【三套打包】重庆第一中学人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理单元试题

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元检测
一、选择题（共2小题；共10分）
1. 等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为( )
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
2. 如图，6个边长为1的小正方形及其部分对角线所构成的图形中，如果从A点到B
点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有( )
A. 1种
B. 2种
C. 3种
D. 4种
二、填空题（共1小题；共5分）
3. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为‘‘赵爽弦
图”．如图由弦图变化得到，它由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH 的边长为2，则S1+S2+S3=．
三、解答题（共3小题；共39分）
4. 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13．求BC边上的高AD．
5. 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形和一个边长为c的正方形，直角三角
形的两直角边长分别是a，b，斜边长为c，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
Ⅰ画出拼成的这个图形的示意图；
Ⅱ证明勾股定理．
6. 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了一种新的验证勾股定理的方法．如
图火柴盒的一个侧面ABCD倒下到ABʹCʹDʹ的位置，连接CCʹ，设AB=a，BC=b，AC=c．请利用四边形BCCʹDʹ的面积证明勾股定理：a2+b2=c2．
四、选择题（共1小题；共5分）
7. 已知三组数据：① 2，3，4；② 3，4，5；③ 1，√3，2．分别以每组数据中的三个
数为三角形的三边长，能构成直角三角形的有( )
A. ②
B. ①②
C. ①③
D. ②③
五、填空题（共1小题；共5分）
8. 若△ABC的三边长a，b，c满足关系是(a+2b−60)2+∣b−18∣+√c−30=0，
则△ABC是三角形．
六、解答题（共3小题；共39分）
9. 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边．当a2+b2=c2时，△ABC
是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状（按角分类）．
Ⅰ当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为三角形；
当△ABC的三边长分别为6，8，11，△ABC为三角形．Ⅱ小明同学根据上述探究，有下面的猜想：‘‘当a2+b2>c2时，△ABC为锐角三角形；当a2+b2<c2时，△ABC为钝角三角形．’’请你根据小明的猜想完成下
面的问题：当a=2，b=4时，最长边c在什么范围内取值时，△ABC分别
是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形?
10. 如图，已知AD⊥CD于点D，且AD=4，CD=3，AB=12，BC=13．
Ⅰ求：四边形ABCD的面积；
Ⅱ 若∠B=23∘
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理单元提升
一、选择题
1.如图,两个较大正方形的面积分别为225,289,则字母A所代表的正方形的面积为(D)
A.4
B.8
C.16
D.64
2.有一个学生方队,学生B的位置是第8列第7行,记为(8,7),则学生A在第2列第3行的位置可以表示为(C)
A.(2,1)
B.(3,3)
C.(2,3)
D.(3,2)
3.直角三角形有一条直角边为6,另两条边长是连续的偶数,则该三角形的周长为(C)
A.20
B.22
C.24
D.26
4.下列关于有序数对的说法正确的是(C)
A.(3,2)与(2,3)表示的位置相同
B.(a,b)与(b,a)表示的位置一定不同
C.(3,-2),(-2,3)是表示不同位置的两个有序数对
D.(4,4)与(4,4)表示两个不同的位置
5.满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是(D)
A.b2-c2=a2
B.a∶b∶c=5∶12∶13
C.∠C=∠A-∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=9∶12∶15
6.观察下列的有序数对:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…,按这些规律,第50个有序数对是(C)
A.(3,8)
B.(4,7)
C.(5,6)
D.(6,5)
7.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,且EF∥BC交AC于点M,若CM=5,则CE2+CF2等于(B)
A.75
B.100
C.120
D.125
8. 在平面直角坐标系内,点P (a ,a+3)的位置一定不在(D)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
9.如图,张明家(记作A )在成都东站(记作B )南偏西30°的方向且相距4000米,王强家(记作C )在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米,则张明家与王强家的距离为(B) A .6000米 B .5000米
C .4000米
D .2000米
10.如图,某小区有一块直角三角形的绿地,量得两直角边AC=4 m,BC=3 m,考虑到这块绿地周围还有足够多的空余部分,于是打算将这块绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以AC 为一直角边的直角三角形,则扩充方案共有(B)
A .2种
B .3种
C .4种
D .5种
二、填空题
11.有两根木棒,分别长6 cm,5 cm,要再在7 cm 的木棒上取一段,用这三根木棒为边做成直角三角形,这第三根木棒要取的长度是 √11 cm .
