精编2019年高中数学单元测试《解析几何及综合问题》专题模拟考核题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 解析几何及综合问题
专题（含答案）
学校：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．（2010福建理2）以抛物线2
4y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A ．2
2
x +y +2x=0 B ．22
x +y +x=0
C ．22
x +y -x=0
D ．22
x +y -2x=0
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
2．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的
两条切线，切点分别为,A B ．若90APB ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是 ▲ .
3．设椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1（a ＞b ＞0）的右准线与x 轴的交点为M ，以椭圆的长轴为直径作圆O ，过点M 引圆O 的切线，切点为N ，若△OMN 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 ．
4． 如果以原点为圆心的圆经过双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b
y
a x 的顶点，并且被双曲
(第17
线的右准线分成弧长之比为3:1的两段弧，则双曲线的离心率为________ 5．已知
12
1(0,0),m n m n
+=>>当mn
取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m
+1y y
n =的交点个数为 ▲
6．已知椭圆2
21:12
x C y +=和圆222:1C x y +=，椭圆1C 的左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面
积为
124
+求证：;AP OP ⊥(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.
7．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 2
4
＝
1的交点个数为________．
解析：由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点 (m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n ) 在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点．
8． 已知直线l 的方程为2x =-，圆2
2
:1O x y +=,则以l 为准线，中心在原点，且与圆O 恰好有两个公共点的椭圆方程为 . 9．已知
12
1(0,0),m n m n
+=>>当mn
取得最小值时，直线2y =+与曲线x x m
+1y y
n =的交点个数为
三、解答题
10．在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆E ：22221(0)y x a b a b
+=>>的左、右顶点分别
为1A 、2A ，上、下顶点分别为1B 、2B ．设直线11A B 13
，圆C 与以线段2OA 为直径的圆关于直线11
A B 对称．
（1）求椭圆E 的离心率；
（2）判断直线11A B 与圆C 的位置关系，并说明理由； （3）若圆C 的面积为π，求圆C 的方程．
11．已知圆1F ：16)1(2
2=++y x ，定点，动圆过点2F ，且与圆1F 相内切。

(1）求点M 的轨迹C 的方程；
(2）若过原点的直线l 与（1）中的曲线C 交于B A ,两点，
且1ABF ∆的面积为2
3
，求直线l 的方程。

12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10．设A(5,0)， B(1，0)．
(1)求椭圆C 的方程；(4分)
(2)过点A 作直线与椭圆C 只有一个公共点D ，求过B ，D 两点，且以AD 为切线的圆 的方程；(6分)
(3)过点A 作直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S ． 若→AP= t →AQ （t ＞1），求证：→SB= t →
BQ (6分)
13．设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ，椭圆C 上两点,P Q 在x 轴上的射影
分别为左焦点1F 和右焦点2F ，直线PQ 的斜率为3
2
，过点A 且与1AF 垂直的直线与x 轴交于点B ，1AF B ∆的外接圆为圆M ． (1)求椭圆的离心率； (2)直线213404x y a ++=与圆M 相交于,E F 两点，且21
2
ME MF a ⋅=-，求椭圆方程；
(3)设点
(0,3)N 在椭圆C 内部，若椭圆C 上的点到点N 的最远距离不大于，求椭圆C
的短轴长的取值范围．
14．设,A B 分别为椭圆22
221(,0)x y a b a b
+=>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，
且4x =为它的右准线（1）求椭圆的方程；（2）设P 为右准线上不同于点（4，0）的任
意一点， 若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内
15． 已知椭圆x 2+22
b y =1(0<b<1)的左焦点为F ，左、右顶点分别为A 、C ，上顶点为B.过
F 、B 、C 三点作圆P ，其中圆心P 的坐标为(m ，n)． (1)当m+n>0时，求椭圆离心率的取值范围；
(2)直线AB 与圆P 能否相切?证明你的结论．
16．设分别21,F F 是椭圆C ：()0122
22>>=+b a b
y a x 的左右焦点；
(1）若椭圆C 上的点)2
3,1(A 到两焦点的距离之和为4，求椭圆C 的方程； (2）在（1）的条件下求21F AF ∆内切圆的方程；
(3）设MN 是过椭圆C 中心的弦，P 是椭圆上的动点，求证：直线PM ，PN 的斜率之积为定值． 3．
17．设椭圆)22(18:2
22>=+a y a
x M 焦点坐标为F 1（-c,0）, F 2（c,0）,点Q 是椭圆短轴上的顶点，且满足122c QF QF +=. （I ）求椭圆M 的方程;
（II ）设A,B 是圆与()12:2
2
=-+y x N 与y 轴的交点，P 是椭圆M 上的任一点，
求PA PB ⋅的最大值.
（III ）设P 0是椭圆M 上的一个顶点，EF 为圆()12:2
2
=-+y x N 的任一条直径，求
证00P E P F ⋅为定值。

