3.3.2极大值与极小值

数的极值点吗?
• 探索: x =0是否为函数f(x)=x3的极值点?
2
y
f (x)x3
f(x)=3x 当f(x)=0时，x =0， 而x =0不是该函数的极值点.
f(x0) =0
O
x
x0 是可导函数f(x)的极值点
注意：f /(x0)=0是可导函数取得极值的必要不充分条
件
温馨提示
若 f ( x0 ) 是极值，则 f ' ( x0 ) =0。 反之， f ' ( x0 ) =0， f ( x0 ) 不一定是极值
注意：
（1）在定义中，取得极值的点称 为极值点，极值点是自变量(x)的 值，极值指的是函数值(y)。
注意：
（2）极值是某一点附近的小区间而言 的,是函数的局部性质,极值只是某个点
的函数值与它附近点的函数值比较是 最大或最小,并不意味着它在函数的 整个的定义域内最大或最小。
注意：
（3）函数的极值不一定唯一,在整个定义区间 内可能有多个极大值和极小值；
y=f(x)在一点的导数为 0 是函数 y=f(x)在这点取得极值 的必要条件。
函数 y=f(x)在点 x0 取极值的充分条件 是：
①函数在点 x0 处的导数值为 0 ②在点附近的左侧导数大于（小于）零，右侧小于（大于）零。
例.判断下面4个命题，其中是真命题序号为 ②
①可导函数必有极值； ②函数在极值点必有定义； ③函数的极小值一定小于极大值 （设极小值、极大值都存在）；
题型一、对函数极值的理解
。
如y 2 x
④函数的极小值（或极大值）不会多于一个。
注意：函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来 说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。
练习1： 下列结论中正确的是（ B ）。 A、导数为零的点一定是极值点。 B、如果在x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0, 那么 f(x0)是极大值。 C、如果在x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0, 那么f(x0)是极大值。 f x x3 y Ｄ、极大值一定大于极小值。
函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的 函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右 近旁各点处的函数值，相比有什么特点?两侧导 数值符号有什么规律？
y f (x1) f(x3) yf(x)
f(x2) O a x1 x2
f(x4)
b x
x3 x4
f ( x) 0 ，就说 f ( x0 ) 是函数 y f (x) 的一个极大值，记作
y极大值 f ( x0 ) ， x0 是极大值点
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(2).极小值： 一般地，设函数 y f (x) 在点 x0 附近有定 义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f ( x) f ( x0 ) ， f ( x0 ) 0 且 在 x0 附近的左侧 f ( x) 0 ，在 x0 附近的右侧 f ( x) 0 ，就说
y
y f x
x3
答： 1、x1,x3,x5,x6是函数y=f(x)的极值点，其中x1,x5是函 数y=f(x)的极大值点，x3,x6函数y=f(x)的极小值点。
a x1 o x2
x4 x5
x6
b
x
2、x2,x4是函数y=f(x)的极值点,其中x2是函数y=f(x)
的极大值点，x4是函数y=f(x)的极小值点。
x0附近任意异于 x0点的 x ，都有 f ( x) f ( x0，则称 f ( x0 ) )
为函数的一个极小值；如果有 f ( x) f ( x0 )，则称 f ( x0 ) 为函数 f ( x ) 的一个极大值。 极大值和极小值统称为函数的极值。
使函数取得极值的点称为函数的极值点。
观察图像：
知识回顾
1.基本初等函数的导数公式 （1）常函数：(C)/ 0, (c为常数)； （2）幂函数 ： (xn)/ nxn1
（3）三角函数 ：
(cos （ ） x) cos x （2） x) sin x 1 (sin
（4）指数函数的导数:
(2) (a x ) a x ln a(a 0, a 1). （5）对数函数的导数: 1 1 . (1) (ln x ) . (2) (log a x) x ln a x
复合函数的导数等于外函数对中间变量求导 再乘以中间变量对自变量求导
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4.单调性与导数的关系：
（1）、一般地,设函数y=f(x)在某个区间 内可导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数;
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如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.
如果f
′(x)=0，则f(x)为常数函数；
•如果左负右正（- ~ +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值；
巩固练习： f x 3x x3 的极值 求函数
' 2 解:∵ f x 3x x3 ∴ f x 3 3x f ' x 3 3x2 0 ，得 x 1 ，或 x 1. 令 下面分两种情况讨论： f ' x 0 ，即 1 x 1时； （1）当 f ' x 0 ，即 x 1 ，或 x 1 时。 （2）当 ' f 当 x 变化时， x , f x 的变化情况如下表：
（2）、用导数法确定函数的单调区间的步骤：
(1) 求函数的定义域
（2）求出函数的导函数
（3）求解不等式f `(x)>0，求得其解集，
再根据解集写出单调递增区间
求解不等式f`(x)<0，求得其解集，
再根据解集写出单调递减区间 注、单调区间不 以“并集”出现。
如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f (x)为常数.
新知探究
◆函数的极值
由于函数在不同的区间的单调性不同， 因而在图象上会出现“峰”与“谷”，使函数 3 -1
值在局部范围内出现“最大”、“最小”，称
之为函数的极大、极小值。 y 2 x3 6 x 2 18x 7 例如 （原始）极值的概念：如果函数 f ( x )在点
x0 的附近有定义，对于
1 3 例2：求函数f x x 4 x 4 的极值. 3
∴当x=-2时, f(x)的极大值为 f (2)
28 3
当x=2时, f(x)的极小值为 f 2
4 3
1 3 f x x 4x 4 函数 的图像如图所示。 3
2
2
求可导函数f(x)极值的 步骤：(最好通过列表法)
'
（2）当 f x 0 ，即-2 ＜ x＜2时。 f 当x变化时， ' x , f x 的变化情况如下表：
x
f ' x
, 2
f x 单调递增

