人教版九年级上册数学 圆 几何综合单元测试卷附答案

人教版九年级上册数学圆几何综合单元测试卷附答案
一、初三数学圆易错题压轴题（难）
1．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC 与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•
（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；
（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：
①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；
②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．
【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．
【解析】
试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；
②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．
试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．
理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，
∵t=5，∴AP=2×5=10．
∵点Q是AP的中点，
∴AQ=PQ=5．
∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，
∴EF==5，
∴PQ=EF=5．
∵AC∥EF，
∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．
又∵∠QHA=∠FDE=90°，
∴△AHQ∽△EDF，
∴．
∵AQ=EF=5，
∴AH=ED=4．
∵AE=12-4=8，
∴HE=8-4=4，
∴AH=EH，
∴AQ=EQ，
∴PQ=EQ，
∴平行四边形EFPQ是菱形；
（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，
此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．
∵EF∥AC，
∴△DEM∽△DAQ，
∴，
∴，
解得t=；
②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，
过点Q作QH⊥AB于H，如图③，
则有∠HQD=∠HDQ=45°，
∴QH=DH．
∵△AHQ∽△EDF（已证），
∴，
∴，
∴QH=，AH=，
∴DH=QH=．
∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，
∴++t=12，
∴t=5；
Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，
过点Q作QH⊥AB于H，如图④，
同理可得DH=QH=，AH=．
∵AB=AD+DB=AH-DH+DB=12，DB=t，
∴-+t=12，
∴t=10．
综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．
考点：1．圆的综合题；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理；4．菱形的判定；5．相似三角形的判定与性质．
2．已知：在△ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，O为AB边上的一点，以O为圆心，OA长为半径作圆交AC于D点，过D作⊙O的切线交BC于E.
（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？
（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.
【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3
【解析】
试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由
AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；
（2）证法同（1）；
（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.
（1）连接OD
∵DE为⊙O的切线
∴∠ODE=90°
∴∠CDE+∠ADO=90°
∵AB=6，BC=8，AC=10
∴∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∵AO=DO
∴∠A=∠ADO
∴∠CDE=∠C
∴ED=EC ；
（2）连接OD
∵DE 为⊙O 的切线
∴∠ODE=90°
∴∠CDE+∠ADO=90°
∵AB=6，BC=8，AC=10
∴∠ABC=90°
∴∠A+∠C=90°
∵AO=DO
∴∠A=∠ADO
∴∠CDE=∠C ∴ED=EC ；
（3）CE=3.
考点：圆的综合题
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．
3．已知：
图1 图2 图3
（1）初步思考：
如图1， 在PCB ∆中，已知2PB =，BC=4，N 为BC 上一点且1BN =，试说明：
12
PN PC = （2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求
12
PD PC +的最小值． （3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B ﹦60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12
PD PC -的最大值．
【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值DG =【解析】
【分析】
（1）利用两边成比例，夹角相等，证明BPN ∆∽BCP ∆，得到
PN BN PC BP =，即可得到结论成立；
（2）在BC 上取一点G ，使得BG=1，由△PBG ∽△CBP ，得到12PG PC =
，当D 、P 、G 共线时，12
PD PC +的值最小，即可得到答案； （3）在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，与（2）同理得到12PG PC =
，当点P 在DG 的延长线上时，12
PD PC -
的值最大，即可得到答案. 【详解】
（1）证明：∵2,1,4PB BN BC ===，
∴24,4PB BN BC =⋅=，
∴2PB BN BC =⋅， ∴
BN BP BP BC
=， ∵B B ∠=∠， ∴BPN BCP ∆∆∽， ∴12
PN BN PC BP ==， ∴12PN PC =
； （2）解：如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，
∵242,212PB BC BG PB ====， ∴,PB BC PBG PBC BG PB
=∠=∠， ∴PBG CBP ∆∆∽， ∴12
PG BG PC PB ==， ∴12PG PC =
， ∴12
PD PC DP PG +=+； ∵DP PG DG +≥， ∴当D 、P 、G 共线时，12PD PC +
的值最小， ∴最小值为：22435DG =+=；
（3）如图，在BC 上取一点G ，使得BG=1，作DF ⊥BC 于F ，
与（2）同理，可证12
