30数列的前n项和

1 1 1 1 n ①－②得： Tn＝1＋ ＋ 2＋„＋ n－1－ n， 2 2 2 2 2
1 1－ n 1 2 n ∴ Tn＝ － . 2 1 2n 1－ 2 1 n 即 Tn＝ 4(1－ n)－ n－ 1. 2 2 1 n 2[1－（ ） ] 2 1 n ∴ Sn＝ － 4(1－ n)＋ n－ 1 1 2 2 1－ 2 1 1 n n ＝ 4(1－ n)－4(1－ n)＋ n－ 1＝ n－ 1. 2 2 2 2
1 1 1 ∴ Sn＝ 2[(1－ )＋ (1－ 2)＋ „＋(1－ n)] 2 2 2
1 1 （ 1－ n） 2 2 ＝ 2[n－ ] 1 1－ 2 1 1 ＝ 2[n－(1－ n)]＝ 2n－ 2＋ n－1. 2 2
•
数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1 ＝2Sn(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求数列{nan}的前n项和Tn.
2 1 1 1 (2)bn＝ ＝ ＝ － ， （n＋1）an （n＋1）（n＋2） n＋1 n＋2 1 1 1 1 1 1 ∴Tn＝( － )＋( － )＋„ ＋( － ) 2 3 3 4 n＋1 n＋2 1 1 n 10 5 ＝ － ＝ ，从而 T10＝ ＝ . 2 n＋2 2（n＋2） 2（10＋2） 12
已知等差数列{an}中，a2＝8，S6＝66. (1)求数列{an}的通项公式 an； 2 (2)设 bn＝ ， Tn＝b1＋b2＋„＋bn， 求 Tn， T10. （n＋1）an
【解】
(1)设等差数列{an}的公差为 d，则
a2＝a1＋d＝8， a1＝6， 由题意得 解之得 6×5 S6＝6a1＋ d＝66 d＝2. 2 ∴an＝6＋(n－1)· 2＝2n＋4.
例2 求数列 1 ，2 ，3 ，„，(n＋
1 2
1 4
1 8
1 n)，„的前 2
n 项和．
【思路点拨】
1 数列{an}：an＝n＋ n可看作是由 2
1 等差数列{n}与等比数列{ n}对应项求和得到的， 2 1 因此，可拆分成两个数列：{n}，{ n}分别求和(用 2 公式)，再将两和相加即得．
1 1 1 1 【解】 Sn＝1 ＋2 ＋3 ＋„＋(n＋ n) 2 4 8 2 1 1 1 1 ＝(1＋2＋3＋„＋n)＋( ＋ ＋ ＋„＋ n) 2 4 8 2 nn＋1 1 ＝ ＋1－ n. 2 2
1、公式法求和
• 几个常用的结论
n(n 1) （ 1）S n 1 2 3 n 2
（2） k 1 2 3
2 2 2 2 k 1 n
n(n 1)(2n 1) n 6
2
（3） k 1 2 3
3 3 3 3 k 1
n
n(n 1) n 2
1 2 (2012· 江西高考)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－ n ＋ 2 kn(其中 k∈N*)，且 Sn 的最大值为 8. (1)确定常数 k，并求 an； 9－2an (2)求数列{ }的前 n 项和 Tn. 2n 1 2 【解】 (1)当 n＝k∈ N＋时，Sn＝－ n ＋ kn取最大值， 2 1 2 1 2 2 ∴ 8＝ Sk＝－ k ＋ k ＝ k ， 2 2 故 k2＝ 16，因此k＝4， 9 从而an＝Sn－ Sn－1＝ － n(n≥ 2)． 2
(2)∵an＝2n－3n－1， ∴Sn＝a1＋a2＋a3＋„＋an ＝(21－3×1－1)＋(22－3×2－1)＋„＋(2n－3×n－1) ＝(21＋22＋„＋2n)－3(1＋2＋3＋„＋n)－n 2（1－2n） n（n＋1） ＝ －3· －n 2 1－2 ＝2
n＋ 1
n（3n＋5） － －2. 2
解： a1 a 2 a 3
a1a20 a2 a19 a3a18
3(a1 a 20 ) 54
20(a1 a 20 ) 20 *18 180 (a1 a 20 ) 18 s 20 2 2
• 2．一个球从100 m高处自由落下，每次着地后又 跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时， 经过的路程是( ) 【答案】 A A．100＋200×(1－2－9) B．100＋100(1－2－9) C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)
数列的前n项和
1．公式法 直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和． (1)等差数列的前 n 项和公式： n（n－1） n（ a1＋ an） na1＋ d Sn＝ ＝ ________________ ； 2 2 (2)等比数列的前 n 项和公式：
• 2．倒序相加法 • 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等 “距离”的两项的和相等或等于同一个常 数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序 相加法，如等差数列的前n项和公式即是用 此法推导的． • 3．错位相减法 • 如果一个数列的各项是由等差数列和等比 数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法．等比数列的前n项和 公式即是用此法推导的
• 【思路点拨】 由an＋1＝Sn＋1－Sn得Sn与Sn ＋1的递推关系，求得Sn和an，由an的特征， 利用错位相减法求数列{nan}的前n项和Tn.