2 0
2, 2

2 0
2,

极 28 单调递减 极 单调递增 大3 小 4 3 值 值
(1) 确定函数的定义域；
' (2)求导数 f x ；
(3)求ห้องสมุดไป่ตู้程 f ' x 0 的根； f ' x0 0 的根依次划分为 (4)把定义域按方程 若干个区间，并列成表格 f ' x 在方程 f ' x0 0 根左右的符号来 检查 判断f(x)在这个根处取极值的情况 •如果左正右负（+ ~ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值；
一、(现高中）函数的极值定义 y
y
使函数取得极值的 点x0称为极值点
x0
o
x0
x
o
x
(1).极大值： 一般地，设函数 y f (x) 在点 x0 附近有 定 义 ， 如 果 对 x0 附 近 的 所 有 的 点 ， 都 有 f ( x) f ( x0 ) ， f ( x0 ) 0 且在 x0 附近的左侧 f ( x) 0 ，在 x0 附近的右侧
1, 1 1,1 0 f x 单调递减 2 单调递增 2 单调递减 , 1 f ' x
x
1 0
∴当 x 1 时, f (x) 有极小值，并且极小值为 2. 当 x 1 时, f (x) 有极大值，并且极大值为 2.
例3 求函数 y=(x2-1)3+1 的极值。 解：定义域为R， y′=6x(x2-1)2。 由y′=0可得x1=-1, x2=0 ，x3=1
（1）求函数 f x 的解析式（2）求函数 f x 的单调区间
x
0
2、函数y=f(x)的导数y/与函数值和极值之间的关系为 ( D)
A、导数y/由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B、导数y/由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值 C、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值
D、导数y/由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值
题型二、求函数的极值
当x变化时，y′ , y的变化情况如下表： x y′ y (-∞,-1) － -1 0
无极值
(-1,0) －
0 0
极小值 0
(0,1) +
1 0
无极 值
(1,+∞) +
因此，当x=0时， y极小值=0
点评：一点是极值点的充分条件是这点两侧的导数异号。
题型三、由函数的极值求参数的范围
f x ax3 bx2 2x x 2, x 1 例4：已知函数 在 处取得 极值。
1 3 例2：求函数f x x 4 x 4 的极值. 3 1 3 解:∵ f x x 4 x 4 32 ' ∴ f x x 4 x 2 x 2 令 f ' x 0, 解得x=2,或x=-2.
下面分两种情况讨论: （1）当 f ' x 0 ，即x＞2,或x＜-2时;
(1) (e ) e .
x x
2.导数的四则运算法则
（1）函数的和或差的导数 (u〒v)/＝u/〒v/. （2）函数的积的导数
(uv)/＝u/v+v/u.
（3）函数的商的导数
u / u 'v v 'u （ ） = 2 v v
(v≠0)。
3.
复合函数的求导法则：
x y yu u x
o a
y
x0
b x x x0左侧 x0 x0右侧 f(x) f(x) <0 f(x) =0 f(x) >0 f(x) 减 极小值 增
o
a
b x0
x
请问如何判断f (x0)是极大值或是极小值？
二、判断函数极值的方法
y yf(x) f (x)<0 在极大值点附近 f (x)>0 f (x)>0 b x f (x)<0
O a x1 x2 在极小值点附近
已知函数f(x)在点x0处是连续的可导的，则
1、如果在x0附近的左侧f ’(x)>0，右侧f ’(x)<0， 则f (x0)是极大值；
2、如果在x0附近的左侧f ’(x)<0，右侧f ’(x)>0， 则f (x0)是极小值；
左正右负为极大，左负右正为极小
探究
可导函数导数为0的点一定是函
1.3.2 极大值与极小值
教学目标：
1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、 极小值的方法来求函 数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤
教学重点：
极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数 的极值的步骤.
教学难点：
函数在某点取得极值的必要条件和充分条件及及 求可导函数的极值的步骤
f ( x0 ) 是函数 y f (x) 的一个极小值，记作 y极小值 f ( x0 ) ， x0
是
极小值点
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(3).极大值与极小值统称为极值。 极大值点与极小值点统称为极值点 。
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（1）如图是函数 y f x 的图象,试找出函数 y f x 的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点？
注意：
（4）极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小.
注意：
（5）函数的极值点一定出现在区间
的内部，区间的端点不能成为极值 点而使函数取得最大值、最小值的 点可能在区间的内部，也可能在区 间的端点
极值与导数之间的关系：
y x x0左侧 x0 x0右侧
f(x) f(x) >0 f(x) =0 f(x) <0 f(x) 增 极大值 减