PG PC =， 在Rt △CDF 中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CD •sin60°=23CF=2，
在Rt △GDF 中，22(23)537+=，
∴12
PD PC PD PG DG -=-≤， 当点P 在DG 的延长线上时，12PD PC -
的值最大， ∴最大值为：37DG =
【点睛】
本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
4．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．
（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．
i．若点P正好在边BC上，求x的值；
ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．
（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，
当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜
时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．
【解析】
试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；
ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2
②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．
（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．
试题解析：（1）i．如图1，
由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，
又MN∥BC，
∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，
∴∠B=∠BPM，
∴AM=PM=BM，
∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴，
∴，
∴AN=，
△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，
∴，
②当2＜x＜4时，如图2，
设PM，PN分别交BC于E，F，
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，
由题意知△PEF∽△ABC，
∴，
∴S△PEF=（x-2）2，
∴y=S△PMN-S△PEF=，
∵当0＜x≤2时，y=x2，
∴易知y最大=，
又∵当2＜x＜4时，y=，
∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，
综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．
（2））如图3，
设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．
在Rt△ABC中，BC==5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴，即，
∴MN=x
∴OD=x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴，
∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4
∴x=，
∴当x=时，⊙O与直线BC相切；
当x＜时，⊙O与直线BC相离；
x＞时，⊙O与直线BC相交．
考点：圆的综合题．
5．如图，△ABC内接于⊙O，点D在AB边上，CD与OB交于点E，∠ACD＝∠OBC；
（1）如图1，求证：CD⊥AB；
（2）如图2，当∠BAC＝∠OBC+∠BCD时，求证：BO平分∠ABC；
（3）如图3，在（2）的条件下，作OF⊥BC于点F，交CD于点G，作OH⊥CD于点H，连接FH并延长，交OB于点P，交AB边于点M．若OF＝3，MH＝5，求AC边的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AC＝48 5
【解析】
【分析】
（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出∠FCB=90°，再根据“同弧所对的圆周角相等”得出∠A=∠F，再根据已知条件得∠3=90°，得CD⊥AB；
（2）延长BO交AC于K，由已知可得∠A=∠5，由∠A+∠2=90°得∠5+∠2=90°，根据三角形的内角和定理及外角定理得出∠9=∠1得出BO平分∠ABC；
（3）延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN，由条件可得CH=NH，BF=CF，从而HF是△CBN的中位线，HF∥BN，得出∠OEH=∠EHM又由
∠OEH+∠EOH=∠EHM+∠OHP=90°可得HM=OB=5，在Rt△OBF中，根据勾股定理可得
BF=4，解出BC=8，sin∠OBC=3
5
，所以可得AC=2CK，CK=BC•s in∠OBC=
24
5
得
AC=48 5
.
【详解】
解：（1）如图1，令∠OBC＝∠1，∠ACD＝∠2
延长BO交⊙O于F，连接CF．
∵BF是⊙O的直径，∴∠FCB＝90°
∴∠1+∠F＝90°，
∵弧BC＝弧BC，
∴∠A＝∠F
又∵∠1＝∠2，
∴∠2+∠A＝90°，
∴∠3＝90°，
∴CD⊥AB
（2）如图2，令∠OBC＝∠1，∠BCD＝∠4
延长BO交AC于K
∵∠A＝∠1+∠4，∠5＝∠1+∠4，
∴∠A＝∠5，
∵∠A+∠2＝90°，
∴∠5+∠2＝90°，
∴∠6＝90°
∵∠7＝180°﹣∠3＝90°，
∴∠6＝∠7，
又∵∠5＝∠8，∴∠9＝∠2
∵∠2＝∠1，∴∠9＝∠1，
∴BO平分∠ABC
（3）如图3，延长BO交AC于点K，延长CD交⊙O于点N，联结BN
∵OH⊥CN，OF⊥BC
∴CH＝NH，BF＝CF
∴HF是△CBN的中位线，HF∥BN
∴∠FHC＝∠BNC＝∠BAC
∵∠BAC＝∠OEH，∠FHC＝∠EHM
∴∠OEH＝∠EHM
设EM、OE交于点P
∵∠OEH+∠EOH＝∠EHM+∠OHP＝90°
∴∠EOH＝∠OHP
∴OP＝PH
∵∠ADC＝∠OHC＝90°
∴AD∥OH
∴∠PBM ＝∠EOH ，∠BMP ＝∠OHP ∴PM ＝PB
∴PM +PH ＝PB +OP
∴HM ＝OB ＝5
在Rt △OBF 中，根据勾股定理可得BF ＝4
∴BC ＝8，sin ∠OBC ＝35
∵∠A +∠ABO ＝∠DEB +∠ABO ＝90°
∴∠AKB +∠CKB ＝90°
∴OK ⊥AC
AC ＝2CK ，CK ＝BC •sin ∠OBC ＝245
∴AC ＝
485
【点睛】 此题主要考查了圆的综合应用以及三角形的内角和定理及外角定理和勾股定理、三角函数等知识，理解同弧所对的圆周角相等是解题关键．
6．四边形ABCD 的对角线交于点E ，有AE =EC ，BE =ED ，以AB 为直径的
O 过点E ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形．
（2）若CD 的延长线与圆相切于点F ，已知直径AB =4．求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）513
π-
【解析】
试题分析：（1）先由AE=EC 、BE=ED 可判定四边形为平行四边形，再根据∠AEB=90°可判定该平行四边形为菱形；
（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q ，分别求出扇形BOE 、△AOE、半圆O 的面积，即可得出答案.
