高三数学二轮复习 第一篇 专题1 第2课时练习 理

专题1 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题
1．函数f (x )＝2x 3
的图象( ) A ．关于y 轴对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于直线y ＝x 对称
D ．关于原点对称
解析： 显然函数f (x )＝2x 3
是一个奇函数，所以其图象关于原点对称． 答案： D 2．设函数f (x )＝⎩⎨⎧
x ，x ≥0，－x ，x <0，
若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )
A ．－3
B ．±3
C ．－1
D ．±1
解析： 若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.故选D. 答案： D
3．(2011·全国新课标卷)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝|x |＋1
C ．y ＝－x 2＋1
D ．y ＝2
－|x |
解析： ∵y ＝x 3
在定义域R 上是奇函数，∴A 不对．
y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对．
D 中y ＝2
－|x |
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x |
虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B 对． 答案： B
4．若函数f (x )＝2x
＋2－x
与g (x )＝2x －2－x
的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数
D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数
解析： ∵f (－x )＝2－x
＋2x
＝f (x )，∴f (x )为偶函数． 又∵g (－x )＝2－x
－2x ＝－(2x －2－x
)＝－g (x )， ∴g (x )为奇函数，故选D. 答案： D
5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该
函数在区间(－2,1]上的图象，则f (2 011)＋f (2 012)＝( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析： 由于f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所
以f (2 011)＋f (2 012)＝f (670×3＋1)＋f (671×3－1)＝f (1)＋f (－1)，而由图象可知f (1)＝1，f (－1)＝2，所以f (2 011)＋f (2 012)＝1＋2＝3.
答案： A
6．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则使不等式f (2x －1)≤f (x －2)成立的实数x 的取值范围是( )
A ．[－1,1]
B ．(－∞，1]
C ．[0,1]
D ．[－1，＋∞)
解析： 由f (x )在R 上为偶函数得f (2x －1)＝f (|2x －1|)，
f (x －2)＝f (|x －2|)，
所以原不等式等价于f (|2x －1|)≤f (|x －2|)． 又f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以|2x －1|≤|x －2|，解得－1≤x ≤1. 答案： A 二、填空题 7．函数y ＝log 2
－x 的定义域是________．
解析： 由⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－x >0log 2－x ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
4－x >0
4－x ≥1，得x ≤3.
答案： (－∞，3]
8．(2011·广东卷)设函数f (x )＝x 3
cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 解析： 令g (x )＝f (x )－1＝x 3
cos x ，
∵g (－x )＝(－x )3
cos(－x )＝－x 3
cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数． 又∵f (a )＝11，∴g (a )＝f (a )－1＝10，
g (－a )＝－g (a )＝－10.
又g (－a )＝f (－a )－1， ∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9. 答案： －9
9．设函数f (x )为定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)>0，f (2)＝(a ＋1)(2a －3)，则a 的取值范围是________．
解析： ∵f (x )是周期为3的奇函数， ∴f (2)＝f (2－3)＝f (－1)＝－f (1)<0. ∴(a ＋1)(2a －3)<0，解得－1<a <3
2.
答案： －1<a <3
2
三、解答题
10．已知函数f (x )＝|x －a |，g (x )＝x 2
＋2ax ＋1(a 为正数)，且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等．
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )＋g (x )的单调增区间． 解析： (1)由题意f (0)＝g (0)，∴|a |＝1. 又∵a >0，∴a ＝1.
(2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2
＋2x ＋1.
当x ≥1时，f (x )＋g (x )＝x 2
＋3x 在[1，＋∞)上单调递增，
当x <1时，f (x )＋g (x )＝x 2
＋x ＋2在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1上单调递增．
综上可知，函数f (x )＋g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－12，＋∞. 11．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5.函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，且在[1,4]上是二次函数，在x ＝2时函数取最小值－5.试求：
(1)f (1)＋f (4)的值；
(2)y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式．
解析： (1)因为y ＝f (x )是以5为周期的周期函数， 所以f (4)＝f (5－1)＝f (－1)， 又y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，
∴f (－1)＝－f (1)＝f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.
(2)当x ∈[1,4]时，由题意可知f (x )＝a (x －2)2
－5(a ≠0)， 由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2
－5＋a (4－2)2－5＝0， ∴a ＝2，
∴f (x )＝2(x －2)2
－5＝2x 2
－8x ＋3(1≤x ≤4)． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ，x >00，x ＝0
x 2＋mx ，x <0是奇函数．
(1)求实数m 的值；
(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解析： (1)∵函数f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．
当x >0时，－x <0，有(－x )2
－mx ＝－(－x 2
＋2x )， 即x 2
－mx ＝x 2
－2x . ∴m ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋2x ，x >0，0，x ＝0，
x 2＋2x ，x <0，
当x >0时，f (x )＝－x 2
＋2x ＝－(x －1)2
＋1，
∴x ∈[1，＋∞)时f (x )单调递减，x ∈(0,1]时，f (x )单调递增． 当x <0时，f (x )＝x 2
＋2x ＝(x ＋1)2
－1，
∴当x ∈(－∞，－1]时，f (x )单调递减，x ∈[－1,0)时，f (x )单调递增． 综上知：函数f (x )在[－1,1]上单调递增， 又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增． ∴－1<a －2≤1， ∴1<a ≤3，
故实数a 的取值范围是(1,3]．。