人教版八年级数学下册期末试卷(培优篇)(Word版含解析)

人教版八年级数学下册期末试卷（培优篇）（Word 版含解析） 一、选择题 1．使式子1x +有意义的x 的取值范围是（ ）
A ．1x ≤-
B ．1x ≥-
C ．1x ≠-
D ．1x =- 2．若△ABC 的三边a ，b ，c ，满足()22220a b a b c -++-=，则△ABC 是（ ）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
3．下列说法不正确的是（ ）
A ．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B ．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形
C ．四条边相等的四边形是菱形
D ．四个角都相等的四边形是矩形
4．为了解居民用水情况，在某小区随机抽查记录了20户家庭的月用水量，汇总结果如表：
月用水
量
（吨）
4 5 6 8 9 户数 1 2 13 3 1
则关于这20户家庭的月用水量，下列说法正确的是（ ）A ．月用水量的众数是9吨 B ．月用水量的众数是13吨
C ．月用水量的中位数是6吨
D ．月用水量的平均数是6吨
5．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ．CE ⊥AD 于点E ，AB ＝23，AC ＝4，BD ＝8，则CE ＝（ ）
A ．72
B 221
C 421
D 76．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，∠CAD ＝20°，则∠DHO 的度数是（ ）
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．40°
7．如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 中点，连结DE ，过点D 作DF ⊥DE 交BC 的延长线于点F ，连结EF ．若AE ＝2，则EF 的值为（ ）
A ．6
B ．210
C ．23
D ．5
8．对于实数
,a b ，定义符号{},min a b 其意义为：当a b ≥时，{},min a b b =；当a b <时，{},min a b a =．例如：21{},1min -=-，若关于x 的函数2{}1,3y min x x =--+，则该函数的最大值是（ ）
A ．1
B ．43
C ．53
D ．2
二、填空题
9．若2
x x -在实数范围有意义，则x 的取值范围 __________． 10．如图,在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,其中CA ＝2,OB ＝3,则菱形ABCD 的面积为___．
11．如图 ，在△ ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D ．若 BD ＝10cm ，BC ＝8cm ，则点 D 到直线 AB 的距离= ________．
12．如图，矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是40厘米，矩形的周长是22厘米，则对角线AC 的长为 ___厘米．
13．与直线y =2x -3平行，且经过点（2，7）的直线解析式是_______．
14．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形．这个条件为_____．
15．如图，点C 、B 分别在两条直线y ＝﹣3x 和y ＝kx 上，点A 、D 是x 轴上两点，若四边形ABCD 是正方形，则k 的值为 ________________．
16．已知，如图点(1,1)A ，(2,3)B -，点P 为x 轴上一点，当||PA PB -最大时，点P 的坐标为________．
三、解答题
17．计算：
（112483
+4； （2）（22）2×（6＋2
18．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，有一台风中心沿东西方向AB 由点A 行驶向点B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上两点A 、B 的距离分别为300km 和400km ，又AB ＝500km ，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．
（1）海港C 会受台风影响吗？为什么？
（2）若台风的速度为20km/h ，台风影响该海港持续的时间有多长？
19．如图，每个小正方形的边长都为1．
（1）求ABC 的周长；
（2）判断ABC 的形状．
20．如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且5AB =，4AO =，3BO =． 求证：ABCD 是菱形．
21．我们规定，若a ＋b ＝2，则称a 与b 是关于1的平衡数．
（1）若3与x 是关于1的平衡数，52y 是关于1的平衡数，求x ，y 的值； （2）若（m 3×（132n ＋331），判断m 35n 3于1的平衡数，并说明理由．
22．杆称是我国传统的计重工具，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离x （厘米），来得出秤钩上所挂物体的重量y （斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据． x （厘米） 1
2 4 7 11 y （斤） 0.75 1.00 1.50 2.25 3.25
（2）秤钩上所挂物体的重量y 是否为秤纽的水平距离的函数？如果是，请求出符合表中数据的函数解析式；
（3）当秤钩所挂物重是4.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为多少厘米？
23．如图1，四边形ACBD中，AC=AD，BC=BD．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图2，在“筝形”ACBD中，对角线AB=CD，过点B作BE⊥AC于E点，F为线段BE上一点，连接FA、FD，FA=FB．
