【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版)完全平方式(解析版)

完全平方式
1．若x2+2kx+64是一个完全平方式则k的值是（）
±
A．8B．8±C．16D．16
【答案】B
【分析】根据完全平方式得出kx=±2•x•8 再求出k即可．
【详解】解：∵x2+2kx+64是一个完全平方式
∵2kx=±2•x•8
解得：k=±8．
故选：B．
【点睛】本题考查了完全平方式能熟记完全平方式的特点是解此题的关键注意：完全平方式有两个：a2+2ab+b2和a2-2ab+b2．
2．若多项式216
x kx
++是完全平方式则k的值为()
A．8B．-8C．±8D．32
【答案】C
【分析】先根据两平方项确定出这两个数再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．【详解】解：∵x2+kx+16＝x2+kx+42
∵kx＝±2×x×4
解得k＝±8．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了完全平方式根据平方项确定出这两个数是解题的关键也是难点熟记完全平方公式是解题的关键．
3．关于m、n 的整式m2 + kmn + 9n2是完全平方式则k 的值为（）
A．6B．- 6C．± 6D．± 18
【答案】C
【分析】根据完全平方式的定义：形如22
±+的式子叫做完全平方式进行求解即可
2
a a
b b
【详解】解：∵关于m、n 的整式m2 + kmn + 9n2是完全平方式
∵326
k=±⨯=±
故选C．
【点睛】本题主要考查了完全平方式熟知完全平方式的定义是解题的关键．
4．若2924a ab k ＋＋是完全平方式 则k 的值为（ ）
A ．16b 2
B ．4b 2
C ．±8b 2
D ．±16b 2 【答案】A
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k 的值．
【详解】解：∵2924a ab k ＋＋是完全平方式
∵216k b =
故选：A ．
【点睛】本题考查了完全平方式 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5．如果x 2﹣3x +k （k 是常数）是完全平方式 那么k 的值为（ ）
A ．6
B ．9
C ．32
D ．94
6．若代数式x 2﹣16x +k 2是完全平方式 则k 等于（ ）
A ．6
B ．64
C ．±64
D ．±8
【答案】D
【分析】根据完全平方公式解答即可．
【详解】解：∵x 2﹣16x +k 2是一个完全平方式
∵x 2﹣16x +k 2=x 2﹣16x +64
∵k =±8．
故选：D ．
【点睛】本题是完全平方公式的应用 两数的平方和 再加上或减去它们积的2倍 就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项来确定这两个数．
7．若多项式212x x m -+是一个完全平方式 则m 的值为___________．
【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是x 和6 再根据完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵12x =2×6x
∵这两个数是x 和6
∵m =62=36．
故答案为：36．
【点睛】本题是完全平方公式的应用 两数的平方和 再加上或减去它们积的2倍 就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用乘积项来确定这两个数．
8．若2 216x mx ++是完全平方式 则m ＝___________． 【答案】4±
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m 的值．
【详解】解：∵()2
28164x x x ±+=± 2 216x mx ++是完全平方式
∵28m =±
解得：4m =±．
故答案为：4±
【点睛】此题考查了完全平方式 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．若关于x 代数式244x mx ++是完全平方式 则常数m =______． 【答案】±1
【分析】根据完全平方公式a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2求出m 的值．
【详解】解：∵x 2±4x +4＝（x ±2）2 x 2+4mx +4是完全平方式
∴±4x ＝4mx
∴m ＝±1．
故答案为：±1．
【点睛】本题考查了完全平方式 掌握a 2±2ab +b 2＝（a ±b ）2的熟练应用 两种情况是求m 值得关键．
10．如果x 2-mx +16是一个完全平方式 那么m 的值为________．
【答案】±8
【分析】先根据两平方项确定出这两个数 再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值．
【详解】解：∵x 2-mx +16=x 2-mx +42
∵m =±2×4
故答案为：±8．
【点睛】本题主要考查了完全平方式 根据平方项确定出这两个数是解题的关键 也是难点 熟记完全平方公式对解题非常重要．
11．若x 2+mx +4是完全平方式 则m =_____________． 【答案】4±
【分析】根据多项式x 2+mx +2是完全平方式 可得：m =±2×1×2 据此求出m 的值是多少即可．
【详解】解：∵多项式x 2+mx +4是完全平方式
∵m =±2×1×2=4．
故答案为：±4．
【点睛】本题主要考查了完全平方式 根据平方项确定出这两个数是解题的关键 也是难点 熟记完全平方公式对解题非常重要．
12．若多项式4a 2-ka +16是一个完全平方式 则k =_________； 【答案】16±
