人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评学能测试试卷

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 易错题难题综合模拟测评学能
测试试卷
一、选择题
1．如图，正方形ABCD 的周长是16，P 是对角线AC 上的个动点，E 是CD 的中点，则PE +PD 的最小值为( )
A ．25
B ．23
C ．22
D ．4
2．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积. 如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P 是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P 的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是（ ）
A ．22
B ．5
C ．35
D ．10
3．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AC 上的一点，且AB=AE ，过点A 作AF ⊥BE ，垂足为F ，交BD 于点G ，点H 在AD 上，且EH ∥AF.若正方形ABCD 的边长为2，下列结论：①OE=OG ；②EH=BE ；③AH=222-，其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．如图，在矩形ABCD 中，25,4,BC AB O ==为边AB 的中点，P 为矩形ABCD 外一动点，且90APC ∠=，则线段OP 的最大值为（ ）
A ．53+
B ．35+
C ．452-
D ．231+
5．如图，在ABC 中，BD ，CE 是ABC 的中线，BD 与CE 相交于点O ，点F G ，分别是，BO CO 的中点，连接AO ，若要使得四边形DEFG 是正方形，则需要满足条件（ ）
A ．AO BC =
B ．AB A
C ⊥ C ．AB AC =且AB AC ⊥
D ．AO BC =且AO BC ⊥
6．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设
12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若
110,AMB ∠=︒ 90CMD ∠=︒，60BCD ∠=︒，则( )
A ．142310θθθθ+--=︒
B ．241330θθθθ+--=︒
C ．142330θθθθ+--=︒
D ．241340θθθθ+--=︒
7．如图，长方形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，将△ADE 沿AE 折叠得到△AFE ，且点F 在长方形ABCD 内，将AF 延长交边BC 于点G ，若BG=3CG ，则AD AB
=（ ）
A ．54
B ．1
C ．5
D ．6 8．如图，在一张矩形纸片ABCD 中，4AB =，8BC =，点
E ，
F 分别在AD ， BC 上，将纸片ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点
G 处，有以下四个结论： ①四边形CFHE 是菱形；②EC 平分DC
H ∠；③线段BF 的取值范围为34BF ≤≤；④当点H 与点A 重合时，25EF =．
以上结论中，你认为正确的有（ ）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，下列结论中：①AB ⊥AC ；②四边形AEFD 是平行四边形；③∠DFE ＝150°；④S 四边形AEFD ＝5．正确的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，一个四边形花坛ABCD ，被两条线段MN , EF 分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，若MN ∥AB ∥DC ，EF ∥DA ∥CB ，则有（ ）
A ．S 1= S 4
B ．S 1 + S 4 = S 2 + S 3
C ．S 1 + S 3 = S 2 + S 4
D ．S 1·S 4 = S 2·S 3
二、填空题
11．如图，正方形ABCD 中，AB=4，E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上一动点，则
PE+PB 的最小值为 ．
12．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D 是BC 边上一点且CD=1，点P 是线段DB 上一动点，连接AP ，以AP 为斜边在AP 的下方作等腰Rt △AOP ．当P 从点D 出发运动至点B 停止时，点O 的运动路径长为_____．
13．如图，在等边ABC 和等边DEF 中，FD 在直线AC 上，33,BC DE ==连接,BD BE ，则BD BE +的最小值是______．
14．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．
15．如图，在菱形ABCD 中，AC 交BD 于P ，E 为BC 上一点，AE 交BD 于F ，若AB=AE ，EAD 2BAE ∠∠=，则下列结论：①AF=AP ；②AE=FD ；③BE=AF ．正确的是______（填序号）．
16．如图，已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点M 是AC 边上任意一点，连接MB ，以MB 、MC 为邻边作平行四边形MCNB ，连接MN ，则MN 的最小值是______
17．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 为AD 的延长线上一点，且DE ＝DC ，点P 为边AD 上一动点，且PC ⊥PG ，PG ＝PC ，点F 为EG 的中点．当点P 从D 点运动到A 点时，则CF 的最小值为___________
18．如图，长方形ABCD 中AB ＝2，BC ＝4，正方形AEFG 的边长为1．正方形AEFG 绕点A 旋转的过程中，线段CF 的长的最小值为_____．
19．如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB =OB ，E 为AC 上一点，BE 平分∠ABO ，EF ⊥BC 于点F ，∠CAD =45°，EF 交BD 于点P ，BP =5，则BC 的长为_______．