（1）求证：△ABF≌△CDA；
（2）如图3，FA、FD分别交CD、AB于点M、N，若AM=MF，求证：BN=CM+MN．
24．【模型建立】
（1）如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，直线ED经过点C，过A 作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．
求证：△CDA≌△BEC．
【模型运用】
（2）如图2，直线l1：y＝4
3
x+4与坐标轴交于点A、B，将直线l1绕点A逆时针旋转90°至
直线l2，求直线l2的函数表达式．
【模型迁移】
如图3，直线l经过坐标原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点A在直线l上，点P为x 轴上一动点，连接AP，将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，过点B的直线BC交x 轴于点C，∠OCB＝30°，点B到x轴的距离为2，求点P的坐标．
25．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，6BC =．延长BC 到点E ，使3CE =，连接DE ．动点P 从点B 出发，沿着BE 以每秒1个单位的速度向终点E 运动，点P 运动的时间为t 秒．
（1）DE 的长为 ；
（2）连接AP ，求当t 为何值时，≅ABP DCE ；
（3）连接DP ，求当t 为何值时，PDE △是直角三角形；
（4）直接写出当t 为何值时，PDE △是等腰三角形．
26．如图1，ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，且::2:3:4BD AD CD =；
（1）试说明ABC ∆是等腰三角形；
（2）已知Δ40ABC S =cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t (秒)．
①若DMN ∆的边与BC 平行，求t 的值；
②在点N 运动的过程中，ADN ∆能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据被开方数大于等于0列不等式求解即可．
【详解】
解：由题意得，10x +，
解得1x -．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．C
解析：C
【分析】
根据非负数的性质可得关于a 、b 、c 的等式，继而可得a 、b 、c 三边的数量关系，进而可判断出△ABC 的形状．
【详解】
解：∵2222(0)||=a b a b c ++－－，
∴a -b =0且a 2+b 2-c 2=0，
∴a =b 且a 2+b 2=c 2，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
故选C ．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的判定以及非负数的性质，熟练掌握非负数的性质以及勾股定理的逆定理等知识是解题的关键．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平行四边形的判定定理可判断A 与B ；根据菱形的判定定理可判断C ，根据矩形判定定理可判断D ．
【详解】
解：A . 根据平行四边形的判定定理两组对边分别平行的四边形是平行四边形正确，故选项A 不符合题意；
B .根据平行四边形的判定定理可知一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故选项B 符合题意；
C . 根据菱形的判定定理四条边相等的四边形是菱形正确，故选项C 不符合题意；
D . 根据矩形判定定理四个角都相等的四边形可得每个角都得90°是矩形正确，故选项D 不符合题意．
故选B ．
【点睛】
本题考查了平行四边形与特殊的平行四边形的判定，牢固掌握判定定理是解题关键． 4．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据表格中的数据，可以得到这组数据的中位数，众数和平均数，从而可以解答本题．
【详解】
解：由表格中的数据可得，
月用水量的众数是6吨，故选项A 、B 错误；
月用水量的中位数是（6+6）÷2=6（吨），故选项C 正确； 月用水量的平均数是：
4152613839120
⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=6.25（吨），故选项D 错误； 故选：C ．
【点睛】
本题考查众数、中位数和加权平均数，解答本题的关键是计算出这组数据的平均数和中位数． 5．C
解析：C
【分析】
先根据平行四边形的性质可得2,4CD AB OC OD ====，再根据勾股定理的逆定理可得AC CD ⊥，然后利用勾股定理可得AD 的长，最后利用三角形的面积公式即可得．
【详解】
解：四边形ABCD 是平行四边形，4,8AB AC BD ===，
11
2,422
CD AB OC AC OD BD ====∴==， 22241216OC CD OD ∴+=+==，
COD ∴是直角三角形，AC CD ⊥，
在Rt ACD △中，AD ==
1122
Rt ACD S AD CE AC CD =⋅=⋅， 11
422
∴⨯=⨯⨯
解得CE = 故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握勾股定
理的逆定理是解题关键．
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
先根据菱形的性质得OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，则利用DH⊥AB得到DH⊥CD，∠DHB ＝90°，所以OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，得到OH＝OD＝OB，利用等腰三角形的性质得∠1＝∠DHO，然后利用等角的余角相等即可求出∠DHO的度数.
