2016中考数学 专题突破八 代数综合作业手册

代数综合方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，2015年代数综合题出现在第27题，分值为7分．代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数1．[2015·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0，2)且平行于x 轴的直线与直线y ＝x－1交于点A ，点A 关于直线x ＝1的对称点为B ，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A ，B. (1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线C 1的函数解析式及顶点坐标； (3)若抛物线C 2：y ＝ax 2(a ≠0)与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象求a 的取值范围．2．[2014·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A (0，－2)，B (3，4)．(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上的一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G (包含A ，B 两点)．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围．3．[2013·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B.(1)求点A ，B 的坐标；(2)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的函数解析式； (3)若该抛物线在－2<x <－1这一段位于直线l 的上方，并且在2<x <3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的函数解析式．4．[2012·北京] 已知二次函数y ＝(t ＋1)x 2＋2(t ＋2)x ＋32在x ＝0和x ＝2时的函数值相等．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋6的图象与二次函数的图象都经过点A (－3，m )，求m 和k 的值； (3)设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C (点B 在点C 的左侧)，将二次函数的图象在点B ，C 间的部分(含点B 和点C )向左平移n (n ＞0)个单位长度后得到的图象记为G ，同时将(2)中得到的直线y ＝kx ＋6向上平移n 个单位长度．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，求n 的取值范围．图Z8－15．[2011·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝mx 2＋()m －3x －3()m >0的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C . (1)求点A 的坐标；(2)当∠ABC ＝45°时，求m 的值；(3)已知一次函数y ＝kx ＋b ，点P ()n ，0是x 轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数y ＝mx 2＋()m －3x －3()m >0的图象于点N .若只有当－2<n <2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．图Z8－21．[2015·海淀一模] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝12x 2－x ＋2与y 轴交于点A ，顶点为B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线BC 的函数解析式；(2)点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4.将抛物线在点A ，D 之间的部分(包含点A ，D )记为图象G ，若图象G 向下平移t (t >0)个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．图Z8－32．[2015·朝阳一模] 如图Z8－4，将抛物线M 1：y ＝ax 2＋4x 向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线M 2，直线y ＝x 与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3. (1)求a 的值及M 2的函数解析式．(2)点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .①当点C 的横坐标为2时，直线y ＝x ＋n 恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值； ②在点C 的运动过程中，若直线y ＝x ＋n 与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围(直接写出结果)．图Z8－43．[2015·西城一模] 已知二次函数y 1＝x 2＋bx ＋c 的图象C 1经过(－1，0)，(0，－3)两点． (1)求C 1对应的函数解析式；(2)将C 1先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线C 2，将C 2对应的函数解析式记为y 2＝x 2＋mx ＋n ，求C 2对应的函数解析式；(3)设y 3＝2x ＋3，在(2)的条件下，如果在－2≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得y 2≤y 3成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．图Z8－54．[2015·东城一模] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0过点A ()－1，0，B ()1，1，与y 轴交于点C.(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0的函数解析式．(2)若点D 在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．(3)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图Z8－65．[2015·石景山一模] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －3(m ≠0)与x 轴交于A (3，0)，B 两点．(1)求抛物线的函数解析式及点B 的坐标；(2)将－2<x <3时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若经过点C(4，2)的直线y＝kx＋b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．6．