专题25 强化提高(一)

期末复习
专题25 强化提高（一）
知识要点
1．与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合应用，也就是线平行与角数量关系之间的相互转化（如图25—1所示）
2．用割补法求平面直角坐标系中的面积时，注意充分利用和坐标轴垂直的线段，计算面积时以它们为底，高也会垂直于坐标轴（如图25—2所示）
典例精析
例1 如图25—3所示，点E在线段AB上，点F在线段CD上，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．
【分析】由∠1＝∠2可得BF∥CE（同位角相等，两直线平行），则∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等），又由于∠B＝∠C，由等量代换可得∠3＝∠B，即可得AB∥CD（内错角相等，两直线平行）分析思路如图25－4所示．
【证明】∠1＝∠2（已知），
∴BF∥CE（同位角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∠B＝∠C（已知）
∠3＝∠B（等量代换）
AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
【点评】此题合考查了平行线的判定和性质，注意条件之间的相互呼应和书写格式．拓展与变式1如图25－5所示，点E在线段AB上，点F在线段CD上，已知∠1＝∠2，∠B＝∠C，求证：AB∥CD．
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠1＝∠4（对顶角相等）
∴∠2＝∠4（等量代换）
∴BF∥CE（同位角相等，两直线平行）
∴∠3＝∠C（两直线平行，同位角相等）
∵∠B＝∠C（已知）
∴∠3＝∠B（等量代换）
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）
拓展与变式2 如图25－6所示，已知∠1＋∠2＝180°，∠DEF＝∠A，试判断∠ACB与∠DEB的大小关系，并对结论进行证明
解：∠ACB＝∠DEB．理由如下：
∵∠1＋∠2＝180°（已知）
∠1＋∠DFE＝180°（邻补角的定义），
∴∠2＝∠DFE（等量代换）
∴AB∥FE（内错角相等，两直线平行）．
∴∠DEF＝∠BDE（两直线平行，内错角相等）
∵∠DEF＝∠A（已知）
∴∠BDE＝∠A（等量代换）
∴DE∥AC（同位角相等，两直线平行）
∴∠ACB＝∠DEB（两直线平行，同位角相等）
【反思】注意体会题目条件之间的相互关联，挖据隐含条件，结合图形採寻动与静的规律和练习．
例2如图25－7所示，若AB∥CD，试探究∠B，∠D和∠BED之间的数量关系，并说明理由．
【分析】由已知AB∥CD，在图中无法直接使用平行条件，即没有现成的“三线八角”结构，因此需要添加辅助线（平行线），构造“三线八角”基本图形．
【解】∠B，∠D和∠BED之间的数量关系为∠B＝∠D＋∠BED．
理由：如图25－8所示，过点E作EF∥AB，
∴∠B＋∠BEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∠BEF＝180°－∠B（等式的性质）
AB∥CD，
∷CD∥EF（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠D＋∠DEF＝180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠DEF＝180°－∠D．
∵∠DEF＝∠BEF＋∠BED，
∴180°－∠D＝180°－∠B＋∠BED（等量代换）．
整理可得∠B＝∠D＋∠BED．
【点评】此题要作辅助线后才能将线之间的位置关系转化为角之间的数量关系，即将“非三线八角”的问题通过作平行线转化为“三线八角”的问题．
拓展与変式3如图25－9所示，若AB∥CD，试探究∠B，∠D和∠BED之间的数量关系，并说明理由．
解：数量关系为∠B＋∠D＝180°＋∠BED
如图D25－1所示，过点E作EF∥AB
∴∠B＋∠2＝180°
∴∠2＝180°－∠B
∵AB∥CD
∴CD∥EF
∴∠D＝∠DEF
∵∠DEF＝∠BED＋∠2
∴∠D＝∠BED＋180°一∠B
整理可得，∠B＋∠D＝180°＋∠BED
拓展与变式4如图25－10所示，已知AB∥ED，∠ABC＝135°，∠BCD＝80°，求∠CDE的度数.