20．如图，在平行四边形ABCD 中，5
3AB AD ==，，BAD ∠的平分线AE 交CD 于点E ，连接BE ，若BAD BEC ∠=∠，则平行四边形ABCD 的面积为__________．
三、解答题
21．如图1，在正方形ABCD 中，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，AM 、AN 分别交BD 于点P 、Q ，连接CQ 、MQ ．且CQ MQ =．
（1）求证：QAB QMC ∠=∠
（2）求证：90AQM ∠=︒
（3）如图2，连接MN ，当2BM =，3CN =，求AMN 的面积
图1 图2
22．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．
（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．
简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；
（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC
的值，写出你的猜想并加以证明；
（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点
A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．
23．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．
（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；
（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，
①求证：四边形AFEP 是平行四边形；
②求PE 的长．
24．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．
（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．
25．矩形ABCD 中，AB =3，BC =4．点E ，F 在对角线AC 上，点M ，N 分别在边AD ，BC 上．
（1）如图1，若AE =CF =1，M ，N 分别是AD ，BC 的中点．求证：四边形EMFN 为矩形． （2）如图2，若AE =CF =0.5，02AM CN x x ==<<（）
，且四边形EMFN 为矩形，求x 的值．
26．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD 与矩形纸片ECGF ，使B ，C ，G 三点在一条直线上，CE 在边CD 上．连结AF ，若M 为AF 的中点，连结DM ，ME ，试猜想DM 与ME 的数量关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，其他条件不变，则DM 和ME 的关系为__________________；
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD 与正方形纸片ECGF ，使点F 在边CD 上，点M 仍为AF 的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]
① ②
27．如图，四边形ABCD 为正方形.在边AD 上取一点E ，连接BE ，使60AEB ∠=︒.
（1）利用尺规作图（保留作图痕迹）：分别以点B 、C 为圆心，BC 长为半径作弧交正方形内部于点T ，连接BT 并延长交边AD 于点E ，则60AEB ∠=︒；
（2）在前面的条件下，取BE 中点M ，过点M 的直线分别交边AB 、CD 于点P 、Q . ①当PQ BE ⊥时，求证：2BP AP =；
②当PQ BE =时，延长BE ，CD 交于N 点，猜想NQ 与MQ 的数量关系，并说明理由.
28．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．
（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．
①如图1，求证：AE ＝BF ；
②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；
（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CF BF
的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．
29．如图①，在等腰Rt ABC 中，90BAC ∠=，点E 在AC 上(且不与点A 、C 重合)，在ABC 的外部作等腰Rt CED ，使90CED ∠=，连接AD ，分别以AB ，AD 为邻边作平行四边形ABFD ，连接AF ．
()1请直接写出线段AF ，AE 的数量关系；
()2①将CED 绕点C 逆时针旋转，当点E 在线段BC 上时，如图②，连接AE ，请判断线段AF ，AE 的数量关系，并证明你的结论；
②若25AB =2CE =，在图②的基础上将CED 绕点C 继续逆时针旋转一周的过程中，当平行四边形ABFD 为菱形时，直接写出线段AE 的长度．
30．如图，矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若四边形DEBF是菱形，则需要增加一个条件是_________________，试说明理由；（3）在（2）的条件下，若AB=8，AD=6，求EF的长．
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一、选择题
1．A
解析：A
【解析】
【分析】
由于点B与D关于AC对称，所以连接BE，与AC的交点即为P点.此时PE+PD=BE最小，而BE是直角△CBE的斜边，利用勾股定理即可得出结果.
【详解】
解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P'，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴点B 与D 关于AC 对称，
∴P'D=P'B ，
∴P'D+P'E=P'B+P'E=BE 最小.
