与G（x）的图像只有一个交点，原方程有一个解；
当0<m<２时，
函数F（x）与G（x）的图像有两个交点，
原方程有两个解．
１0．已知函数f（x）＝错误!
（１）在如图所示给定的直角坐标系内画出f（x）的图像；
（２）写出f（x）的单调递增区间；
（３）由图像指出当x取什么值时f（x）有最值．
解：（１）函数f（x）的图像如图所示．
（２）由图像可知，
函数f（x）的单调递增区间为[—１,0]，[２,５]．
（３）由图像知当x＝２时，f（x）min＝f（２）＝—１，
当x＝0时，f（x）max＝f（0）＝３．
第Ⅱ组：重点选做题
１．（２0１３·浙江高考）已知函数y＝f（x）的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′（x）的图像如图所示，则该函数的图像是（）
解析：选B 由函数f（x）的导函数y＝f′（x）的图像自左至右是先增后减，可知函数y＝f（x）图像的切线的斜率自左至右先增大后减小．
２．（２0１２·天津高考）已知函数y＝错误!的图像与函数y＝kx—２的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．
解析：因为函数y＝错误!＝错误!所以函数y＝kx—２的图像恒过点（0，—２），
根据图像易知，两个函数图像有两个交点时，0<k<１或１<k<４．
答案：（0,１）∪（１,４）。