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，AB∥CD，BD⊥AC，
∵DH⊥AB，
∴DH⊥CD，∠DHB＝90°，
∴OH为Rt△DHB的斜边DB上的中线，
∴OH＝OD＝OB，
∴∠1＝∠DHO，
∵DH⊥CD，
∴∠1+∠2＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠2+∠DCO＝90°，
∴∠1＝∠DCO，
∴∠DHO＝∠DCA，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC，
∴∠CAD＝∠DCA＝20°，
∴∠DHO＝20°，
故选A．
【点睛】
本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据“ASA ”判定△ADE ≌△CDF ，可证DE =DF ，在Rt △ADE 中，运用勾股定理求出DE 的长度，再在Rt △DEF 中，运用勾股定理即可求出EF 的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD =AB =BC =CD ，∠A =∠ADC =∠DCB =∠B =90°，
∵DF ⊥DE ，
∴∠ADE +∠EDC =∠CDF +∠EDC =90°，
即∠ADE =∠CDF ，
在△ADE 和△CDF 中，
ADE CDF AD CD
A DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ADE ≌△CDF （ASA ），
∴DE =DF ，
∵E 为AB 的中点，AE =2，
∴AD =AB =4，
在Rt △ADE 中，
DE =，
在Rt △DEF 中，
EF =
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质和勾股定理的应用，求线段的长度常常是把线段转化到直角三角形中，运用勾股定理进行计算求值．
8．C
解析：C
【分析】
根据定义先列不等式：213x x --+和213x x --+，确定其{21y min x =-，3}x -+对应的函数，画图象可知其最大值．
【详解】
解：由题意得：213y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得：435
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， 当213x x --+时，43x
， ∴当43
x 时，{21y min x =-，3}3x x -+=-+， 由图象可知：此时该函数的最大值为53；
当213x x --+时，43x ， ∴当43
x 时，{21y min x =-，3}21x x -+=-， 由图象可知：此时该函数的最大值为53； 综上所述，{21y min x =-，3}x -+的最大值是当43x =
所对应的y 的值， 如图所示，当43x =时，53
y =，
故选：C
【点睛】
本题考查了新定义、一元一次不等式及一次函数的交点问题，认真阅读理解其意义，并利用数形结合的思想解决函数的最值问题．
二、填空题
9．x ≥0且x ≠4
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列出二元一次方程组解答即可．
【详解】
解：由题意可知：020x x ≥⎧⎪≠， ∴x ≥0且x ≠4．
故填：x ≥0且x ≠4．
【点睛】
本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据题意列出一元一次不等式组是解答本题的关键．
10．A
解析：6
【解析】
【分析】
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．
【详解】
解:∵在菱形ABCD 中,对角线AC ,BD 交于点O ,OB ＝3,
∴BD =6,
∵CA ＝2,
∴菱形ABCD 的面积为1126622
CA BD ⋅=⨯⨯= , 故答案为:6．
【点睛】
本题主要考查了菱形的面积的求解方法,解题的关键是熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半．
11．D
解析：6cm
【解析】
【分析】
过点D 作DE ⊥AB 于E ，利用勾股定理列式求出CD ，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD 即可求解．
【详解】
如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，
∵∠C=90°，BD=10cm ，BC=8cm ，
∴226BD BC -cm ，
∵∠C=90°，BD 是∠ABC 的平分线，
∴DE=CD=6cm ，
即点D 到直线AB 的距离是6cm ．
故答案为：6cm ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、角平分线的性质、点到直线的距离等知识，在解题时要能灵活应用各个知识点是本题的关键．
12．A
解析：5
【分析】
根据矩形性质得出OA =OB =OC =OD ，AB =CD ，AD =BC ，求出8OA +2AB +2BC =40厘米和
2AB+2BC=22厘米，求出OA，即可求出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，AC=BD，AO=OC，OD=OB，
∴AO=OC=OD=OB，
∵矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形的周长的和是40厘米，
∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB=40厘米，
即8OA+2AB+2BC=40厘米，
∵矩形ABCD的周长是22厘米，
∴2AB+2BC=22厘米，
∴8OA=18厘米，
∴OA=2.25厘米，
即AC=BD=2OA=4.5厘米．
故答案为：4.5．
【点睛】
本题考查了矩形的性质的应用，注意：矩形的对边相等，矩形的对角线互相平分且相等．13．23
=+
y x
【分析】
根据直线平行可知k相等，故可设直线解析式为y=2x+b，再代入（2，7）即可求解.