即P 在AC 与BE 的交点上时，PD+PE 最小，即为BE 的长度.
∴直角△CBE 中，∠BCE=90°，BC=4，CE=12CD=2， ∴224225BE =+=.
故选：A.
【点睛】
本题题考查了轴对称中的最短路线问题，要灵活运用正方形的性质、对称性是解决此类问题的重要方法，找出P 点位置是解题的关键 2．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质即可作出剪痕，根据三角形全等的性质即可证得EM=DN ，利用勾股定理即可求得．
【详解】
如图，EF 为剪痕，过点F 作FG EM ⊥于G .
∵EF 将该图形分成了面积相等的两部分，
∴EF 经过正方形ABCD 对角线的交点，
∴,AF CN BF DN ==.
易证PME PDN ∆∆≌，
∴EM DN =，
而AF MG =，
∴1EG EM MG DN AF DN CN DC =+=+=+==.
在Rt FGE ∆中， EF ==
故选：D.
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，中心对称的性质，勾股定理的应用，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 3．D
解析：D
【分析】
根据正方形的性质及全等三角形的判定与性质即可分别求证判断.
【详解】
在正方形ABCD 中，AO=BO ，∠AOG=∠BOE ，AC ⊥BD
∵AF ⊥BE ，∴∠EAF+∠BEO=∠BEO+∠OBE=90°，
∴∠OAG=∠OBE ，∴△OAG ≌△OBE ，故OE=OG ，①正确；
∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB ，
∵EH ∥AF ∴HE ⊥BE ，
∴∠AEF+∠AEH=∠ABE+∠CBE,∴∠AEH=∠CBE
又∵AE=AB=CB,∠HAE=∠ECB=45°，∴△AEH ≌△CBE ，
∴EH=BE ，②正确；
∵△AEH ≌△=
∴AH=CE=AC-AE=，③正确.
故选D
【点睛】
此题主要考查正方形的性质与线段的证明，解题的关键是熟知正方形的性质定理及全等三角形的判定与性质.
4．B
解析：B
【分析】
连接AC ，取AC 的中点E ，根据矩形的性质求出AC ，OE ，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得12
PE AC =
，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得O 、E 、P 三点共线时OP 最大．
【详解】
解：如图，连接AC ，取AC 的中点E ，
∵矩形ABCD 中，25, 4BC AB ==，O 为AB 的中点，
2216,52
AC AB BC OE BC ∴=+==
= ∵AP ⊥CP ， 116322
PE AC ∴==⨯=， 由三角形的三边关系得，O 、E 、P 三点共线时OP 最大， 此时 53OP =最大
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理、中位线定理．能正确构造辅助线，并根据三角形三边关系确定OP 最大值是解题关键．
5．D
解析：D
【分析】 根据三角形中位线定理得到12DE BC =，//DE BC ，12
FG BC =，//FG BC ，得到四边形DEFG 为平行四边形，根据正方形的判定定理解答即可．
【详解】 解：点E 、D 分别为AB 、AC 的中点，
12
DE BC ∴=，//DE BC ， 点F 、G 分别是BO 、CO 的中点， 12FG BC ∴=
，//FG BC ， DE FG ∴=，//DE FG ，
∴四边形DEFG 为平行四边形，
点E 、F 分别为AB 、OB 的中点，
12
EF OA ∴=，//EF OA ，
当EF FG =，即AO BC =时平行四边形DEFG 为菱形，
当AO BC ⊥时，DE OA ⊥，
//EF OA ，
EF FG ∴⊥，
∴四边形DEFG 为正方形，
则当AO BC =且AO BC ⊥时，四边形DEFG 是正方形，
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、正方形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
6．D
解析：D
【分析】
依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，
∴△ABM 中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①，
△DCM 中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②，
由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，
2413 40θθθθ∴+--=︒；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
7．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据中点定义得出DE=CE ，再根据折叠的性质得出DE=EF ，AF=AD ，∠AFE=∠D=90°，从而得出CE=EF ，连接EG ，利用“HL”证明△ECG ≌△EFG ，根据全等三角形性质得出CG=FG ，设CG=a ，则BC=4a ，根据长方形性质得出AD=BC=4a ，再求出AF=4a ，最后求出AG=AF+FG=5a ，最后利用勾股定理求出AB ，从而进一步得出答案即可.