【分析】根据完全平方公式222()2a b a ab b ±=±+即可得．
【详解】解：由题意得：22416(24)a ka a -+=±
即2241641616a ka a a -+=±+
所以16k =±
故答案为：16±．
【点睛】本题考查了完全平方公式 熟记公式是解题关键．
三、解答题
13．已知正实数x 、y 满足（x +y ）2＝25 xy ＝4．
(1)求x 2+y 2的值；
(2)若m ＝（x ﹣y ）2时 4a 2+na +m 是完全平方式 求n 的值．
【答案】(1)17
(2)±12
【分析】（1）依据完全平方公式可知222()2x y x y xy +=+-即可求解；
（2）由题意可知m 的值 再依据完全平方公式的特点可求n 的值
（1）∵4xy = ∵22222()22425x y x xy y x y +=++=++⨯= ∵22x y +=17．
（2）∵222()217249x y x xy y -=-+=-⨯= ∵9m = ∵22449a na m a na ++=++是完全平方式 ∵(223)12na a a =±⨯⨯=± ∵12n =±
【点睛】本题考查了完全平方公式 关键在于要理解它的特征 灵活运用．
14．如图a 是一个长为2m 、宽为2n 的长方形 沿图中实线用剪刀均分成四块小长方形 然后按图b 的形状拼成一个大正方形．
（1）如图b 中的小正方形的边长等于 ；
（2）如图a 中四个长方形的面积和为 如图b 中四个小长方形的面积和还可以表示为 ；
（3）由（2）写出代数式：（m +n ）2 （m ﹣n ）2 mn 之间的等量关系： ；
（4）根据（3）中的等量关系 解决如下问题：若x +y ＝8 xy ＝7 求（2x ﹣2y ）2的值． 【答案】（1）m -n ；（2）4mn ；（m +n ）2-（m -n ）2；（3）（m +n ）2-（m -n ）2=4mn ；（4）144
【分析】（1）观察得到长为m 宽为n 的长方形的长宽之差即为阴影部分的正方形的边长；
（2）根据长方形面积公式可求图a 中四个长方形的面积和；可以用大正方形的面积减去先方形的面积得到图b 中四个小长方形的面积和；
（3）利用（2）可以得到（m +n ）2-（m -n ）2=4mn ；
（4）根据（3）的结论得到（2x -2y ）2=4（x -y ）2=4（x +y ）2-16xy 然后把x +y =8 xy =7代入计算．
【详解】解：（1）图b 中的阴影部分的正方形的边长等于长为m 宽为n 的长方形的长宽之差 即m -n ；
故答案为：m -n ；
（2）图a 中四个长方形的面积和为4mn ；图b 中四个小长方形的面积和还可以表示为（m +n ）2-（m -n ）
2；
故答案为：4mn ；（m +n ）2-（m -n ）2；
（3）（m +n ）2-（m -n ）2=4mn ；
故答案为：（m +n ）2-（m -n ）2=4mn ；
（4）（2x -2y ）2=4（x -y ）2=4（x +y ）2-16xy
当x +y =8 xy =7时 原式=256-112=144．
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景：利用几何图形之间的面积关系得到完全平方公式． 15．学习整式乘法时 老师拿出三种型号卡片 如图1．
（1）利用多项式与多项式相乘的法则 计算：()()2a b a b ++= ；
（2）选取1张A 型卡片 4张C 型卡片 则应取 张B 型卡片才能用他们拼成一个新的正方形 此新的正方形的边长是 （用含a b 的代数式表示）；
（3）选取4张C 型卡片在纸上按图2的方式拼图 并剪出中间正方形作为第四种D 型卡片 由此可检验的等量关系为 ；
（4）选取1张D 型卡片 3张C 型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ 框架内 已知NP 的长度固定不变 MN 的长度可以变化 且0MN ≠． 图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示
为1S 2S 若2123S S b -= 则a 与b 有什么关系？请说明理由．
【答案】（1）2232a ab b ++；（2）4 2+a b ；（3）22()4()a b ab a b +-=-；（4）4a b = 见解析．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则解题；
（2）利用完全平方公式解题；
（3）由图可知D 型卡片的面积为()-a b 是一个边长为()a b +的正方形的面积减去4张C 型卡片的面积 即2()4a b ab +- 据此得到等量关系；
（4）根据图形列等量关系221()()2S a b x a b ax bx a ab b =--+=--+-
223(2)363S b x a b bx ab b =-+=-+ 再结合2123S S b -=计算解题即可．
【详解】解：（1）()()222222232a b a b a ab ab b a ab b ++=+++=++
故答案为：2232a ab b ++；
（2）取1张A 型卡片 4张C 型卡片 面积之和为：24a ab +
由完全平方公式的几何背景可知 一个正方形的面积可以表达成一个完全平方公式 即
22244(2)a ab b a b ++=+ 故应取4张B 型卡片能拼成一个新的正方形 此正方形的边长为：2+a b
故答案为：4 2+a b ；
（3）选取4张C 型卡片在纸上按图2的方式拼图 由图可知 D 型卡片是一个边长为()-a b 的正方形 也可以是一个边长为()a b +的正方形 减去4张C 型卡片的面积 即2()4a b ab +- 即得到等量关系：22()4()a b ab a b +-=-
故答案为：22()4()a b ab a b +-=-；
（4）设MN 的长度为x