[2015·通州一模] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一次函数y1＝x＋k的图象交于A(0，1)，B两点，C(1，0)为二次函数图象的顶点．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式；(2)在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和一次函数y1＝x＋k的图象；(3)把(1)中的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象平移后得到新的二次函数y2＝ax2＋bx＋c＋m(a≠0，m为常数)的图象，定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1，y2中的较小值；如果y1＝y2，函数f 的函数值等于y1(或y2)．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围．7．[2015·海淀二模] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m＋4与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于点B，C(点B在点C左侧)．(1)求该抛物线的函数解析式及点B，C的坐标；(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx＋b经过点D和点E(－1，－2)，求直线DE的函数解析式；(3)在(2)的条件下，已知点P(t，0)，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．图Z8－78．[2014·海淀期中] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－(m－1)x－m(m>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当S△ABC＝15时，求该抛物线的函数解析式；(3)在(2)的条件下，经过点C的直线l：y＝kx＋b(k<0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于－8，求k的取值范围．图Z8－89．[2015·平谷一模] 已知抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(2，0)两点，与y 轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．(1)求该抛物线的函数解析式及点D的坐标；(2)点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为22时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO＋∠EPO＝∠α，当tanα＝2时，求点P 的坐标．图Z8－910．[2015·怀柔一模] 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝(a－1)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，a为正整数．(1)求a的值；(2)将二次函数y＝(a－1)x2＋2x＋1的图象向右平移m个单位长度，再向下平移(m2＋1)个单位长度，当－2≤x≤1时，二次函数有最小值－3，求实数m的值．图Z8－10参考答案1.解：(1)当＝2时，2＝－1，＝3. ∴A(3，2)．∵点A ，B 关于直线x ＝1对称， ∴B (－1，2)．(2)把(3，2)，(－1，2)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝9＋3b ＋c ，2＝1－b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－1.∴抛物线C 1的解析式为y ＝x 2－2x －1，顶点坐标为(1，－2)． (3)如图，当C 2过点A ，点B 时为临界状态，将A (3，2)代入y ＝ax 2，则9a ＝2，a ＝29，将B (－1，2)代入y ＝ax 2，则a ＝2， ∴29≤a ＜2. 2．解：(1)∵y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A (0，－2)，B (3，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，18＋3m ＋n ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2.∴抛物线的函数解析式为y ＝2x 2－4x －2. ∴对称轴为直线x ＝1.(2)由题意可知C (－3，－4)．二次函数y ＝2x 2－4x －2的最小值为－4. 如图，由图象可以看出点D 纵坐标的最小值即为－4，最大值为直线BC 与抛物线对称轴的交点的纵坐标．由B (3，4)，C (－3，－4)可知直线BC 的函数解析式为y ＝43x .当x ＝1时，y ＝43.∴－4≤t ≤43.3．解：(1)当x ＝0时，y ＝－2， ∴A (0，－2)，抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2m＝1，∴B (1，0)．(2)易得点A 关于对称轴直线x ＝1的对称点为A ′(2，－2)，点B 关于对称轴对称的点仍为点B ，∴直线l 经过点A ′，B.设直线l 的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝2，故直线l 的函数解析式为y ＝－2x ＋2. (3)∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线在2＜x ＜3这一段与在－1＜x ＜0这一段关于对称轴对称．如图，结合图象可以观察到抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在－1＜x ＜0这一段位于直线l 的下方，∴抛物线与直线l 的交点的横坐标为－1. 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋2＝4， ∴抛物线与直线l 的一个交点为(－1，4)． 当x ＝－1时，m ＋2m －2＝4， 解得m ＝2，∴抛物线的函数解析式为y ＝2x 2－4x －2.4．解：(1)∵二次函数y ＝(t ＋1)x 2＋2(t ＋2)x ＋32在x ＝0和x ＝2时的函数值相等，∴0＋0＋32＝4(t ＋1)＋4(t ＋2)＋32，解得t ＝－32，∴二次函数的解析式是y ＝－12x 2＋x ＋32.(2)把A (－3，m )代入y ＝－12x 2＋x ＋32得m ＝－12×(－3)2－3＋32＝－6，即A (－3，－6)．将A (－3，－6)代入y ＝kx ＋6，得－6＝－3k ＋6， 解得k ＝4，故m ＝－6，k ＝4.(3)由题意可知，点B ，C 间的部分图象的函数解析式是y ＝－12(x －3)(x ＋1)(－1≤x ≤3)，则抛物线平移后得到图象G 的函数解析式是y ＝－12(x －3＋n )(x ＋1＋n )(－n －1≤x ≤3－n )，此时直线平移后的解析式是y ＝4x ＋6＋n .如果平移后的直线与平移后的二次函数图象相切，则方程4x ＋6＋n ＝－12(x －3＋n )(x ＋1＋n )有两个相等的实数解，即－12x 2－(n ＋3)x －12n 2－92＝0有两个相等的实数解，Δ＝[－(n ＋3)]2－4×(－12)×(－12n 2－92)＝6n ＝0，解得n ＝0.