《余弦定理》教案1

《余弦定理》教案
一、教学目标
1．掌握余弦定理，理解证明余弦定理的过程；
2．使学生能初步运用它解斜三角形。

二、教学重点
余弦定理的证明，
余弦定理的应用。

三、教学方法
引导法
四、课时
1课时
五、教学过程
复习正弦定理及其证明
复习正弦定理的应用
讲解新课：
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
即 A bc c b a cos 22
22-+=⇔bc a c b A 2cos 2
22-+= B ac a c b cos 22
22-+=⇔ca b a c B 2cos 2
22-+= C ab b a c cos 22
22-+=⇔ab c b a C 2cos 2
22-+= 推导过程：
如图在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ∵+= ∴)()(+∙+=∙ 222+∙+=
22)180cos(||||2B +-∙+= 22cos 2a B ac c +-=
A
B
即B ac a c b cos 2222-+=
同理可证 A bc c b a cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=
方法2：以顶点A 为原点，射线AC 为x 轴正半轴建立直角坐标系。

由两点的距离公式有：
两边平方，得
同理可证另两式
2、正弦定理、余弦定理与射影定理：
O 为ΔABC 的外接圆圆心，皆得 sin ∠BAC ＝sin （90o －∠OBC ）＝cos ∠OBC 。

CO cos ∠（A2）在ΔOBC 中，利用余弦定理：BC 2＝BO 2＋CO 2－2BO CO cos ∠BOC ＝4R 2cos 2∠OBC ∵ ∠OBC 必为锐角 ∴ BC ＝2Rcos ∠OBC
由上可知：在ΔABC 中，A a sin ＝BAC BC ∠sin ＝OBC
OBC R ∠∠cos cos 2＝2R 同理：B b sin ＝2R ；C
c sin ＝2R 故可利用射影定理或余弦定理证得正弦定理。

另：先將余弦定理转化如右：cosA ＝bc a c b 2222-+ ；cosB ＝ac
b c a 22
22-+ ； cosC ＝ab
c b a 2222-+ 整理b cosC ＋c cosB ＝b ×ab c b a 22
22-+＋c ×ac b c a 2222-+＝a
a 222＝a B C B C
同理：b＝a cosC＋c cosA；c＝a cosB＋b cosA 故可利用余弦定理证得射影定理。

小结：学生分组小结。