试题解析：（1）AE =EC ，BE =ED
∴ABCD 四边形为平行四边形
∵90AB AEB ∠∴=︒是直径
∴ABCD 平行四边形是菱形
（2）连接OF ，过点D 作DP ,AB P E EQ AB ⊥⊥于过点作于Q
CF 切O 于点F
∴90OFC ∠=︒
∵ABCD 四边形是菱形，
∴,90CD AB BOF OFD DPO ∠∠∠∴===︒
∴FOPD DP OF ∴=四边形是矩形
ABCD 四边形是菱形，AB AD ∴=
∵11,3022
OF AB DP AD DAB ∠=∴=∴=︒ ∴ABCD 四边形是菱形
∴1152
CAB DAB ∠=
∠=︒ ∴180215150AOE ∠=︒-⨯︒=︒
∴3090EOB EQO ∠∠=︒=︒ ∴112
EQ OE == 21502360
S 阴影π⨯∴=-1521123π⨯⨯=- 点睛：本题主要考查菱形的判定即矩形的判定与性质、切线的性质，熟练掌握其判定与性质并结合题意加以灵活运用是解题的关键．
7．四边形ABCD 内接于⊙O ，AC 为对角线，∠ACB ＝∠ACD
（1）如图1，求证：AB ＝AD ；
（2）如图2，点E 在AB 弧上，DE 交AC 于点F ，连接BE ，BE ＝DF ，求证：DF ＝DC ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G在BC弧上，连接DG，交CE于点H，连接GE，GF，若DE＝BC，EG＝GH＝5，S△DFG＝9，求BC边的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）70
【解析】
【分析】
（1）如图1，连接OA，OB，OD，由∠ACB＝∠ACD，可得AD AB，可得AB＝AD；（2）连接AE，由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得∠BAE＝∠DAC，可证BE＝CD＝DF；（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，通过证明
△FDN≌△DCM，可得FN＝DM，CM＝DN，由面积公式可求FN＝2，DM＝2，DH＝4，通
过证明△EGC∽△DMC，△GEH∽△CHD，可得EC＝5
2
CD，CD2＝
40
3
，由勾股定理可求
解．
【详解】
证明：（1）如图1，连接OA，OB，OD，
∵∠ACB＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD，∠AOB＝2∠ACB ∴∠AOD＝∠AOB
∴AD AB
∴AD＝AB；
（2）如图2，连接AE，
∵AE AE
∴∠ABE＝∠ADE
在△ABE和△ADF中
AB AD
ABE ADF
BE DF
∴△ABE≌△ADF（SAS）
∴∠BAE＝∠DAC
∴BE CD
∴BE＝DC
∵BE＝DF
∴DF＝DC；
（3）如图3，过点F作FN⊥GD于N，过点C作CM⊥GD于M，连接GC，
∵DE＝BC，BE＝CD，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵四边形BEDC是圆内接四边形，
∴∠EBC+∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠EBC＝90°，
∴EC是直径，
∴∠FGC＝∠EDC＝90°
∴∠FDN+∠MDC＝90°，且∠MDC+∠MCD＝90°，
∴∠FDN＝∠MCD，且∠FND＝∠CMD＝90°，DF＝DC，
∴△FDN≌△DCM（AAS）
∴FN＝DM，CM＝DN，
∵EG＝GH＝5，
∴∠GEH＝∠GHE，且∠GHE＝∠DHC，∠GEH＝∠GDC，
∴∠HDC＝∠CHD，
∴CH＝CD，且CM⊥DH，
∴DM＝MH＝FN，
∵S△DFG＝9，
∴
12DG×FN ＝9， ∴12
×（5+2FN ）×FN ＝9， ∴FN ＝2，
∴DM ＝2，DH ＝4，
∵∠GEC ＝∠GDC ，∠EGC ＝∠DMC ，
∴△EGC ∽△DMC ， ∴52
EC
EG CD DM ， ∴EC ＝
52
CD ，且HC ＝CD ， ∴EH ＝32CD ， ∵∠EGD ＝∠ECD ，∠GEC ＝∠GDC ， ∴△GEH ∽△CHD ， ∴EG
EH CH DH
， ∴352
4CD CD
， ∴2403
CD ， ∵EC 2﹣CD 2＝DE 2，