12. 观察下列的有序数对:(3,-1),(-5,12),(7,-13),(-9,14),…,根据你发现的规律,第2019个有序数对是 (4039,−12019
) . 13.在△ABC 中,若三条边的长度分别为9,12,15,则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 108 .
14.若点A (3,x+1),点B (y-7,-1)分别在x 轴、y 轴上,则x 2+y 2= 50 .
15.设a>b ,如果a+b ,a-b 是三角形较小的两条边,当第三边等于 √2a 2+2b 2 时,这个三角形为直角三角形.
16.如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ,则这个三角形为 直角
三角形.
三、解答题
17.两个边长分别为a ,b ,c 的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的图形.试用不同的方法计算该图形的面积,你能发现a ,b ,c 之间有什么数量关系? 解:∵该图形的面积=12ab ×2+12c 2=ab+12c 2
, 或该图形的面积=12(a+b )(a+b )=12(a+b )2
, ∴ab+12c 2=12(a+b )2,
∴ab+12c 2=12(a 2+2ab+b 2),
∴12c 2=12a 2+12b 2,即a 2+b 2=c 2.
18.如图,用点A (3,1)表示3个胡萝卜,1棵青菜;点B (2,3)表示2个胡萝卜,3棵青菜.同理点C (2,1),D (2,2),E (3,2),F (3,3)各表示相应的胡萝卜个数与青菜的棵数.若1只兔子从A 到B (顺着方格走),有以下几条路可供选择①A →C →D →B ;②A →E →D →B ;③A →E →F →B.问:兔子顺着哪条路走吃到的胡萝卜最多?顺着哪条路走吃到的青菜最多?各是多少?
解:按①走吃到的胡萝卜为3+2+2+2=9(个),青菜为1+1+2+3=7(棵);
按②走吃到的胡萝卜为3+3+2+2=10(个),青菜为1+2+2+3=8(棵);
按③走吃到的胡萝卜为3+3+3+2=11(个),青菜为1+2+3+3=9(棵).
故按③走吃到的胡萝卜和青菜都是最多的,分别为胡萝卜11个,青菜9棵.
19在下面的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,正方形的顶点称为格点,请在图中以格点为顶点,画出一个周长为2√5+2√10的△ABC ,并求它的面积.
解:△ABC 如图所示.(图形位置不唯一,合理即可)
∵AB=AC=√10,BC=2√5,
∴AB 2+AC 2=BC 2,
∴S △ABC =12·AB ·AC
=12×√10×√10
=5.
20.如图是某台阶的一部分,每级台阶的高与长都相等.如果点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(1,1).
(1)请建立适当的平面直角坐标系,并写出点C,D,E,F的坐标;
(2)如果该台阶有10级,你能得到该台阶的高度吗?
解:(1)以A点为原点,水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,所以C(2,2),D(3,3),E(4,4),F(5,5).
(2)因为每级台阶高为1,所以10级台阶的高度是10.
21.如图,某学校(点M)距公路(直线l)的距离(MA)为1 km,在公路上距该校2 km处有一车站(点N),该校拟在公路上建一个公交车停靠点(点P),以便于本校职工乘车上下班,要求停靠站建在AN之间且到此校与车站的距离相等,请你计算停靠站到车站的距离.