【详解】
解：与直线y=2x-3平行，
∴该直线与已知直线的k值相同
依题意设直线为y=2x+b，
∵直线经过点（2，7）
∴代入得7=4+b，解得b=3
故直线解析式为：y=2x+3
故答案为：y=2x+3.
【点睛】
此题主要考查一次函数的求解，解题的关键是熟知直线平行的特点为k相等.
14．A
解析：AB＝BC（答案不唯一）
【分析】
因为四边形ABCD是平行四边形，所以可添加条件为：邻边相等；对角线互相垂直．
【详解】
添加AB＝BC，根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”可使它成为菱形．
故填：AB=BC．
【点睛】
本题考查菱形的判定，以平行四边形为基础，按照菱形判定定理解题即可．
15．【分析】
设C（a，﹣3a），B（b，kb），由正方形的性质AB＝BC，BC//AD，可得﹣3a ＝kb，b﹣a＝kb，求出b＝﹣2a，即可求k的值．
【详解】
解：设C（a，﹣3a），B（b，kb
解析：3 2
【分析】
设C（a，﹣3a），B（b，kb），由正方形的性质AB＝BC，BC//AD，可得﹣3a＝kb，b﹣a ＝kb，求出b＝﹣2a，即可求k的值．
【详解】
解：设C（a，﹣3a），B（b，kb），
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC//x轴，
∴﹣3a＝kb，
∵BC＝AB，
∴b﹣a＝kb，
∴b﹣a＝﹣3a，
∴b＝﹣2a，
∴﹣3a＝﹣2ak，
∴k＝3
2
，
故填3
2
．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质及一次函数的综合运用，根据题意设出点坐标、再根据正方形的性质明确线段间的关系是解答本题的关键．
16．【分析】
作A关于x轴对称点C，连接BC并延长，BC的延长线与x轴的交点即为所求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，继而求得点P的坐标．
【详解】
作A关于x轴对称点C，连接BC并
解析：
1
,0 2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
作A关于x轴对称点C，连接BC并延长，BC的延长线与x轴的交点即为所求的P点；首先利用待定系数法即可求得直线BC的解析式，继而求得点P的坐标．
【详解】
作A 关于x 轴对称点C ，连接BC 并延长交x 轴于点P ，
∵A （1，1），
∴C 的坐标为（1，-1），
连接BC ，
设直线BC 的解析式为：y kx b =+，
123
k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得：21k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线BC 的解析式为21y x =-+：，
当y=0时，12
x =， ∴点P 的坐标为：102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， ∵当B ，C ，P 不共线时，根据三角形三边的关系可得：
|PA-PB|=|PC-PB|＜BC ，
∴此时|PA-PB|=|PC-PB|=BC 取得最大值． 故答案为：102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，． 【点睛】
本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式以及点与一次函数的关系．解题的关键是找到P 点，注意数形结合思想与方程思想的应用．
三、解答题
17．（1）2；（2）4
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1）原式＝﹣4
＝﹣4
＝6﹣4
＝2；
（2）原式＝（4﹣
解析：（1）2；（2）4
【分析】
（1）根据二次根式的混合运算法则计算即可；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1﹣4
﹣4 ＝6﹣4
＝2；
（2）原式＝（4﹣+2）×（
＝（6﹣）×（
＝36﹣32
＝4．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式的运用，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．
18．（1）会，理由见解；（2）7h
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD 的长，从而判断出海港C 是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED 以及EF 的长