解：如图D25－2所示，过点C作CF∥AB
∴∠ABC＋∠1＝180°
∴∠1＝180°－∠ABC＝45°
∵AB∥ED
∴CF∥ED
∴∠2＝∠CDE
∵∠2＝∠BCD－∠1＝35°
∴∠CDE＝35°．
拓展与变式5如图25－11所示，AB∥CD，∠ABE 的角平分线BG 的反向延长线和∠CDE 的角平分线DH 的反向延长线交于点F ，若∠BED＝80°，求∠F 的度数．
解：如图D25－3所示，过点E 作MN∥AB，过点F 作PQ∥AB，
∴∠ABE＋∠1＝180°， ∵AB∥CD
∴MN∥CD∥AB∥PQ．
∴∠CDE＝∠MED＝∠1＋∠BED， ∠3＝∠7，∠6＝∠8．
∵BG 平分∠ABE，DH 平分∠CDE ∴∠ABE＝2∠3，∠CDE＝2∠6
∴∠CDE＝2∠6＝∠1＋∠BED＝180°－∠ABE＋80＝180°－2∠3＋80° ∴2∠6＝180°－2∠3＋80° ∴∠6＋∠3＝130 ∴∠7＋∠8＝130
∴∠BFD＝180°－（∠7＋∠8）＝50°．
例3如图25－12所示，已知A （－6，6），B （0，1），C （－2，0），D （0，－3），点C 在线段AD 上，求三角形ABC 的面积．
【分析】过点A 作AH ⊥y 轴于H ，可用直角梯形ACOH 的面积减去三角形ABH 和三角形BOC 的面积，也可以用三角形ABD 的面积减去三角形CBD 的面积，还可以用四边形ACOB 的面积减去三角形BOC 的面积．
【解】解法一：过点A 作AH ⊥y 轴于H ， ABC S ∆＝ACOH S －ABH S ∆－BOC S ∆＝
12×（2＋6）×6－12×5×6－1
2
×1×2＝8 解法二：过点A 作AH ⊥y 轴于H ，
ABC S ∆＝ABD S ∆－CBD S ∆＝
12×4×6－1
2
×4×2＝8 解法三：连接AO ，
ABC S ∆＝ACD S ∆＋0AB S ∆－BOC S ∆＝
12×2×6＋12×1×6－1
2
×1×2＝8
【点评】平面直角坐标系中的面积问题采用割补法，充分利用和坐标轴垂直的线段，一般以它们为底，高也是垂直于坐标轴的线段，使得计算更简捷．
拓展与变式6 已知A （－5，4），B （－2，－2），C （0，1），求三角形ABC 的面积．
解：如图D25－4所示，过点A 作AE ⊥y 轴于E ，过点B 作AF ⊥y 轴于F ，
ABC S ∆＝ABFE S －BCF S ∆－ACE S ∆
＝12×（2＋5）×6－12×2×3－1
2×3×5 ＝212
拓展与变式7 已知A （1，0），B （0，2），点P 在x 轴，且三角形PBC 的面积为5，则点P 的坐标为 ．
答案：（6，0）或（－4，0）
拓展与变式8 已知点A （1，0），B （2，2），点C 在x 轴，且三角形ABC 的面积为
2， 请写出所有满足条件的点C 的坐标． 解：分3种情况讨论
①当点C 在x 轴上时，如图D25－5所示，设C （x ，0）， 则AC ＝1x -， ABC S ∆＝
1
2
AC ·2＝2 则AC ＝2＝1x -
解得x ＝3或－1．
∴点C 的坐标为（－1，0）或（3，0）
②当点C 在y 轴正半轴时，如图D25－6所示，设C （0，y ）（y ＞0）， ABC S ∆＝AOCB S －AOC S ∆＝BOC S ∆＋AOB S ∆－AOC S ∆
＝
12×y ×6－12×1×2－1
2
×1×y ＝2
解得y ＝2，则C （0，2）
③当点C 在y 轴负半轴时，如图D25－7所示，设C （O ，y ）(y<0)， 过点B 作BD⊥y 轴于D
ABC S ∆＝BCD S ∆－AOBD S －AOC S ∆
＝
12×2×（2－y ）－12×（1＋2）×2－1
2
×（－ y ） ＝2
解得y ＝－6，则C （0，－6）．
综上所述，点C的坐标为（－1，0），（3，0），（0，2）或（0，－6）
【反思】注重数形结合，平时多动手画图，有助于解决和坐标系有关的问题．
专题突破
1．已知点A（－5，0），B（3，0），点C在平面直角坐标系内且△ABC的面积为16，这样的点C有（）个．