解:连接MP.在Rt△MAN中,MA=1,MN=2,
由勾股定理得AN=√MN2-AM2=√22-12=√3
人教版八年级下册数学单元培优卷：第十七章勾股定理（含答案）一．选择题
1．如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH ＝EB＝3，AE＝4，则BC+AC的长是（）
A．7B．8C．D．
2．如图，图中的小方格都是正方形，△ABC的三边a，b，c的大小关系为（）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c
3．如图，在方格纸（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）中，我们称每个小正方形的顶点为格点，以格点为顶点的图形称为格点图形，图中的△ABC为格点三角形，它的三边a，b，c的大小关系是（）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，CD⊥AB于D，则CD的长是（）
A．6B．C．D．
5．如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数（）
A．6B．7C．8D．9
6．如图，方格板中的两个四边形，下列叙述正确的是（）
A．四边形Ⅰ的面积大于四边形Ⅱ的面积
B．四边形Ⅰ的面积小于四边形Ⅱ的面积
C．这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长
D．这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长大于Ⅱ的周长
7．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，已知一条到达底部的直吸管在罐内部分的长度为a，若直吸管在罐外部分还剩余3，则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）
A．12≤b≤13B．12≤b≤15C．13≤b≤16D．15≤b≤16
8．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，以斜边AC作正方形ACDE，则边BE的长是（）
A．15B．C．D．
9．已知：如图，无盖无底的正方体纸盒ABCD﹣EFGH，P，Q分别为棱FB，GC上的点，且FP＝2PB，GQ＝QC，若将这个正方体纸盒沿折线AP﹣PQ﹣QH裁剪并展开，得到的平面图形是（）
A．一个六边形
B．一个平行四边形
C．两个直角三角形
D．一个直角三角形和一个直角梯形
二．填空题
10．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝度．
11．如图所示，在△ABC中，∠C＝2∠B，点D是BC上一点，AD＝5，且AD⊥AB，点E 是BD的中点，AC＝6.5，则AB的长度为．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（﹣2，1）关于y轴的对称点P′，点T（t，0）是x轴上的一个动点，当△P′TO是等腰三角形时，t的值是．
13．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”
（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝10，则S2的值是．
14．如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD，要将其剪拼成边长分别为a，b的两个小正方形，使得a2+b2＝52．
①a，b的值可以是（提示：答案不惟一）（写出一组即可）；
②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，
同时说明该裁剪方法具有一般性：
．
15．如图：在6×6的网格（小正方形的边长为1）中有一个三角形ABC，则三角形ABC的周长是（精确到0.001）．
16．在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为cm2．17．我国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图（如图），可以说是充分肯定了我国数学的成就，也弘扬了我国古代的数学文化．弦图是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么（a+b）2的值是．
18．如图，有六个矩形水池环绕，矩形的内侧边所在直线恰好围成正六边形ABCDEF，正六边形的边长为4米．要从水源点P处向各水池铺设供水管道，这些管道的总长度最短是米．（结果保留根号）
19．如图所示的“勾股树”中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，
其中最大正方形的边长为12cm，则A、B、C、D四个小正方形的面积之和为cm2．
20．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝5，∠BAC＝90°．若点P是BC的中点，则线段AP的长等于；若点P在直线BC上运动，设点B、C关于直线AP的对称点分别为B′、C′，则线段B′C′的长等于．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从C出发，在CB边上以每秒cm的速度向B匀速运动，设运动时间为t秒（0＜t＜6），连接MN，若△BMN是等腰三角形，则t的值为．
22．在Rt△ABC中，斜边AB＝10cm，tan A＝，则Rt△ABC的周长为cm．
三．解答题
23．已知：D是Rt△ABC斜边BC上的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥DF，延长FD到Q，使FD＝DQ，连接BQ．
（1）试说明AB⊥BQ的理由；
（2）探究BE2、CF2与EF2有何等量关系．