解析：（1）会，理由见解；（2）7h
【分析】
（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC 是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD 的长，从而判断出海港C 是否受台风影响；
（2）利用勾股定理得出ED 以及EF 的长，进而得出台风影响该海港持续的时间．
【详解】
解：（1）如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D 点，
∵AC =300km ，BC =400km ，AB =500km ，
∴222AC BC AB +=，
∴△ABC 为直角三角形， ∴1122
··AC BC AB CD =， ∴300400500CD ⨯=，
∴240km CD =，
∵以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，
∴海港C会受到台风影响；
（2）由（1）得CD=240km，
如图所示，当EC=FC=250km时，即台风经过EF段时，正好影响到海港C，
此时△ECF为等腰三角形，
∵2270km
=-=，
ED EC CD
∴EF=140km，
∵台风的速度为20km/h，
∴140÷20=7h，
∴台风影响该海港持续的时间有7h．
【点睛】
本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．
19．（1）；（2）直角三角形
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理分别运算出三角形的三边边长，即可运算周长；
（2）根据勾股的逆定理即可判定的形状．
【详解】
（1），
，
，
的周长；
（2）
，
解析：（1）355；（2）直角三角形
【解析】
【分析】
（1）利用勾股定理分别运算出三角形的三边边长，即可运算周长；
（2）根据勾股的逆定理即可判定ABC的形状．
【详解】
（1）22
AB=+=，
345
BC =
AC =
ABC ∴的周长55==；
（2）225AC ==
22525AB ==，
2220BC ==，
222AC BC AB ∴+=
ABC ∴是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 20．见解析
【分析】
根据已知数据，先求证是，即，进而根据菱形的判定定理即可得证．
【详解】
，，，
，，
，
是，
，
即，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理
解析：见解析
【分析】
根据已知数据，先求证ABO 是Rt ，即AC BD ⊥，进而根据菱形的判定定理即可得证．
【详解】
5AB =，4AO =，3BO =，
22525AB ==，22224325AO BO +=+=，
222AB AO BO ∴=+，
ABO ∴是Rt ，
90AOB ∠=︒∴，
即AC BD ⊥，
四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是菱形．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，菱形的判定定理，勾股定理证得ABO 为Rt 是解题的关键．
21．（1） －1，；（2）当，时，是关于1的平衡数，否则不是关于1的平衡数；见解析
【解析】
【分析】
（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案；
（2）对式子进行化简，得到的关系，再对
解析：（1） －1，3-；（2）当m =n =5m n
关于1的平衡数，否则5m n 1的平衡数；见解析
【解析】
【分析】
（1）根据所给的例子，可得出平衡数的求法，由此可得出答案；
（2）对式子进行化简，得到m n ，的关系，再对m n ，进行分情况讨论求解即可．
【详解】
解：（1）根据题意可得：32x +=，52y =
解得1x =-，3y =
故答案为1-3
（2）()
1231m n =-+， ∴ 323m n -=-+，
∴ 2m n -=-+
∴ 20m n +-=
①当m n 和均为有理数时，
则有 2=02=0m n m +-+，，
解得：2=1m n =-，，
当2=1m n =-，时，
5252m n -+≠
所以5m n +1的平衡数
②当m n 和中一个为有理数，另一个为无理数时，
55m n m n +，而此时5m n +为无理数，故52m n +≠，
所以5m n +1的平衡数
③当m n 和均为无理数时，当52m n +=时，联立20m n +-=，解得
m =n =