【详解】
如图，连接EG ，
∵点E 是CD 中点，
∴DE=EC ，
根据折叠性质可得：AD=AF ，DE=EF ，∠D=∠AFE=90°，
∴CE=EF ，
在Rt △ECG 与Rt △EFG 中，
∵EG=EG ，EC=EF ，
∴Rt △ECG ≌Rt △EFG （HL ），
∴CG=FG ，
设CG=a ，
∴BG=3CG=3
a ， ∴BC=4
a ， ∴AF=AD=BC=4
a . ∴AG=5
a . 在Rt △ABG 中， ∴224AB AG BG a -=， ∴1AD AB
=, 故选B.
【点睛】
本题主要考查了长方形与勾股定理及全等三角形判定和性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键,
8．C
解析：C
【分析】
①先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；
②根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH ，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，判断出②错误；
③点H 与点A 重合时，设BF=x ，表示出AF=FC=8-x ，利用勾股定理列出方程求解得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF=CD ，求出最大值BF=4，然后写出BF 的取值范围，判断出③正确；
④过点F 作FM ⊥AD 于M ，求出ME ，再利用勾股定理列式求解得到EF ，判断出④正确．
【详解】
解：
①∵FH 与CG ，EH 与CF 都是矩形ABCD 的对边AD 、BC 的一部分，
∴FH ∥CG ，EH ∥CF ，
∴四边形CFHE 是平行四边形，
由翻折的性质得，CF=FH ，
∴四边形CFHE 是菱形，（故①正确）；
②∴∠BCH=∠ECH ，
∴只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，（故②错误）；
③点H 与点A 重合时，此时BF 最小，设BF=x ，则AF=FC=8-x ，
在Rt △ABF 中，AB 2+BF 2=AF 2，
即42+x 2=（8-x ）2，
解得x=3，
点G 与点D 重合时，此时BF 最大，CF=CD=4，
∴BF=4，
∴线段BF 的取值范围为3≤BF ≤4，（故③正确）；
过点F 作FM ⊥AD 于M ，
则ME=（8-3）-3=2，
由勾股定理得， 22MF ME +2242+=5
综上所述，结论正确的有①③④共3个，
故选C ．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，难点在于灵活运用菱形的判定与性质与勾股定理等其它知识有机结合．
9．C
解析：C
【分析】
由222AB AC BC +=，得出∠BAC =90°，则①正确；由等边三角形的性质得
∠DAB =∠EAC =60°，则∠DAE =150°，由SAS 证得△ABC ≌△DBF ，得AC =DF =AE =4，同理△ABC ≌△EFC （SAS ），得AB =EF =AD =3，得出四边形AEFD 是平行四边形，则②正确；由平行四边形的性质得∠DFE=∠DAE =150°，则③正确；∠FDA =180°－∠DFE =30°，过点A 作
AM DF ⊥于点M ，1143622
AEFD S
DF AM DF AD ===⨯⨯=，则④不正确；即可得出结果．
【详解】
解：∵22234=5+，
∴222AB AC BC +=，
∴∠BAC=90°，
∴AB ⊥AC ，故①正确； ∵△ABD ，△ACE 都是等边三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
又∴∠BAC=90°，
∴∠DAE=150°，
∵△ABD 和△FBC 都是等边三角形，
∴BD=BA ，BF=BC ，∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC ，
在△ABC 与△DBF 中，
BD BA DBF ABC BF BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△DBF （SAS ），
∴AC=DF=AE=4，
同理可证：△ABC ≌△EFC （SAS ），
∴AB=EF=AD=3，
∴四边形AEFD 是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE=150°，故③正确；
∴∠FDA=180°-∠DFE=180°－150°=30°，
过点A 作AM DF ⊥于点M ， ∴1143622
AEFD S DF AM DF AD ===⨯⨯=， 故④不正确；
∴正确的个数是3个，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、平角、周角、平行是四边形面积的计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
由于在四边形中，MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，因此MN、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形．可设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，根据AB=CD，
DE=AF，EC=FB及平行四边形的面积公式即可得出答案．
【详解】
解：∵MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，
∴四边形ABCD，四边形ADEF，四边形BCEF，红、紫、黄、白四边形都为平行四边形，
∴AB=CD，DE=AF，EC=BF．
设MN到DC的距离为h1，MN到AB的距离为h2，
则S1=DE•h1，S2=AF•h2，S3=EC•h1，S4=FB•h2，
因为DE，h1，FB，h2的关系不确定，所以S1与S4的关系无法确定，故A错误；