24．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，BC＝20，AC＝15，AD＝9．（1）求CD的长；
（2）求AB的长．
25．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求DC和AB的长；
（2）证明：∠ACB＝90°．
26．已知：CD为Rt△ABC的斜边上的高，且BC＝a，AC＝b，AB＝c，CD＝h（如图）．求证：．
27．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：
3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，
且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分
别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为；
（3）用所学知识加以说明．
28．观察下表：
列举猜想
3，4，5 32＝4+5
5，12，13 52＝12+13
7，24，25 72＝24+25
…
13，b，c132＝b+c
请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值．
29．已知如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，求这个四边形的面积．
30．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝17cm，BC＝8cm，CD⊥AB于D，求CD的长及△ABC的面积．
31．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD＝2，BE＝5，求AB的长．
32．若a、b、c是△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定这个三角形的形状．33．如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
34．叙述勾股定理并证明它．
35．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，P为BC上任意一点，求证：AP2+PB•PC＝25．
36．探究下列几何题：
（1）如图（1）所示，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证：AC2﹣BC2＝AP2﹣BP2；
（2）如图（2）所示，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点P，猜一猜AB，BC，CD，DA 之间有何数量关系，并用式子表示出来（不用证明）；
（3）如图（3）所示，在矩形ABCD中，P是其内部任意一点，试猜想AP，BP，CP，DP之间的数量关系，并给出证明．
37．如图，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别用a，b，c表示，∠A＝2∠B，且∠A＝60°，求证：a2＝b（b+c）．
38．已知：如图，AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，BD＝12，CD＝13，
（1）求BC的长度；（2）证明：BC⊥BD．
39．如图，以Rt△ABC的三边为直径的3个半圆的面积之间有什么关系？请说明理由．
40．已知，如图，△ABC中，AB＞AC，AD为BC边上的高，M是AD边上任意一点．求证：AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∠AHE＝∠CHD，∴∠EAH＝∠ECB，又EH＝EB，∴△AEH≌△CEB．
∴BC＝AH＝5，EC＝AE＝4，∴AC＝4，
∴BC+AC＝5+4．
故选：C．
2．解：根据已知格点三角形，由勾股定理得：
∵a2＝22+32＝13，
∴a＝，
∵b2＝1+42＝17，
∴b＝，
∵c2＝22+22＝8，
∴c＝，
∵＜＜，
∴c＜a＜b．
故选：B．
3．解：根据已知格点三角形，由勾股定理得：
a2＝12+42＝17，∴a＝，
b2＝22+32＝13，∴b＝，
c2＝12+32＝10，∴c＝，
＜＜，
∴c＜b＜a．
故选：C．
4．解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×10×CD＝×8×6，解得，CD＝，
故选：C．
5．解：根据题意可得以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C共8个．
故选：C．
6．解：设每相邻两个点间的距离是1．
则Ⅰ的周长＝2+2，面积＝1×1＝1；
Ⅱ的周长＝1+2+，Ⅱ的面积＝+＝1．
故这两个四边形有相同的面积，但Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长．
故选：C．
7．解：如图，连接BO，AO，
当吸管底部在O点时吸管在罐内部分a最短，
此时a就是圆柱形的高，
即a＝12；
当吸管底部在A点时吸管在罐内部分a最长，
即线段AB的长，
在Rt△ABO中，
AB＝
＝
＝13，
故此时a＝13，
所以12≤a≤13，
则吸管的总长度b（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是：15≤b≤16．
故选：D．
8．解：作EF⊥AB于F．
∵四边形ACDE是正方形，
∴∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠EAF+∠BAC＝90°．
又∠ABC＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°．
∴∠EAF＝∠ACB．
∴△AEF≌△CAB．
∴AF＝BC＝8，EF＝AB＝6．
在直角三角形BEF中，根据勾股定理，得
