数学人教版九年级上册《一元二次方程----拓展与提高》教学设计

《一元二次方程----拓展与提高》教学设计
兴国县第七中学 欧阳爵衍
一、教学目标：学生利用熟悉的一元二次方程相关知识，进一步探究
一元二次方程根的分布和整数解问题。

二、教学重点：知道讨论一元二次方程根的分布和求一元二次整数解。

三、教学难点：在讨论一元二次方程根的分布时，学生较难分析出参
数满足的所有条件，容易出现弱化条件而错解。

四、教学策略：自主探究、多次尝试、合作交流
五、德育渗透：在讨论一元二次方程根的分布时，需要经过多次尝试，
在尝试过程中，激发学生学习数学的兴趣与热情，培养学生的克服困
难的毅力。

六、教学过程：
1、课前导入：一是先让学生快速用适当方法解出一些熟悉的一元二
次方程；二是让学生回顾根的判别式和韦达定理。

2、探究学习：
探究一：
问题 一：关于x 的一元二次方程的2310ax x --= 两个不相等实数根
都是负数，求a 的取取范围？
思考1：要使得此方程的两个不相等实根都是负数，你认为a 要满足
哪些条件？
学生活动：
(1)找条件：a ≠0 △>0 120x x +< 120x x ∙>
（2）列不等式组:
09403010a a a a
≠⎧⎪+>⎪⎪⎨<⎪⎪->⎪⎩ 解得：904a -<< 思考2：我们知道，一元二次方程 的两个实数根，
也即是抛物线 与x 轴交点的横坐标，你还其它解法
吗 ？
学生动手尝试：画出满足题意的抛物线
得出结论：
（1）由于此抛物线过定点（0，-1），开口必需向下，即a<0;
（2）其对称轴一定要在y 轴左侧，即302a --<; （3）其与x 轴一定要有两个不同的交点，即940a +>
列出不等式组：
030940
a a a <⎧⎪⎪<⎨⎪+>⎪⎩ 解得：904a -<< 学生归纳小结：当我们需要讨论一元二次方程的根的分布时，可以根
据一元二次方程与二次函数的关系，借助抛物线与x 轴的交点情况进
行分析。

链接中考：
2
ax 3x 10=﹣﹣2ax 3x 1y=﹣﹣
22015x ax 3x 101010a ∙=（南通）关于的一元二次方程﹣﹣的
两个不相等的实数根都在﹣和之间（不包括﹣和），
求的取值范围。

学生思考：通过画图，学生找条件，
（1）由于此抛物线过定点（0，-1），开口向下，即a<0;
（2）其对称轴一定要在-1和0之间，即3102a
--<-<; （3）其与x 轴一定要有两个不同的交点，即940a +>
（4）当x=-1时，y<0,即a+4<0
题后反思：利用抛物线分析一元二次方程的根分布时，通常需考虑以
下几个条件：开口方向、对称轴、与x 轴的交点个数、边界点……
探究二：
222012x mx m x m m ++=问题：已知关于的方程﹣(）．
（）证明：不论为何值时，方程总有实数根；
（）为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．第（1）个问题，显然要分两种情况考虑，即m=0和m ≠0
学生讨论：要使方程有两个不相等的正整数根，参数m 要满足哪些条
件呢？m ≠0 ，如何求出整数m 的值？
学生思考：把m 看成已知数，先解出此方程 用求根公式法解得：1221x x m
= = 要使方程有两个不相等的正整数根，显然整数m 的值等于1.
（追问）你还有更简便的方法解此方程吗？
学生尝试利用十字相乘进行因式分解：（m-1）(mx-2)=0,接下一样进
行讨论了；
（提问）你还有其他方法解此问题吗？
（学生展开讨论）此问题要求参数m 的值，不如把m 看成主元（反客
为主），用含x 的式子表示m ：
222220
()22
222mx mx x m x x x x m x x x --+=-=--==-
由于x 是正整数，整数m 的值等于1或2，又因为此程有两个不相等
的实根，所以m 只能取1。

学生归纳：在讨论一元二次方程的整数根时，若 24b ac ∆=-为完全平方或完全平方式时，通常可利用十字相乘法进行
因式分解，先求出方程的两根，再解不定方程求参数的值。

也可反客
为主，把所要求的参数为主元。

七、课堂小结：（通过本堂课的学习，同学们有什么收获？）
1、借用抛物线讨论一元二次方程的根分布时，需考虑哪些因素？
2、在讨论一元二次方程的整数根时，先求出方程的两根，再解不定
方程求出参数的值。

八、课后拓展：
2(1)210x a x x a ∙-+--=(2000全国奥赛）已知关于的一元二次方程的两根都是整数，求整数a 的值。