S1+S4=DE•h1+FB•h2=AF•h1+FB•h2，S2+S3=AF•h2+EC•h1=AF•h2+FB•h1，故B错误；
S1+S3=CD•h1，S2+S4=AB•h2，又AB=CD，而h1不一定与h2相等，故C错误；
S1·S4=DE•h1•FB•h2=AF•h1•FB•h2，S2·S3=AF•h2•EC•h1=AF•h2•FB•h1，所以
S1·S4=S2·S3，
故D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定与性质，注意掌握平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．
二、填空题
11．5
【详解】
由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DE，交AC于点P，那PE+PB的值最小．在Rt△CDE中，由勾股定理先计算出DE的长度，即为PE+PB的最小值．连接DE，交AC于点P，连接BD．
∵点B与点D关于AC对称，
∴DE的长即为PE+PB的最小值，
∵AB=4，E是BC的中点，
∴CE=2，
在Rt△CDE中， DE=25．
考点：(1)、轴对称-最短路线问题；(3)、正方形的性质．
12．22
【解析】
分析：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，易得四边形OECF为矩形，由△AOP为等腰直角三角形得到OA=OP，∠AOP=90°，则可证明△OAE≌△OPF，所以
AE=PF，OE=OF，根据角平分线的性质定理的逆定理得到CO平分∠ACP，从而可判断当P 从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，接着证明
CE=1
2
（AC+CP），然后分别计算P点在D点和B点时OC的长，从而计算它们的差即可得
到P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长．
详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，
∵△AOP为等腰直角三角形，
∴OA=OP，∠AOP=90°，
易得四边形OECF为矩形，
∴∠EOF=90°，CE=CF，
∴∠AOE=∠POF，
∴△OAE≌△OPF，
∴AE=PF，OE=OF，
∴CO平分∠ACP，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，
∵AE=PF，
即AC-CE=CF-CP，而CE=CF，
∴CE=1
2
（AC+CP），
∴OC=2CE=
2
2
（AC+CP），
当AC=2，CP=CD=1时，OC=2
×（2+1）=
32
2
，
当AC=2，CP=CB=5时，OC=
2
2
×（2+5）=
72
2
，
∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=72
2
-
32
2
=22．
故答案为22．
点睛：本题考查了轨迹：灵活运用几何性质确定图形运动过程中不变的几何量，从而判定轨迹的几何特征，然后进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质．
13．37
【分析】
如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．证明BE=DT，BD=DW，把问题转化为求DT+DW的最小值．
【详解】
解：如图，延长CB到T，使得BT=DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．
∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC=3DE=3，
∴BC=AB=3，DE=1，∠ACB=∠EDF=60°，
∴DE∥TC，
∵DE=BT=1，
∴四边形DEBT是平行四边形，
∴BE=DT，
∴BD+BE=BD+AD，
∵B，W关于直线AC对称，
∴CB=CW=3，∠ACW=∠ACB=60°，DB=DW ，
∴∠WCK=60°，
∵WK ⊥CK ，
∴∠K=90°，∠CWK=30°，
∴CK=12CW=32，2
， ∴TK=1+3+32=112
，
∴= ∴DB+BE=DB+DT=DW+DT≥TW ，
∴
∴BD+BE ，
．
【点睛】
本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质
等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．①②③④
【分析】
①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等
腰直角三角形的性质可得AE =，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE
和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求
出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；
③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和
△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣
（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；
⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．
【详解】
∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴AE =
．
∵AD =，∴AE =AD ．
在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），
∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；
∵∠AHB 12
=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．
∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，
∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；
∵∠EBH =90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH =∠OHD ．
在△BEH 和△HDF 中，∵EBH OHD BE DH AEB HDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△BEH ≌△HDF （ASA ），∴BH =HF ，
HE =DF ，故③正确；
由上述①、②、③可得CD =BE 、DF =EH =CE ，CF =CD ﹣DF ，∴BC ﹣CF =（CD +HE ）﹣（CD ﹣
HE ）=2HE ，所以④正确；
∵AB =AH ，∠BAE =45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB ≠BH ，∴即AB ≠HF ，故⑤错
误；
综上所述：结论正确的是①②③④．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
15．②③
【分析】
根据菱形的性质可知AC ⊥BD ，所以在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，从而判断①；设
∠BAE=x ，然后根据等腰三角形两底角相等表示出∠ABE ，再根据菱形的邻角互补求出
∠ABE ，根据三角形内角和定理列出方程，求出x 的值，求出∠BFE 和∠BE 的度数，从而
判断②③．
【详解】
解：在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，
∴在Rt △AFP 中，AF 一定大于AP ，故①错误；
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AD ∥BC ，
∴∠ABE+∠BAE+∠EAD=180°，
设∠BAE=x°，
则∠EAD=2x°，∠ABE=180°-x°-2x°，
∵AB=AE，∠BAE=x°，
∴∠ABE=∠AEB=180°-x°-2x°，
由三角形内角和定理得：x+180-x-2x+180-x-2x=180，解得：x=36，
即∠BAE=36°，
∠BAE=180°-36°-2×36°=70°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD=∠CBD=1
2
∠ABE=36°，
∴∠BFE=∠ABD+∠BAE=36°+36°=72°，
∴∠BEF=180°-36°-72°=72°，
∴BE=BF=AF．故③正确
∵∠AFD=∠BFE=72°，∠EAD=2x°=72°
∴∠AFD=∠EAD
∴AD=FD
又∵AD=AB=AE
∴AE=FD，故②正确
∴正确的有②③
故答案为：②③
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，熟记各性质并列出关于∠BAE的方程是解题的关键，注意：菱形的对边平行，菱形的对角线平分一组对角．
16．120 13
【分析】
设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求AO和OH长，若MN最小，则MO最小即可，而O点到AC的最短距离为OH 长，所以MN最小值是2OH．
【详解】
解：设MN与BC交于点O，连接AO，过点O作OH⊥AC于H点，
∵四边形MCNB是平行四边形，
∴O为BC中点，MN＝2MO．
∵AB＝AC＝13，BC＝10，
∴AO⊥BC．
在Rt△AOC中，利用勾股定理可得AO＝2222
135
AC CO
-=-＝12．利用面积法：AO×CO＝AC×OH，
即12×5＝13×OH，解得OH＝60 13
．
当MO最小时，则MN就最小，O点到AC的最短距离为OH长，
所以当M点与H点重合时，MO最小值为OH长是60 13
．
所以此时MN最小值为2OH＝120 13
．
故答案为：120 13
．
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静．
17．22
【分析】
由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=42，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG 的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最
小，此时CF=1
2
AG=22．
【详解】
解：连接FD
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=2，
当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，
∴EG的中点为D，即F与D重合，
当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，
∵D是AE的中点，F是EG的中点，
∴DF是△EAG的中位线，
∴DF∥AG，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，
此时CF=1
2
AG=22；
故答案为：22．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
18．25﹣2
【分析】
连接AF，CF，AC，利用勾股定理求出AC、AF，再根据三角形的三边关系得到当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为25﹣2.