BE＝＝＝＝2．
故选：B．
9．解：依题意可知，BP＝BF＝DH，CQ＝CG＝DH，又∵PB∥CQ∥DH，
∴△APB∽△AQC∽△AHD，
∴A、P、Q、H四点共线，平面展开图形为平行四边形（如图）
故选：B．
二．填空题（共13小题）
10．解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
在Rt△ABC中，BC＝＝4，
CD2+BC2＝22+（4）2＝36，BD2＝62＝36，
∴CD2+BC2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝45°，
故答案为：45．
11．解：Rt△ABD中，E是BD的中点，则AE＝BE＝DE；
∴∠B＝∠BAE，即∠AED＝2∠B；
∵∠C＝2∠B，
∴∠AEC＝∠C，即AE＝AC＝6.5；
∴BD＝2AE＝13；
由勾股定理，得：AB＝＝12．
12．解：由题可知，点P′的坐标是（2，1），则OP′＝＝，（1）当OP′是等腰三角形的底边时，点T就是OP′的垂直平分线与x轴的交点，根据三角形相似可得：OT＝；
（2）当OP′是等腰三角形的腰时，若点O是顶角顶点，则点T就是以点O为圆心，以OP′为半径的圆与x轴的交点，则坐标是（4，0），则t的值是4，若点P′是顶角顶点，则点T就是以点P′为圆心，以OP′为半径的圆与x轴的交点，则坐标是（，0）或（﹣，0），则t的值是或﹣．
由（1）（2）可知t的值是或4或或．
13．解：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3＝10，∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x，
∴S1+S2+S3＝3x+12y＝10，故3x+12y＝10，
x+4y＝，
所以S2＝x+4y＝，
故答案为：．
14．解：①要使得a2+b2＝52．考虑到直角三角形的特殊情况，a，b的取值可以使3，4一组（答案不唯一）；
②裁剪线及拼接方法如图所示：
按照上图所示剪裁，先剪一个边长是4的正方形；剩下的剪三个边长为1的正方形和两个长为3宽为1的矩形，然后将这些拼接成边长为3的正方形即可．
15．解：根据题意，得：AC＝2，BC＝3．
根据勾股定理，得：AB＝．
则三角形的周长是5+≈8.606．
16．解：当∠B为锐角时（如图1），
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝5cm，
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝16cm，
∴BC＝21，
∴S
＝＝×21×12＝126cm2；
△ABC
当∠B为钝角时（如图2），
在Rt△ABD中，
BD＝＝＝5cm，
在Rt△ADC中，
CD＝＝＝16cm，
∴BC＝CD﹣BD＝16﹣5＝11cm，
＝＝×11×12＝66cm2，
∴S
△ABC
故答案为：126或66．
17．解：设大正方形的边长为c，根据题意得：
c2＝a2+b2＝13，4×ab＝13﹣2＝11，即2ab＝11，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+11＝24，
故答案为：24．
18．解：过点P作PG⊥ED于G，由于正六边形的中心角为360°÷6＝60°．所以∠P＝30°，正六边形的边长为4米，则GD＝×4＝2米．
PG＝＝＝2米．
根据垂线段最短，P到ED的最短距离为PG＝2米．
∴这些管道的总长度最短是6×2＝12米．
19．解：如右图所示，
根据勾股定理可知，
S 正方形2+S 正方形3＝S 正方形1，
S 正方形C +S 正方形D ＝S 正方形2，
S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形3，
∴S 正方形C +S 正方形D +S 正方形A +S 正方形B ＝S 正方形1＝122＝144．
故答案是144．
20．解：在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝5，∠BAC ＝90°，
∴斜边BC ＝13，
∵点P 是BC 的中点，
∴AP ＝6.5．
∵点B 、C 关于直线AP 的对称点分别为B ′、C ′，
根据轴对称的性质得B ′C ′＝BC ＝13．
故填空答案：6.5，13．
21．解：分三种情形：①当MN ＝MB 时，作MH ⊥BC 于H ，则HB ＝HN ． 在Rt △ABC 中，∵∠A ＝60°，∠C ＝90°，AB ＝12cm ，
∴BC ＝AB •sin60°＝6
，∠B ＝30°，
∵BM ＝2t ，CN ＝
t ， ∴BN ＝6
﹣t ＝2（BM •cos30°）， ∴6﹣t ＝2t ， ∴t ＝2．
②当BM ＝BN 时，6
﹣t ＝2t ， ∴t ＝12﹣18．
③当MN ＝BN 时，同法可得：2t ＝2•（6﹣t ）•cos30°，解得t ＝
， 综上所述，若△BMN 是等腰三角形，则t 的值为3s 或（12
﹣18）s 或s ． 故答案为3s 或（12﹣18）s 或s ．
22．解：∵tan A＝，设AC＝4xcm，则BC＝3xcm，则16x2+9x2＝102，
解得x1＝2，x2＝﹣2（不合题意舍去）．
4x＝8，3x＝6．
∴Rt△ABC的周长为10+8+6＝24cm．
故答案为：24．
三．解答题（共18小题）
23．解：（1）连接QE，（1分）
∵D是Rt△ABC斜边BC上的中点，
∴CD＝BD．
又∵FD＝DQ，∠FDC＝∠QDB，
∴△FDC≌△QDB．
∴∠DBQ＝∠C．
∴AC∥BQ．
又∵∠BAC＝90°，
∴∠ABQ＝90°．
∴AB⊥BQ．
（2）BE2+CF2＝EF2
∵∠EBQ＝90°，
∴BE2+BQ2＝QE2
∵ED⊥DF，
又∵△BQD≌△CFD，
∴DQ＝DF．
∴ED是QF的垂直平分线．
∴QE＝EF．
∵△DFC≌△DQB，
∴CF＝BQ．
∴BE2+CF2＝EF2．
24．解：（1）在Rt△ACD中，CD＝＝12；
（2）在Rt△BCD中，BD＝＝16，
则AB＝AD+BD＝25．