存在695333m --=，27333n +=使得353m n +-与是关于1的平衡数， 当695333m --≠且27333
n +≠时，353m n +-与不是关于1的平衡数 综上可得：当695333m --=
，27333n +=时，353m n +-与是关于1的平衡数，否则353m n +-与不是关于1的平衡数．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并，并掌握分类讨论的思想．
22．（1）见解析；（2）秤钩上所挂物体的重量y 是秤纽的水平距离的函数，解析式为y ＝x ＋；（3）当秤钩所挂物重是4.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米．
【分析】
（1）利用描点法画出图形即可判
解析：（1）见解析；（2）秤钩上所挂物体的重量y 是秤纽的水平距离的函数，解析式为
y ＝14
x ＋12；（3）当秤钩所挂物重是4.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米．
【分析】
（1）利用描点法画出图形即可判断．
（2）设函数关系式为y ＝kx ＋b ，利用待定系数法解决问题即可；
（3）把y ＝4.5代入（2）中解析式，求出x 即可．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）由（1）图形可知，秤钩上所挂物体的重量y 是秤纽的水平距离的函数，
设y ＝kx ＋b ，把x ＝1，y ＝0.75，x ＝2，y ＝1代入可得：
0.7521k b k b +=⎧⎨+=⎩，
解得：
1
4
1
2
k
b
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴y＝1
4x＋1
2
；
（3）当y＝4.5时，即4.5＝1
4
x＋1
2
，
解得：x＝16，
∴当秤钩所挂物重是4.5斤时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是在直角坐标系内描出表中数据对应的点，通过图形求函数解析．
23．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据已知条件可得△ABC≌△ABD，再根据∠AOC+∠AOD=180°，进而可证得AB⊥CD，进而得到∠ACO=∠ABE，进而证得△ABF≌△CD
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】
（1）根据已知条件可得△ABC≌△ABD，再根据∠AOC+∠AOD=180°，进而可证得
AB⊥CD，进而得到∠ACO=∠ABE，进而证得△ABF≌△CDA；
（2）取AB中点H，根据已知条件可知MO为△AFH的中位线，进而可证得
△AFH≌△DAO，进一步得到△AFD为等腰直角三角形，然后过点F作FI⊥AF交AB于点I，取CD上点G使MG=MN，连接AG，先证△AFI≌△DAM，而后△FMN≌△FIN，得到∠FIN =∠FMN，进而可证△AMG≌△FMN，得到∠AGM=∠FNM，进而证得
△ACG≌△FBN，得到BN=CG，再根据CG=CM+MG，得到BN=CM+MG，又MG=MN，继而得到BN=CM+MN．
【详解】
证明：（1）∵AC=AD，BC=BD，AB=AB，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠CAO=∠DAO，
又∵∠ACO=∠ADO，
∴∠AOC=∠AOD，
又∵∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴AB⊥CD，
在Rt△AOC中，∠ACO+∠CAO=90°，
在Rt△AEB中，∠ABE+∠CAO=90°，
∴∠ACO=∠ABE，
又∵AC=AD，FA=FB，
∴∠ACO=∠ADO=∠ABF=∠FAB，
∵，
∴△ABF≌△CDA；
（2）如图，取AB中点H，
∵△ABF是等腰三角形，
∴FH⊥AB，
∵AM=MF且MO⊥AB，
∴MO为△AFH的中位线，
∴AO=OH=，
又∵AH===DO，
由△ABF≌△CDA，可知：AF=BF=AC=AD，
∴△AFH≌△DAO，
∴∠AFH=∠DAO，
∵∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠FAH+∠DAO=90°，
∴∠FAD=90°，
∴△AFD为等腰直角三角形，
过点F作FI⊥AF交AB于点I，取CD上点G使MG=MN，连接AG，由△AFH≌△DAO可得∠FAI=∠ADM，
又∵AD=AF，
∴△AFI≌△DAM，
∴FI=AM，
又∵AM=MF，
∴FI=MF，
由FI⊥AF可知∠AFI=90°，∠AFN=45°，
∴∠NFI=∠AFI-∠AFN=90°-45°=45°，