【详解】
解：如图，连接AF，CF，AC，
∵长方形ABCD中AB＝2，BC＝4，正方形AEFG的边长为1，
∴AC＝25，AF＝2，
∵AF+CF≥AC，
∴CF≥AC﹣AF，
∴当点A，F，C在同一直线上时，CF的长最小，最小值为25﹣2，
故答案为：25﹣2．
【点睛】
此题考查矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形的三边关系.
19．4
【分析】
过点E 作EM ∥AD ，由△ABO 是等腰三角形，根据三线合一可知点E 是AO 的中点，可证得EM=12AD=12
BC ，根据已知可求得∠CEF=∠ECF=45°，从而得∠BEF=45°，△BEF 为等腰直角三角形，可得BF=EF=FC=
12BC ，因此可证明△BFP ≌△MEP （AAS ），则EP=FP=12FC ，在Rt △BFP 中，利用勾股定理可求得x ，即得答案．
【详解】
过点E 作EM ∥AD ，交BD 于M ，设EM=x ，
∵AB=OB ，BE 平分∠ABO ，
∴△ABO 是等腰三角形，点E 是AO 的中点，BE ⊥AO ，∠BEO=90°，
∴EM 是△AOD 的中位线，
又∵ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD=2EM=2x ，
∵EF ⊥BC ， ∠CAD=45°，AD ∥BC ，
∴∠BCA=∠CAD=45°，∠EFC=90°，
∴△EFC 为等腰直角三角形，
∴EF=FC ，∠FEC=45°，
∴∠BEF=90°-∠FEC=45°，
则△BEF 为等腰直角三角形，
∴BF=EF=FC=
12
BC=x ， ∵EM ∥BF ， ∴∠EMP=∠FBP ，∠PEM=∠PFB=90°，EM=BF ，
则△BFP ≌△MEP （ASA ），
∴EP=FP=12EF=12FC=12
x ， ∴在Rt △BFP 中，222BP BF PF =+，
即：222
1()2x x =+，
解得：2x =，
∴BC=2x =4，
故答案为：4．
【点睛】
考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三线合一的应用，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理求三角形边长，熟记图形的性质定理是解题的关键．
20．102
【分析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3，再根据BAD BEC ∠=∠证明
BC=BE ，由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF ，即可求出平行四边形的面积.
【详解】
过点B 作BF CD ⊥于点F ，如图所示．
∵AE 是BAD ∠的平分线，
∴DAE BAE ∠=∠．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴5
3CD AB BC AD BAD BCE AB CD ====∠=∠，，，∥， ∴BAE DEA ∠=∠，
∴DAE DEA ∠=∠，
∴3DE AD ==，
∴2CE CD DE =-=．
∵BAD BEC ∠=∠，
∴BCE BEC ∠=∠，
∴BC=BE, ∴112CF EF CE ==
=， ∴22223122BF BC CF =-=-=
∴平行四边形ABCD 的面积为225102BF CD ⋅==．
故答案为：2
【点睛】
此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性
质、三线合一的性质，勾股定理.