25．（1）解：∵CD⊥AB于D，BC＝15，DB＝9，∴CD＝＝＝12．
在Rt△ACD中，
∵AC＝20，CD＝12，
∴AD＝＝＝16，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．
（2）∵AC2+BC2＝202+152＝625＝AB2，
∴△ABC是Rt△，
∴∠ACB＝90°．
26．证明：左边＝＝
∵在直角三角形中，a2+b2＝c2，
又∵即ab＝ch
∴＝右边
即证得：．
27．解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；
故答案为：60，61；
（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为，
故答案为：；
（3）∵a2+（）2＝，
（）2＝，
∴a2+（）2＝（）2
又∵a为奇数，且a≥3，
∴由a，，三个数组成的数是勾股数．
28．解：由3，4，5 32＝4+5，32+42＝52＝（4+1）2；
5，12，13 52＝12+13，52+122＝132＝（12+1）2；
7，24，25 72＝24+25，72+242＝252＝（24+1）2；
故132＝b+c＝b+b+1，132+b2＝c2＝（b+1）2；
即132+b2＝（b+1）2；
解得b＝84，b+1＝85，即c＝85．
29．解：连接AC ，如图所示：
∵∠B ＝90°，∴△ABC 为直角三角形，
又AB ＝4，BC ＝3，
∴根据勾股定理得：AC ＝
＝5，
又AD ＝13，CD ＝12，
∴AD 2＝132＝169，C D 2+AC 2＝122+52＝144+25＝169，
∴CD 2+AC 2＝AD 2，
∴△ACD 为直角三角形，∠ACD ＝90°，
则S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝AB •BC +AC •CD ＝×3×4+×12×5＝36． 30．解：由勾股定理得，AC ＝＝15cm ， 则×AB ×CD ＝×BC ×AC ，即×17×CD ＝×8×15，
解得，CD ＝，
△ABC 的面积＝×BC ×AC ＝60（cm 2）．
31．解：设AE ＝CE ＝x ，CD ＝BD ＝y ，
∵△ACD 与△BCE 是直角三角形，
∴
，
解得， ∴AC ＝6，BC ＝4，
∴AB ＝2．
32．解：∵a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，
∴c 2（a 2﹣b 2）＝（a 2﹣b 2）（a 2+b 2）＝（a +b ）（a ﹣b ）（a 2+b 2），
∵a +b ≠0，
∴a ＝b 或c 2＝a 2+b 2，
∴该三角形是等腰三角形或直角三角形．
33．解：（1）∵AB＝25米，BE＝7米，
梯子距离地面的高度AE＝＝24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE＝（24﹣4）＝20米，∴BD+BE＝D E＝＝＝15，
∴DE＝15﹣7＝8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
34．证明：利用下图进行勾股定理的证明，
∵外部是四个全等的直角三角形，
∴中间的四边形为正方形，
正方形的面积＝c2，
正方形的面积＝（a+b）2﹣4××ab＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2．
35．证明：作AH⊥BC于H，则BH＝CH，
在Rt△AHP中，AP2＝AH2+HP2
在△ABH中，AB2＝AH2+BH2，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH，
∴AB2﹣AP2＝BH2﹣HP2＝（BH+HP）（BH﹣HP）＝PB•CP，
∴AP2+PB•PC＝AB2＝25．
36．（1）证明：∵在Rt△ACP中
PC2＝AC2﹣AP2
在Rt△BCP中，PC2＝BC2﹣BP2
∴AC2﹣BC2＝AP2﹣BP2
（2）解：∵AB2＝AP2+PB2，BC2＝BP2+CP2，CD2＝CP2+DP2，AD2＝DP2+AP2．∴AB2+CD2＝AD2+BC2
（3）解：P A2+PC2＝PB2+PD2
证明：过P作EF∥AD交AB，CD于E，F，过P作MN∥AB交AD，BC于M，N 则P A2＝AM2+PM2，PB2＝BN2+PN2，PC2＝PN2+NC2，PD2＝MD2+PM2
∵AM＝BN，MD＝NC，
∴P A2+PC2＝PB2+PD2．
37．证明：∵∠A＝60°，∠A＝2∠B，
∴∠B＝30°，
∴∠C＝90°，
∴b＝c，
∴a＝＝＝c，
∴a2＝c2．
∵b（b+c）＝c（c+c）＝c2，
∴a2＝b（b+c）．
38．解：（1）∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，
∴BC＝．
（2）∵BD＝12，CD＝13，BC2+BD2＝52+122＝132＝CD2，
∴∠CBD＝90°．
∴BC⊥BD．
39．解：半圆D的面积等于半圆E的面积与半圆F的面积之和．
证明：在直角△ABC中，AC2＝BC2+AB2，
∵半圆D的面积为π•，
半圆E的面积为π•，
半圆F的面积为π•，
∴半圆E与半圆F面积之和为π•+π•＝π•＝半圆D的面积
故半圆D的面积等于半圆E的面积与半圆F的面积之和．
40．证明：在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，
在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，
所以，AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
所以，AB2﹣AC2＝BD2﹣CD2，
在Rt△MBD中，MB2﹣BD2＝MD2，在Rt△MCD中，MC2﹣CD2＝MD2，所以MB2﹣BD2＝MC2﹣CD2，
所以MB2﹣MC2＝BD2﹣CD2，
所以AB2﹣AC2＝MB2﹣MC2．。