∵与已知n ＞0相矛盾，∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点， 则两个临界的交点为(－n －1，0)，(3－n ，0)， ∴0＝4(－n －1)＋6＋n ， 解得n ＝23.0＝4(3－n )＋6＋n ， 解得n ＝6.故n 的取值范围是23≤n ≤6.5．解：(1)∵点A ，B 是二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m ＞0)的图象与x 轴的交点，∴令y ＝0，即mx 2＋(m －3)x －3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3m.又∵点A 在点B 左侧且m ＞0， ∴点A 的坐标为(－1，0)． (2)由(1)可知点B 的坐标为(3m ，0)．∵二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0，－3)．∵∠ABC ＝45°，∴3m＝3，解得m ＝1.(3)由(2)得，二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3.依题意并结合图象(如图)可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2，5)和(2，－3)．将交点坐标分别代入一次函数解析式y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝5，2k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1. ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋1.1.解：(1)∵抛物线y ＝12x 2－x ＋2与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为(0，2)．∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点B 的坐标为(1，32)． 又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上．设直线BC 的函数解析式为y ＝kx ＋b .∵直线BC 经过点B (1，32)和点C (2，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝32，2k ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1.∴直线BC 的函数解析式为y ＝12x ＋1. (2)如图所示，∵抛物线y ＝12x 2－x ＋2中，当x ＝4时，y ＝6， ∴点D 的坐标为(4，6)．∵直线y ＝12x ＋1中，当x ＝0时，y ＝1， 当x ＝4时，y ＝3，∴点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点A ′，点D 平移后的对应点为点D ′.当图象G 向下平移至点A ′与点E 重合时，点D ′在直线BC 上方，此时t ＝1；当图象G 向下平移至点D ′与点F 重合时，点A ′在直线BC 下方，此时t ＝3.结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1＜t ≤3.2．解：(1)∵点A 在直线y ＝x 上，且点A 的横坐标是－3，∴A (－3，－3)．把A (－3，－3)代入y ＝ax 2＋4x ，解得a ＝1.∴M 1：y ＝x 2＋4x ，顶点坐标为(－2，－4)，∴抛物线M 2的顶点坐标为(1，－1)．∴抛物线M 2的函数解析式为y ＝x 2－2x .(2)①如图，由题意，知C (2，2)，∴F (4，2)．∵直线y ＝x ＋n 经过点F ，∴2＝4＋n .解得n ＝－2.②n ＞3或n ＜－6.3．解：(1)∵二次函数y 1＝x 2＋bx ＋c 的图象C 1经过(－1，0)，(0，－3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，c ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3. ∴抛物线C 1的函数解析式为y 1＝x 2－2x －3.(2)∵y 1＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线C 1的顶点坐标为(1，－4)．∴平移后抛物线C 2的顶点坐标为(0，0)，∴C 2对应的函数解析式为y 2＝x 2.(3)a ≥－1(如图)．4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0过点A ()－1，0，B ()1，1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0，a ＋b ＋1＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝12.∴抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2＋12x ＋1. (2)∵x ＝－b 2a ＝12， ∴抛物线y ＝－12x 2＋12x ＋1的对称轴为直线x ＝12. 设点E 为点A 关于直线x ＝12的对称点，则点E 的坐标为()2，0. 连接EC 交直线x ＝12于点D ，此时△ACD 的周长最小． 设直线EC 的函数解析式为y ＝kx ＋m ，代入点E ，C 的坐标，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋m ＝0，m ＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝1.∴直线EC 的函数解析式为y ＝－12x ＋1. 当x ＝12时，y ＝34. ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. (3)存在．①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点P 1.∵AO ⊥OC ，AC ⊥AP 1，∴∠AOM ＝∠CAM ＝90°.∵C ()0，1，A ()－1，0，∴OA ＝OC ＝1.∴∠CAO ＝45°，∴∠OAM ＝∠OMA ＝45°，∴OA ＝OM ＝1.∴点M 的坐标为()0，－1.设直线AM 对应的一次函数的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，代入点A ，M 的坐标，则⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝0，b 1＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－1，b 1＝－1. ∴直线AM 的函数解析式为y ＝－x －1.令x ＝12，则y ＝－32. ∴点P 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32. ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点P 2，交x 轴于点N .与①同理可得Rt △CON 是等腰直角三角形，∴OC ＝ON ＝1，∴点N 的坐标为()1，0.∵CP 2⊥AC ，AP 1⊥AC ，∴CP 2∥AP 1，∴直线CP 2的函数解析式为y ＝－x ＋1.令x ＝12，则y ＝12. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.