∴
222254CD CD DE ， ∴22140
43DE ，
∴DE
∴BC
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线是本题的难点．
8．已知AB 是O 的一条弦，点C 在O 上，联结CO 并延长，交弦AB 于点D ，且CD CB ．
（1）如图1，如果BO 平分ABC ∠，求证：AB BC =；
（2）如图2，如果AO OB ⊥，求:AD DB 的值；
（3）延长线段AO 交弦BC 于点E ，如果EOB ∆是等腰三角形，且O 的半径长等于2，求弦BC 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
3（3）51+和22 【解析】
【分析】
（1）由题意利用弦心距即可求证结果，
（2）此题关键先求出AO ，做辅助线构造特殊三角形，并求证出∠AOD ，再根据平行线分线段成比例求出比值即可，
（3）分情况讨论两种情况：OE=BE 时或OB=BE 时两种情况，利用三角形相似即△COE ~△CBO 找到相似比，利用相似比求解即可．
【详解】
（1）过点O 作OP ⊥AB ，垂足为点P ；OQ ⊥BC ，垂足为点Q ，
∵BO 平分∠ABC ，
∴OP=OQ ，
∵OP ，OQ 分别是弦AB 、BC 的弦心距，
∴AB= BC ；
（2）∵OA=OB ，
∴∠A=∠OBD ，
∵CD=CB ，
∴∠CDB =∠CBD ，
∴∠A+∠AOD =∠CBO +∠OBD ，
∴∠AOD =∠CBO ，
∵OC=OB ，
∴∠C =∠CBO ，
∴∠DOB =∠C +∠CBO = 2∠CBO = 2∠AOD ， ∵AO ⊥OB ，
∴∠ AOB =∠AOD +∠BOD =3∠AOD = 90°， ∴∠AOD=30°，
过点D 作DH ⊥AO ，垂足为点H ， ∴∠AHD=∠DHO=90°，
∴tan ∠AOD =HD OH ∵∠AHD=∠AOB=90°，
∴HD ‖OB ， ∴
D A
OB H AH O = ， ∵OA=OB ，
∴HD=AH ，
∵HD ‖OB ，
∴3
AH HD OH O AH DB H ===； （3）∵∠C=∠CBO ，
∴∠OEB =∠C+∠COE >∠CBO ，
∴OE≠OB ；
若OB = EB =2时，
∵∠C=∠C ，∠COE =∠AOD =∠CBO ， ∴△COE ~△CBO ， ∴
CO CE BC CO
=， ∴222BC BC =-， ∴2BC -2BC -4=0，
∴BC =舍去)或，
∴；
若OE = EB 时，
∵∠EOB =∠CBO ，
∵∠OEB =∠C+∠COE =2∠C =2∠CBO 且∠OEB +∠CBO +∠EOB = 180°，
∴4∠CBO=180°，∠CBO=45°，
∴∠OEB=90°，
∴cos ∠CBO=
22
EB OB =， ∵OB=2，
∴EB =2 ，
∵OE 过圆心，OE ⊥BC ，
∴BC =2EB =22．
【点睛】
此题考查圆的相关知识：圆心距及圆内三角形相似的相关知识，属于综合题型，难度较高．
9．AB 是O 直径，,C D 分别是上下半圆上一点，且弧BC =弧BD ，连接,AC BC ，连接CD 交AB 于E ，
（1）如图(1)求证：90AEC ∠=︒；
（2）如图(2)F 是弧AD 一点，点,M N 分别是弧AC 和弧FD 的中点，连接FD ，连接MN 分别交AC ，FD 于,P Q 两点，求证：MPC NQD ∠=∠
（3）如图(3)在(2)问条件下，MN 交AB 于G ，交BF 于L ，过点G 作GH MN ⊥交AF 于H ，连接BH ，若,6,BG HF AG ABH ==∆的面积等于8，求线段MN 的长度
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）24105
MN =
． 【解析】
【分析】
（1）由垂径定理即可证明； （2）利用等弧所对的圆周角相等和三角形外角性质即可得到结论；
（3）由∠MPC=∠NQD 可得：∠BGL=∠BLG ，BL=BG ，作BR ⊥MN ，GT ⊥AF ，HK ⊥AB ，证明：GH 平分∠AGT ，利用相似三角形性质和角平分线性质求得△AGT 三边关系，再求出HK 与GH ，OS ⊥MN ，再利用相似三角形性质求出OS ，利用勾股定理求MN 即可．
解：()1证明：∵BC BD =，AB 为直径，