A．1 B．2 C．4 D．无数
答案：D．
2．如图25－13所示，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝120°，则∠C＝（）．A．20° B．30° C．40° D．50°
答案：A．
3．已知点M在y轴上，纵坐标为5，点P（3，－2），则△OMP的面积是．答案：7．5
4．如图25－14所示，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝140°，则∠BFD 的度数为．
答案：110°．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A（1，2），B（5，2），当点C在第一象限，且坐标为时，△ABC为等腰直角三角形．
答案：（1，6），（5，6），（3，4）
6．如图25－15所示，已知∠B＋∠BCD＝180°，∠B＝∠D． （1）求证：∠E＝∠DFE；
（2）若∠A＝∠DCE＋40°，求∠B 的度数
（1）证明：∵∠B＋∠BCD＝180° ∴AB∥CD．∴∠B＝∠DCE ∵∠B＝∠D，∴∠D＝∠DCE． ∴AD∥BE．∴∠E＝∠DFE
（2）解：∵AB∥CD．∴∠B＝∠DCE
∵∠A＝∠DCE＋40°，∴∠A＝∠B＋40° ∵AD∥BE，∴∠B＋∠A＝180
∴∠B＋∠B＋40°＝180°．∴∠B＝70°
7．已知，如图25－16所示，AC⊥BC，HF⊥AB，CD⊥AB，∠EDC＋∠CHF＝180° 求证：（1）DE∥BC；（2）DE⊥AC．
证明：（1）∵HF⊥AB，CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠BFH＝90°．∴CD∥FH ∴∠DCB＋∠CHF＝180°
∵∠EDC＋∠CHF＝180，∴∠EDC＝∠DCB．∴DE∥BC． （2）∵DE∥BC ，∴∠ACB ＋∠DEC ＝180° ∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°
∴∠DEC＝180°－∠ACB＝90°．∴DE⊥AC．
8．如图25－17所示，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，4），且满足2(4)a +＝0，过点C 作CB⊥x 轴于B ． （1）求三角形ABC 的面积；
（2）若线段AC 与y 轴交于点Q （0，2），在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角
形QCP 的面积相等，若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若过B 作BD∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∠CAB，∠ODB，如图25－18所示，求
∠AED 的度数
解：（1）∵
2)a b +（≥0，2)a b +（＝0．
∴（
2)a b +（＝0．∴a ＝－4，b ＝4 ∴A(－4，0)，B(4，0)，C(4，4)
∴AB ＝8，BC ＝4． ∴ABC S ∆＝
12AB ・BC ＝1
2
×8×4＝16． （2）设点P 坐标为（0，y ），
∵Q （0，2），∴PQ＝y －2． 当PQC S ∆＝ABC S ∆＝16时，∴
1
2
2y -×4＝16， 解得y ＝10或y ＝－6．∴P（0，10）或P （0，－6） （3）如图D25－8所示，过点E 作EF∥AC，
∵BD∥AC，∴EF∥BD
∴∠CAE＝∠AEF，∠EDB＝∠DEF ∴∠CAE＋∠EDB＝∠AEF＋∠DEF． ∴∠AED＝∠CAE＋∠BDE
∵AE ，DE 分别平分∠CAB 和∠ODB，
∠CAE＝1
2
∠CAB，∠BDE＝
1
2
∠ODB
∵BD∥AC，∴∠ODB＝∠AQD
∴∠AED＝1
2
（∠CAB＋∠ODB）
＝1
2
（∠CAB＋∠AQD）＝45°。