221()()2S a b x a b ax bx a ab b =--+=--+-
()2333S b x a bx ab =-=-
2123S S b -=
∴()
()2222333ax bx a ab b bx ab b --+---= ()222453a b x a ab b b ∴--+-=
22240,53a b a ab b b ∴-=-+-=
224,540a b a ab b ∴=-+=
()()40a b a b --=
4a b ∴=或a b =（舍去）
4a b ∴=．
【点睛】本题以数形结合的方式巧妙考查了完全平方公式的几何背景 题目新颖独特 掌握相关知识是解题关键．
16．如图1 正方形纸片ABCD 的边长为4 点E 、F 、M 、N 分别是正方形纸片四条边上的点 且AE ＝BF ＝CM ＝DN
（1）求证：四边形EFMN 是正方形；
（2）把图1的四个直角三角形剪下来 拼成如图2所示的“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角
形与中间的小正方形拼成的一个大正方形）．若EN 求中间小正方形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）中间小正方形QHGR的面积为4．
【分析】（1）通过证明△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE（SAS）先得出四边形EFMN是菱形再证明四边形EFMN中一个内角为90° 从而得出四边形EFMN是正方形的结论；
（2）设直角三角形中较小边长为a较长的边为b则小正方形QHGR的边长QH=b-a a+b=4 进而得到a2+b2+2ab=16 小正方形QHGR的面积为（b-a）2=a2+b2-2ab由勾股定理求出a2+b2进而得到2ab代入即可求得结果．
【详解】（1）证明：如图1∵四边形ABCD是正方形
∴AB＝BC＝CD＝DA∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
∵AE＝BF＝CM＝DN
∴AN＝DM＝CF＝BE
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE（SAS）
∴EN＝NM＝MF＝EF∠ENA＝∠DMN
∴四边形EFMN是菱形
∵∠ENA＝∠DMN∠DMN+∠DNM＝90°
∴∠ENA+∠DNM＝90°
∴∠ENM＝90°
∴四边形EFMN是正方形；
（2）解：∵△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE
∴EF＝FM＝MN＝NE EH＝FG＝MR＝NQ
如图2设正方形EFMN的边长EF＝FM＝MN＝NE＝c EH=FG=MR=NQ=b EQ＝FH＝MG＝NR ＝a
则小正方形QHGR的边长QH＝b﹣a
∴小正方形QHGR的面积为（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab
∴由勾股定理得：a2+b2＝c2＝EN2＝10
∵正方形ABCD的边长为4
∴a+b＝4
∴a2+b2+2ab＝16
∴2ab＝16﹣（a2+b2）＝6
∴中间小正方形QHGR的面积为10﹣6＝4．
【点睛】此题考查了勾股定理正方形的性质全等三角形的性质和判定等知识点正确理解题意会利用勾股定理解题是解决问题的关键．
17．阅读下面的材料然后解答后面的问题：
在数学中“算两次”是一种常用的方法．其思想是对一个具体的量用方法甲来计算得到的答案是A而用方法乙计算则得到的答案是B那么等式A＝B成立．例如我们运用“算两次”的方法计算图1中最大的正方形的面积可以得到等式（a+b）2＝a2+2ab+b2．
理解：（1）运用“算两次”的方法计算图2中最大的正方形的面积可以得到的等式是；
应用：（2）七（1）班某数学学习小组用8个直角边长为a、b的全等直角三角形拼成如图3所示的中间内含正方形A1B1C1D1与A2B2C2D2的正方形ABCD运用“算两次”的方法计算正方形A2B2C2D2的面积可以得到的等式是；
拓展：如图4 已知Rt∵ABC中∵ACB＝90° AC＝6 BC＝8 AB＝10 点D是AB上一动点．求CD的最小值．
【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；拓展：4.8
【分析】（1）利用“算两次”方法先从整体上看是边长为（a+b+c）的正方形的面积再利用9块“分面积”的和即可；
（2）正方形A2B2C2D2的边长为（a﹣b）因此面积为（a﹣b）2也可以看做边长为（a+b）的正方形ABCD面积减去四个长为a宽为b的长方形的面积；
（3）当CD∵AB时CD最短由三角形的面积计算可得．
【详解】解：（1）从整体上看为边长为（a+b+c）的正方形
所以面积为（a+b+c）2
从各个部分的面积和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
18．如图1 用4个相同边长是x 、y 的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36 小正方形的面积为4 则x y -值为__________；则x y +的值为__________；
（2）若小长方形两边长为9m -和4m - 则大正方形的边长为___________；
若满足(9)(4)4m m --= 则22(9)(4)m m -+-的值为__________；
（3）如图2 正方形ABCD 的边长是c 它由四个直角边长分别是a b 的直角三角形和中间一个小正方形组成的 猜想a b c 三边的数量关系 并说明理由．
【答案】（1）2 6；（2）5 17；（3）222+=a b c 理由见解析
【分析】（1）大正方形的边长为x +y 小正方的边长为x -y 由面积可求出正方形的边长；
（2）小长方形两边之和为正方形的边长 再由完全平方公式求解即可；。