∴AB ⊥CD
∴∠AEC=90°；
()2连接,OM ON ，
∵点M 是弧AC 的中点，点N 是弧DF 的中点，
∴AM CM =，FN DN =，
∴,OM AC ON FD ⊥⊥，
∵OM=ON ，
∴M N ∠=∠，
∵90M MPC N NQB ∠+∠=∠+∠=︒，
MPC NQD ∴∠=∠；
()3如图3，过G 作GT ⊥AF 于T ，过H 作HK ⊥AB 于K ，过B 作BR ⊥MN 于R ，过O 作OS ⊥MN 于S ，连接OM ，设BG=m ，
∵△ABH 的面积等于8，AG=6
∴HK=166
m +， ∵BC BD =，
∴∠BAC=∠BFD ，由（2）得∠MPC=∠NQD
∴∠AGM=∠FLN
∴∠BGL=∠BLG
∴BL=BG ，
∴∠ABR=∠FBR
∵GH ⊥MN
∴GH ∥BR
∴∠AGH=∠ABR
∵AB 是直径，GT ⊥AF
∴∠AFB=∠ATG=90°
∴GT ∥BF ，
又∵GH ∥BR
∴∠TGH=∠FBR
∴∠AGH=∠TGH ，
又∵HK ⊥AG ，HT ⊥GT ，
∴HT=HK=166
m +， ∵FH=BG=m ， ∴FT=16(8)(2)66m m m m m +--
=++， ∵GT ∥BF ， ∴AT AG FT BG
=， ∴6(8)(2)(6)m m AT m m +-=
+，616m AH m -=，48(6)(38)m KG TG m m ==+-， ∵222AT TG AG +=，
代入解得：m=4；
∴AB=10，OM=5，GK=
245，HK=85，OG=1
∴， ∵OS ⊥MN
∴∠OSG=∠GKH=90°，GH ∥OS
∴∠HGK=∠GOS
∴△HGK ∽△GOS ， ∴OS GK OG GH
=，
∴OS =
∴MG =
∴
2410
5
MN=；
【点睛】
本题考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形判定和性质，勾股定理等，综合性较强，尤其是第（3）问难度很大，计算量大，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行解题．
10．已知点A为⊙O外一点，连接AO，交⊙O于点P，AO=6．点B为⊙O上一点，连接BP，过点A作CA⊥AO，交BP延长线于点C，AC=AB．
（1）判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若3 PB的长．
（3）若在⊙O上存在点E，使△EAC是以AC为底的等腰三角形，则⊙O的半径r的取值范围是___________．
【答案】（1）AB与⊙O相切，理由见解析；（2）
3
3
PB=；（3）
65
6
5
r
≤<
【解析】
【分析】
（1）连接OB，有∠OPB=∠OBP，又AC=AB，则∠C=∠ABP，利用∠CAP=90°，即可得到结论成立；
（2）由AB=AC，利用勾股定理先求出半径，作OH⊥BP与H，利用相似三角形的判定和性质，即可求出PB的长度；
（3）根据题意得出OE=1
2
AC=
1
2
22
1
6r
2
-22
1
6
2
r r
-≤，即可求出取
值范围．
【详解】
解：（1）连接OB，如图：
∵OP=OB ，
∴∠OPB=∠OBP=∠APC ，
∵AC=AB ，
∴∠C=∠ABP ，
∵AC ⊥AO ，
∴∠CAP=90°，
∴∠C+∠APC=90°，
∴∠ABP+∠OBP=90°，
即OB ⊥AB ，
∴AB 为切线；
（2）∵AB=AC
∴22AB AC =，
∴2222CP AP OA OB -=-，
设半径为r ，则
2222(43)(6)6r r --=-
解得：r=2；
作OH ⊥BP 与H ，
则△ACP ∽△HOP ，
∴PH OP AP CP
=，即443PH = ∴33
PH =,
∴4323
PB PH ==； （3）如图，作出线段AC 的垂直平分线MN ，作OE ⊥MN ，
∴四边形AOEM 是矩形，
∴OE=AM=12AC=1222162
r - 又∵圆O 与直线MN 有交点，
∴22162
r r -， 2262r r -≤，
∴22364r r -≤， ∴65r ≥ 又∵圆O 与直线AC 相离，
∴r ＜6，
656r ≤<． 【点睛】
此题主要考查了圆的综合以及切线的判定与性质和勾股定理以及等腰三角形的性质等知识，得出EO 与AB 的关系进而求出r 取值范围是解题关键．。