浙江专版2018年高考数学二轮专题复习知能专练六三角函数的图象与性质

知能专练（六） 三角函数的图象与性质
一、选择题
1．(2017·山东高考)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2
B.2π3
C ．π
D ．2π
解析：选C ∵y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6， ∴最小正周期T ＝2π
2
＝π.
2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )
A ．f (x )的一个周期为－2π
B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π
3对称
C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π
6
D ．f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π单调递减 解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝
8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函
数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 错误．
3．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x
1－cos x
的部分图象大致为( )
解析：选 C 令函数f (x )＝
sin 2x
1－cos x
，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z}，又f (－x )＝
－2x 1－
－x ＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x
1－cos x
为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝
sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π
1－cos π
＝0，故排除A 、D ，选C.
4．三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则
sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ
|tan θ|的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．4
解析：选B 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋
cos θ|cos θ|＋
tan θ
|tan θ|
＝－1＋1－1＝－1.
5．(2017·嘉兴模拟)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<
π
2
在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，5π6上的图象．为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有的点(
)
A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变
B ．向左平移π
3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1
2，纵坐标不变
D ．向左平移π
6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
解析：选A 由题意知，A ＝1；由2πω＝5π6＋π6，得ω＝2；由2×π3－π62＋φ＝π
2＋2k π(k
∈Z)，0<φ<π2，得φ＝π3，故y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.只要把函数y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位
长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，即可得y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 6．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π8＝
2，f ⎝
⎛⎭
⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )
A ．ω＝23，φ＝π
12
B ．ω＝23，φ＝－11π
12
C ．ω＝13，φ＝－11π
24
D ．ω＝13，φ＝7π
24
解析：选A 法一：由f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①
由f ⎝
⎛⎭
⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，②
由①②得ω＝－23＋4
3
(k ′－2k )．
又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝2
3.
又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π
12.选项A 符合．
法二：∵f ⎝
⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝
⎛⎭⎪⎫11π8
－5π8＝3π，
∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23x ＋φ.
由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.
又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π
12.故选A.
二、填空题
7．(2017·金华一中模拟)函数f (x )＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1的对称轴为________，最小值为
________．
解析：由x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π－π3(k ∈Z)，即函数f (x )的对称轴为x ＝k π－π
3
(k ∈
Z)；因为2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3∈[－2,2]，所以2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－1∈[－3,1]，所以函数f (x )的最小值为－
3.
答案：x ＝k π－π
3
(k ∈Z) －3
8．(2017·荆州质检)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，且函数图
象关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫－3π8，0对称，则函数的解析式为________________． 解析：由题意知最小正周期T ＝π＝2πω，∴ω＝2，2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π8＋φ＝k π(k ∈Z)，∴φ＝k π
＋
3π
4
(k ∈Z)． 又0<φ<π，∴φ＝3π4，∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4. 答案：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4
9．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝
________.
解析：由图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝2π8＝π4，即周期为π
2，所以ω＝2.
由题意可知，图象过定点⎝
⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2×3π8＋φ，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z)，所以
φ＝k π－3π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π
4
.再由图象过定点(0,1)，可得A ＝1.综上可知，
f (x )＝tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π4.故有f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π24＝tan ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2×π
24＋π4
＝tan π3
＝ 3.
答案： 3 三、解答题
10．(2017·北京高考)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.
解：(1)f (x )＝
32cos 2x ＋3
2
sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋3
2
cos 2x
＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 所以f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π. (2)证明：因为－π4≤x ≤π
4，
所以－π6≤2x ＋π3≤5π
6
.
所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≥sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.
所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.
11．(2018届高三·浙江名校联盟联考)已知函数f (x )＝2cos πx ·cos 2
φ
2
＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ⎝
⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象如图所示．
(1)求φ的值及图中x 0的值；
(2)将函数f (x )的图象上的各点向左平移1
6
个单位，再将所得图象上各点的横坐标不变，纵坐
标伸长到原来的3倍，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，13上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝2cos πx ·cos
2
φ
2
＋sin[(x ＋1)π]·sin φ－cos πx ＝cos πx ·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2cos 2 φ2－1－sin πx ·sin φ＝cos πx ·cos φ－sin πx ·sin φ＝cos(πx ＋φ)． 由题图可知，cos φ＝
32，又0<φ<π2，所以φ＝π
6
. 又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，所以πx 0＋π6＝11π6，
所以x 0＝5
3
.
(2)由(1)可知f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，将图象上的各点向左平移16个单位得到y ＝
cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象，然后将各点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍后得到g (x )＝3cos ⎝
⎛⎭⎪⎫πx ＋π3的图象．
因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，13，所以－π6≤πx ＋π3≤2π3.
所以当πx ＋π3＝0，即x ＝－1
3时，g (x )取得最大值3；
当πx ＋π3＝2π3，即x ＝13时，g (x )取得最小值－3
2
.
12．(2017·东阳市调研)已知x 0，x 0＋π2是函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6－sin 2
ωx (ω>0)的两
个相邻的零点．
(1)求f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π12的值；
(2)若对任意x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1，求实数m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝1＋cos ⎝
⎛⎭⎪⎫2ωx －π32－1－cos 2ωx 2
＝12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3＋cos 2ωx
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2ωx ＋32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝
32⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝
32sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2ωx ＋π3.
由题意可知，f (x )的最小正周期T ＝π，∴2π
|2ω|＝π.
又∵ω>0，∴ω＝1，∴f (x )＝
32sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x ＋π3.
∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝32sin π2＝32. (2)|f (x )－m |≤1，即f (x )－1≤m ≤f (x )＋1.
∵对任意x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－7π12，0，都有|f (x )－m |≤1，
∴m ≥f (x )max －1且m ≤f (x )min ＋1. ∵－7π12≤x ≤0，∴－5π6≤2x ＋π3≤π3，
∴－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤32，
∴－
32≤ 32sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤34，
即f (x )max ＝34，f (x )min ＝－32，∴－14≤m ≤1－3
2.
故m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1
4
，1－32.。