∴∠MFN=∠NFI，又∵FI=FM，
∴△FMN≌△FIN，
∴∠FIN =∠FMN，
又∵∠AMD=∠FIA，
∴∠AMD=∠FMN，
又∵AM=FM，MG=MN，
∴△AMG≌△FMN，
∴∠AGM=∠FNM，
又∵∠FNM=∠FNB，
∴∠AGM=∠FNB，
又∵∠ACG=∠FBN，AC=FB,
∴△ACG≌△FBN，
∴BN=CG，
又∵CG=CM++MG，
∴BN=CM+MG，
又∵MG=MN，
∴BN=CM+MN．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、中位线等知识，解题的关键是综合运用相关知识解题．
24．（1）见解析；（2）；（3）点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
【解析】
【分析】
（1）由“AAS”可证△CDA≌△BEC；
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为
解析：（1）见解析；（2）
39
44
y x
=--；（3）点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
【解析】
【分析】
（1）由“AAS”可证△CDA≌△BEC；
（2）如图2，在l2上取D点，使AD＝AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，由（1）可知△BOA≌△AED，可得DE＝OA＝3，AE＝OB＝4，可求点D坐标，由待定系数法可求解析式；
（3）分两种情况讨论，通过证明△OAP≌△CPB，可得OP＝BC＝4，即可求点P坐标．【详解】
（1）证明：∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，
∴∠D ＝∠E ＝90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，
∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD +∠BCE=90°，
∴∠ACD=∠CBE ，
又CA ＝BC ，∠D ＝∠E ＝90°
∴△CDA ≌△BEC （AAS ）
（2）如图2，在l 2上取D 点，使AD ＝AB ，过D 点作DE ⊥OA ，垂足为E
∵直线y ＝43
x +4与坐标轴交于点A 、B ， ∴A （﹣3，0），B （0，4），
∴OA ＝3，OB ＝4，
由（1）得△BOA ≌△AED ，
∴DE ＝OA ＝3，AE ＝OB ＝4，
∴OE ＝7，
∴D （﹣7，3）
设l 2的解析式为y ＝kx +b ，
得3703k b k b =-+⎧⎨=-+⎩
解得349
4k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
∴直线l 2的函数表达式为：3944
y x =-- （3）若点P 在x 轴正半轴，如图3，过点B 作BE ⊥OC ，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APC＝∠AOC+∠OAP＝∠APB+∠BPC，
∴∠OAP＝∠BPC，且∠OAC＝∠PCB＝30°，AP＝BP，∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（4，0）
若点P在x轴负半轴，如图4，过点B作BE⊥OC，
∵BE＝2，∠BCO＝30°，BE⊥OC
∴BC＝4，
∵将线段AP绕点P顺时针旋转30°得到BP，
∴AP＝BP，∠APB＝30°，
∵∠APE+∠BPE＝30°，∠BCE＝30°＝∠BPE+∠PBC，∴∠APE＝∠PBC，
∵∠AOE＝∠BCO＝30°，
∴∠AOP＝∠BCP＝150°，且∠APE＝∠PBC，P A＝PB ∴△OAP≌△CPB（AAS）
∴OP＝BC＝4，
∴点P（﹣4，0）
综上所述：点P坐标为（4，0）或（﹣4，0）
【点睛】
本题是一道关于一次函数的综合题目，涉及到的知识点有全等三角形的判定定理及其性质、一次函数图象与坐标轴的交点、用待定系数法求一次函数解析式、旋转的性质等，掌握以上知识点是解此题的关键．
25．（1）5；（2）秒时，ΔABP ≅ΔDCE ；（3）当秒或秒时，ΔPDE 是直角三角形；（4）当秒或秒或秒时，ΔPDE 为等腰三角形．
【分析】
（1）根据长方形的性质及勾股定理直接求解即可；
（2）根据全
解析：（1）5；（2）3t =秒时，
；（3）当23t =秒或6t =秒时，是直角三角形；（4）当3t =秒或4t =秒或296t =
秒时，为等腰三角形．
【分析】
（1）根据长方形的性质及勾股定理直接求解即可；
（2）根据全等三角形的性质可得：3BP CE ==，即可求出时间t ；