18．若椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点到焦点的最短距
离为1，椭圆的离心率为
4
5
，以原点为圆心、短轴长为直径作圆O ，过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线,PA PB 。

（1）求椭圆的方程；（2）若2PA PF =，求PO 的最小值；（3）在（2）的条件下，若点
P 在椭圆内，求12PF PF 的范围。

19．在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上（如图），且
OC =1，OA =a +1(a >1)，点D 在边OA 上，满足OD =a . 分别以OD 、OC 为长、短半轴的 椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD . 直线l ：y =－x +b 与椭圆弧相切，与AB 交于 点E .
(1）求证：221b a -=；
(2）设直线l 将矩形OABC 分成面积相等的两部分， 求直线l 的方程；
(3）在（2）的条件下，设圆M 在矩形及其内部， 且与l 和线段EA 都相切，求面积最大的圆M 的方程．
20．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>和圆O ：222
x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的
两条切线，切点分别为,A B ．
（1）①若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ； ②若椭圆上存在点P ，使得
90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围；
（2）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：222
2
a b ON
OM
+
为定值．
21．如图，直角三角形ABC 的顶点坐标(2,0)A -，直角顶点(0,B -，顶点C 在x 轴上，点P 为线段OA 的中点．
（1）求BC 边所在直线方程； （2）求三角形ABC 外接圆的方程；
（3）若动圆N 过点P 且与ABC ∆的外接圆内切， 求动圆N 的圆心N 所在的曲线方程．
22．已知,A B 分别是直线y x =
和y x =上的两个动点，线段AB 的长为AB 的中点，点P 的轨迹为.C
（1）求轨迹C 的方程；
（2）过点(1,0)Q 任意作直线l （与x 轴不垂直），设l 与轨迹C 交于,M N 两点，与y 轴交于R 点。

若,,RM MQ RN NQ λμ==证明：λμ+为定值。

23．已知椭圆2
2
14
y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶
点，离心率为P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ⋅=；（本小题满分14分）
24．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)16x y -+=，圆2C ：22(1)1x y ++=，点S 为圆1C 上的一个动点，现将坐标平面折叠，使得圆心2(10)C -,
恰与点S 重合，折痕与直线1SC 交于点P ．
（1）求动点P 的轨迹方程；
（2）过动点S 作圆2C 的两条切线，切点分别为M N 、，求MN 的最小值；
（3）设过圆心2(10)C -, 的直线交圆1C 于点A B 、，以点A B 、分别为切点的两条切线交于点Q ，求证：点Q 在定直线上．
25． 已知椭圆2
21:12
x C y +=和圆222:1C x y +=，左顶点和下顶点分别为A ，B ，且F 是椭圆1C 的右焦点.
(1) 若点P 是曲线2C 上位于第二象限的一点，且△APF 的面积为12+ 求证：;AP OP ⊥
(2) 点M 和N 分别是椭圆1C 和圆2C 上位于y 轴右侧的动点，且直线BN 的斜率是直线BM 斜率的2倍，求证：直线MN 恒过定点.
26．如图，圆O 与离心率为23
的椭圆T ：12222=+b
y a x (0>>b a )相切于点M )1,0(。

⑴求椭圆T 与圆O 的方程；
⑵过点M 引两条互相垂直的两直线1l 、2l 与两曲线分别交
于点A 、C 与点B 、D(均不重合)。

②
P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为
1d 、2d ，求2221d d +的最大值；
②若MD MB MC MA ⋅=⋅43，求1l 与2l 的方程。

(本小题满分16分)
27．. 已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为
2
3
,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :021422
2
=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .
(1)求椭圆G 的方程 ； (2)求21F F A k ∆的面积 (3)问是否存在圆k C 包围椭圆G? 请说明理由.
28．.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点为1F 、2F ，P 是右支上一点，
212PF F F ⊥，1OH PF ⊥于H ，111
,[,]92
OH OF λλ=∈
（1）当1
3
λ=时，求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的离心率的取值范围；
（3）当离心率最大时，过1F 、2F ，P 的圆截y 轴线段长为8，求该圆的方程．
29．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知圆22:(1)1M x y ++=,圆22:(1)9N x y -+=,动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,圆心P 的轨迹为曲线C . (Ⅰ)求C 的方程;
(Ⅱ)l 是与圆P ,圆M 都相切的一条直线,l 与曲线C 交于A ,B 两点,当圆P 的半径最长是,求||AB .
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑.
30．已知椭圆)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为23
，椭圆的左、右两个顶点分别为
A ，
B ，AB=4，直线(22)x t t =-<<与椭圆相交于M ，N 两点，经过三点A ，M ，N 的圆与经过三点B ，M ，N 的圆分别记为圆C1与圆C2． （1）求椭圆的方程；
（2）求证：无论t 如何变化，圆C1与圆C2的圆心距是定值；（3）当t 变化时，求圆C1与圆C2的面积的和S 的最小值．。