综上所述，在对称轴上存在点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，使△ACP 成为以AC 为直角边的直角三角形．5．解：(1)将A ()3，0代入y ＝mx 2－2mx －3，解得m ＝1.∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－2x －3.令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴点B 的坐标为()－1，0. (2)y ＝x 2－2x －3＝()x －12－4. ∵当－2<x <1时，y 随x 增大而减小；当1≤x <3时，y 随x 增大而增大，∴当x ＝1，y min ＝－4；当x ＝－2，y ma x ＝5.∴y 的取值范围是－4≤y <5.(3)如图，当直线y ＝kx ＋b 经过点B ()－1，0，C ()4，2时，其函数解析式为y ＝25x ＋25. 当直线y ＝kx ＋b 经过点()－2，－5，C ()4，2时，其函数解析式为y ＝76x －83. 结合图象可得b 的取值范围是－83<b <25.6．解：(1)设抛物线的函数解析式为y ＝a (x －1)2.由抛物线过点A (0，1)，可得y ＝x 2－2x ＋1.(2)如图①：(3)如图②③，由图可知－4<m <0.7．解：(1)∵抛物线y ＝mx 2－2mx ＋m ＋4与y 轴交于点A (0，3)，∴m ＋4＝3，解得m ＝－1，∴抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于点B ，C ，∴令y ＝0，即－x 2＋2x ＋3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝3.又∵点B 在点C 左侧，∴点B 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(3，0)．(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1.∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，∴点D 的坐标为(1，0)．∵直线y ＝kx ＋b 经过点D (1，0)和点E (－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－k ＋b ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1. ∴直线DE 的函数解析式为y ＝x －1.(3)t <1或t >3.8．解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m －1)x －m (m >0)与x 轴交于A ，B 两点，∴令y ＝0，即x 2－(m －1)x －m ＝0.解得x 1＝－1，x 2＝m .又∵点A 在点B 左侧，且m >0，∴点A 的坐标为(－1，0)．(2)由(1)可知点B 的坐标为(m ，0)．∵抛物线与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0，－m )．∵m >0，∴AB ＝m ＋1，OC ＝m .∵S △ABC ＝15，∴12(m ＋1)m ＝15. 解得m ＝－6或m ＝5.∵m >0，∴m ＝5，∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－4x －5.(3)由(2)可知点C 的坐标为(0，－5)．∵直线l ：y ＝kx ＋b (k <0)经过点C ，∴b ＝－5，∴直线l 的解析式为y ＝kx －5(k <0)．∵y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值均为－9，不符合题意． 当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于－8(如图)．令y ＝－8，即x 2－4x －5＝－8.解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝3.∴抛物线经过点(3，－8)．当直线y ＝kx －5(k <0)经过点(3，－8)时，可求得k ＝－1.由图象可知，当－1<k <0时新函数的最小值大于－8.9．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋x ＋c (a ≠0)经过A (－1，0)，B (2，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋c ＝0，4a ＋2＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝2. ∴抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2，∴点D 的坐标为(12，94)． (2)如图①，作EN ∥BC ，交y 轴于点N ，过点C 作 CM ⊥EN 于点M .令x ＝0，得y ＝2，∴OC ＝OB ＝2，∴∠OCB ＝45°.∵EN ∥BC ，∴∠CNM ＝∠OCB ＝45°.∵CM ⊥EN 于点M ，∴∠CNM ＝∠MCN ＝45°，∴MN ＝CM ＝22， ∴CN ＝1.∴直线NE 的函数解析式为y ＝－x ＋3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝－x 2＋x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点E 的坐标为(1，2)．(3)如图②，过点E 作EF ⊥AB 于点F .由(2)知tan ∠EOF ＝2，又∵tan α＝2，∴∠EOF ＝∠α.∵∠EOF ＝∠EAO ＋∠AEO ＝∠α，∠EAO ＋∠EPO ＝∠α，∴∠EPO ＝∠AEO .∵∠EAO ＝∠PAE ，∴△AEP ∽△AOE ， ∴AP AE ＝AE AO.∵AE ＝22＋22＝2 2，AO ＝1，∴AP ＝8，∴OP ＝7，∴P ()7，0，由对称性可得P ′()－5，0.∴点P 的坐标为()7，0或()－5，0.10．解：(1)∵二次函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，令y ＝0，则(a －1)x 2＋2x ＋1＝0，∴4－4(a －1)≥0，解得a ≤2.∵a 为正整数，∴a 为1或2.又∵y ＝(a －1)x 2＋2x ＋1是二次函数，∴a －1≠0，∴a ≠1，∴a 的值为2.(2)∵a ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x ＋1.将二次函数y ＝x 2＋2x ＋1化成顶点式为y ＝(x ＋1)2，二次函数图象向右平移m 个单位长度，再向下平移(m 2＋1)个单位长度后的函数解析式为y＝(x ＋1－m )2－(m 2＋1)．此时函数图象的顶点坐标为(m －1，－m 2－1)．当m －1＜－2，即m ＜－1时，在x ＝－2处二次函数有最小值－3，∴－3＝(－1－m )2－(m 2＋1)，解得m ＝－32，符合题目要求． 当－2≤m －1≤1，即－1≤m ≤2时，在x ＝m －1处二次函数有最小值－3，即－m 2－1＝－3， 解得m ＝± 2.∵m ＝－2不符合－1≤m ≤2的条件，舍去．∴m ＝ 2.当m －1＞1，即m ＞2时，在x ＝1处二次函数有最小值－3，∴－3＝(2－m )2－(m 2＋1)， 解得m ＝32，不符合m ＞2的条件，舍去． 综上所述，m 的值为－32或 2.。