（3）分两种情况讨论：①当90PDE ∠=︒时，在两个直角三角形中运用两次勾股定理，然后建立等量关系求解即可；②当90DPE ∠=︒时，此时点P 与点C 重合，得出BP BC =，即可计算t 的值；
（4）分三种情况讨论：①当PD DE =时，②当PE DE =时，③当PD PE =时，分别结合图形，利用各边之间的关系及勾股定理求解即可得．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 为长方形，
∴4AB CD ==，CD BC ⊥，
在中， 221695DE DC CE =+=+=，
故答案为：5；
（2）如图所示：当点P 到如图所示位置时，，
∵4AB CD ==，3CE =，
∴，仅有如图所示一种情况，
此时，3BP CE ==，
∴31BP t ==， ∴3t =秒时，；
（3）①当90PDE ∠=︒时，如图所示：
在
中， 222PD PE DE =-，
在中， 222PD PC DC =+，
∴2222PE DE PC DC -=+，
9PE t =-，6PC t =-，
∴()()22
229564t t --=-+， 解得：23
t =； ②当90DPE ∠=︒时，此时点P 与点C 重合，
∴BP BC =，
∴6t =；
综上可得：当23t =
秒或6t =秒时，是直角三角形； （4）若为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当PD DE =时，如图所示：
∵PD DE =，DC BE ⊥，
∴3PC CE ==，
∴3BP BC PC =-=，
∴31
BP t ==； ②当5PE DE ==时，如图所示：
954BP BE PE =-=-=， ∴41BP t ==； ③当PD PE =时，如图所示：
3PE PC CE PC =+=+，
∴3PD PE PC ==+，
在中，
222PD CD PC =+， 即()22234PC PC +=+，
解得：76
PC =， 296BP BC PC =-=
， ∴2916
BP t ==； 综上可得：当3t =秒或4t =秒或296t =
秒时，为等腰三角形．
【点睛】 题目主要考查勾股定理解三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等，理解题意，分类讨论作出相应图形是解题关键．
26．（1）证明见解析；
（2）①t 值为5或6；②点N 运动的时间为6s ，，或时，为等腰三角形.
【分析】
（1）设BD ＝2x ，AD ＝3x ，CD ＝4x ，则AB ＝5x ，由勾股定理求出AC ，即可得出结论；
（2
解析：（1）证明见解析；
（2）①t值为5或6；②点N运动的时间为6s，36
5
s，或5s时，ΔADN为等腰三角形.
【分析】
（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；（2）①由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；再分当MN∥BC时，AM＝AN和当
DN∥BC时，AD＝AN两种情况得出方程，解方程即可；②分三种情况：AD=AN；DA=DN；和ND=NA，三种情况讨论即可
【详解】
解：（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC＝22
AD CD
＝5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）①S△ABC＝1
2
×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
当MN∥BC时，AM＝AN，即10−t＝t，此时t＝5，
当DN∥BC时，AD＝AN，此时t＝6，
综上所述，若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6；
②ΔADN能成为等腰三角形，
分三种情况：
（ⅰ）若AD=AN=6，如图：
则t=6
1
=6s；
（ⅱ）若DA=DN，如图：
过点D 作DH AC ⊥于点H ，则AH =NH ， 由1122ACD S AD CD AC DH =⋅=⋅，得11681022DH ⨯⨯=⨯⨯， 解得245
DH =， 在Rt ADH 中，222224186(
)55AH AD DH =-=-=， 3625AN AH ∴==
， 3615
AN t s ∴==； （ⅲ）若ND =NA ，如图：
过点N 作NQ AB ⊥于点Q ，则AQ =DQ =3，142
NQ CD ==， 2222345AN AQ NQ ∴=++=，
51
AN t s ∴==； 综上，点N 运动的时间为6s ，
365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想．。