三、解答题
21．（1）见解析
（2）见解析
（3）15
【分析】
（1）根据四边形ABCD 是正方形，得到∠QBA ＝∠QBC ，进而可得△QBA ≌ △QBC ，
∠QAB ＝∠QCB ，再根据CQ ＝MQ ，得到∠QCB ＝∠QMC ，即可求证；
（2）根据∠QAB ＝∠QMC ，∠QMC ＋∠QMB ＝180°，得到∠QAB ＋∠QMB ＝180°，在四边形QABM 中，∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°可得∠ABM ＋∠AQM ＝
180°，再根据∠ABM ＝90°即可求解；
（3）设正方形ABCD 的边长为a ，延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2，证得△ADH ≌
△ABM ，得到∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM ，由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形，易得∠NAM ＝∠NAH ，进而得到△NAM ≌ △NAH ，在Rt △MNC 中，利用勾股定理得到6a =，即可求解．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD 是正方形
∴∠QBA ＝∠QBC
在△QBA 和△QBC 中
BA BC QBA QBC QB QB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△QBA ≌ △QBC （SAS ）
∴∠QAB ＝∠QCB
又∵CQ ＝MQ
∴∠QCB ＝∠QMC
∴∠QAB ＝∠QMC （2）∵∠QAB ＝∠QMC
又∵∠QMC ＋∠QMB ＝180°
∴∠QAB ＋∠QMB ＝180°
在四边形QABM 中
∠QAB ＋∠QMB ＋∠ABM ＋∠AQM ＝360°
∴∠ABM ＋∠AQM ＝180°
而∠ABM ＝90°
∴∠AQM ＝90°
（3）设正方形ABCD 的边长为a ，则
2MC a =-，3ND a =-
延长ND 至点H ，使DH ＝BM ＝2
易证△ADH ≌ △ABM
∴∠DAH ＝∠BAM ，且AH ＝AM
由（2）知，△QAM 是等腰直角三角形
∴∠QAM ＝45°
∴∠DAN ＋∠BAM ＝45°
∴∠DAN ＋∠DAH ＝45°
即∠NAH ＝45°
∴∠NAM ＝∠NAH
∴△NAM ≌ △NAH （SAS ）
∴NM ＝NH ＝()321a a -+=-
在Rt △MNC 中，222MN MC NC =+
∴()()222123a a -=-+
∴6a = ∴11651522
AMN AHN S S AD NH ==⋅=⨯⨯=
【点睛】
此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判断和性质、四边形的内角和、等腰直角三角形的性质及勾股定理，灵活运用性质是解题关键．
22．（1）ΔDPM,ΔFPG ；等腰直角；（2）线段PG 与PC 的位置关系是PG ⊥PC ；PG PC ＝3；（3）213
【分析】
（1）延长GP 交DC 于点M ，由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，可得
∠MDP=∠GFP ，DP=FP ，利用ASA 可证明△DPM ≌△FPG ；可得DM=GF ，MP=GP ，根据正方形的性质可得CM=CG ，即可证明△CMG 是等腰直角三角形，即可得答案；
（2）如图，延长GP交DC于点H，利用ASA可证明△GFP≌△HDP，可得GP＝HP，GF＝HD，进而根据菱形的性质可证明△CHG是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得PG⊥PC，∠HCP=∠GCP，由∠ABC=60°可得∠HCG=120°，进而可得∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案；
（3）利用线段的和差关系可求出图2中CG的长，由（2）可知∠CGP=30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可求出CP的长；在图3中，延长GP到N，使GP=PN，连接DN、CN、CG，过N作NK⊥CD，交CD延长线于K，利用SAS可证明△FGP≌△DNP，可得
GF=DN，∠GFP=∠NDP，根据角的和差关系可得∠CDN=120°，根据平角的定义可得
∠GBC=120°，利用菱形的性质及等量代换可得DN=GB，利用SAS可证明△NDC≌△GBC，可得CN=CG，∠DCN=∠BCG，根据等腰三角形的性质可得PC⊥GN，根据角的和差关系可
得∠NCG=120°，进而可得出∠CNP=30°，可得
PC=
1
2
CG，根据平角的定义可得
∠KDN=60°，即可得出∠KND=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得得出KD的长，利用勾股定理可求出KN的长，再利用勾股定理可求出CN的长，根据含30°角的直角三角形的性质即可得出PC的长．
【详解】
（1）如图，延长GP交DC于点M，
∵Р是线段DF的中点，四边形ABCD、BEFG是正方形，点,,
A B E在同一条直线上，
∴//
DC CF，DP=FP，CD=BC，FG=BG，
在△DPM和△FPG中，
MDP GFP DP FP
DPM FPG ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△DPM≌△FPG，
∴DM=FG，KP=GP，
∴CD-DM=BC-BC，即CM=CG，
∴△CMG是等腰直角三角形，
∴PG⊥PC，PG=PC．
故答案为：ΔDPM，ΔFPG；等腰直角
（2）猜想：线段PG与PC的位置关系是PG⊥PC；PG
PC
3．
如图，延长GP交DC于点H，。