5、分组求和法
• 已知函数f(x)＝2x－3x－1，点(n，an)在 f(x)的图象上，an的前n项和为Sn. (1)求使an＜0的n的最大值； (2)求Sn. • 【思路点拨】 (1)由条件，求出an，利用 数列的性质求an＜0的n的最大值；(2)将{an} 转化为两个特殊数列求和．
• 【尝试解答】 (1)∵点(n，an)在函数f(x)＝2x－3x－1的图 象上， ∴an＝2n－3n－1， ∵an＜0，∴2n－3n－1＜0，即2n＜3n＋1， 又∵n∈N*， ∴n≤3，即n的最大值为3.
【思路点拨】
由于数列的第k项与倒数第k项的
和为常数1，故宜采用倒序相加法求和．
1 2 3 10 求和： 2 2＋ 2 2＋ 2 2＋„＋ 2 2. 1 ＋10 2 ＋9 3 ＋8 10 ＋1
12 22 32 102 【解】设 S＝ 2 2＋ 2 2＋ 2 2＋„＋ 2 2， 1 ＋10 2 ＋9 3 ＋8 10 ＋1 102 92 82 12 则 S＝ 2 2＋ 2 2＋ 2 2＋„＋ 2 2， 1 ＋10 2 ＋9 3 ＋8 10 ＋1 两式相加，得 2S＝1＋1＋„＋1＝10， 所以 S＝5.
an (2)设数列{ n－ 1}的前 n项和为 Sn， 2 an 2－n 1 n ∵ n－ 1＝ n－ 1 ＝ n－ 2－ n－ 1， 2 2 2 2 1 1 1 2 3 n ∴ Sn＝(2＋ 1＋ ＋ 2＋„＋ n－ 2)－(1＋ ＋ 2＋„＋ n－ 1)． 2 2 2 2 2 2 2 3 n 记 Tn＝ 1＋ ＋ 2＋„＋ n－ 1， ① 2 2 2 1 1 2 3 n 则 Tn＝ ＋ 2＋ 3＋ „＋ n， ② 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 若数列{an}是 1，(1＋ )，(1＋ ＋ )，„，(1＋ ＋ ＋„ 2 2 4 2 4 ＋ 1 2n
－1
)，„，试求数列 n)， 2
1 n 1－（ ） 2 1 1 1 an＝1＋ ＋ ＋„＋ n－1＝ 2 4 1 2 1－ 2
2．(2013· 深圳调研)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6 ＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式； an (2)求数列{ n－1}的前n项和． 2
【解】
(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件
a1＋ d＝ 0， 可得 2a1＋ 12d＝－ 10， a ＝ 1， 1 解得 故数列{an}的通项公式为an＝2－n. d＝－ 1.
7 9 又 a1＝S1＝ ，所以 an＝ － n. 2 2 9－ 2an n (2)因为 bn＝ ＝ n－1， 2n 2 n－ 1 2 3 n Tn＝ b1＋ b2＋„＋ bn＝ 1＋ ＋ 2＋ „＋ n－2 ＋ n－1， 2 2 2 2 1 1 n 所以 Tn＝ 2Tn－Tn＝ 2＋ 1＋ ＋„ ＋ n－2－ n－1 2 2 2 n＋ 2 ＝ 4－ n－2－ n－1＝ 4－ n－1 . 2 2 2 1 n
4、裂项求和法
常用裂项形式： 1 1 1 ① ＝ n n 1 n(n＋1)
1
.
1 1
1 ( ) ② ＝ 2 2n 1 2n 1 (2n－1)(2n＋1) 1 ③ ＝ n(n＋1)(n＋2) ④ 1 n ＋ n＋ 1 ＝
. .
1 1 1 2 n ( n 1 ) ( n 1 )( n 2 )
• 【尝试解答】 (1)设等差数列{an}的公差为d，则a3＝2＋2d， a7＝2＋6d. ∵a1，a3，a7成等比数列， ∴(2＋2d)2＝2(2＋6d)， 又d≠0，∴可求d＝1. ∴an＝a1＋(n－1)d＝n＋1， ∴数列{an}的通项公式为an＝n＋1.
1 (2)∵nancn＝1，∴cn＝ , 又由(1)知 an＝n＋1， nan 1 1 1 ∴cn＝ ＝ － . n（n＋1） n n＋1 1 1 1 ∴Sn＝ ＋ ＋„＋ 1×2 2×3 n（n＋1） 1 1 1 1 1 1 ＝(1－ )＋( － )＋„＋( － )＝1－ ＜1. 2 2 3 n n＋1 n＋1
• 4．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的 一些项可以相互抵消，从而求得其和． • 5．分组求和法 （1）一个数列的通项公式是由若干个等差数 列或等比数列或可求和的数列组成，则求和 时可用分组求和法，分别求和而后相加减． （2）奇偶合并法：主要用于正负相间的数列。 如：1，-2,3，-4,5，-6…
2
2
2
2
3、错位相减法
方法：乘以公比，再两式相减
• 4．设数列{an}的通项an＝4n－1，数列{bn}的 通项bn＝3n－1，则数列{an· bn}的前n项和Tn 2 n 2 【答案】 ． (n－ )· 4＋ ＝________ 3 3
【解析】 Tn＝ 1· 2＋ 4· 5＋ 42· 8＋„＋ 4n－1(3n－1)，① 4Tn＝ 4· 2＋ 42· 5＋ 43· 8＋ „＋ 4n(3n－ 1)． ② － ②－① 得： 3Tn＝－ 2－ 3(4＋ 42＋„ ＋ 4n 1)＋ 4n(3n－ 1) － ＝－ 2＋ 4(1－ 4n 1)＋ 4n(3n－ 1) ＝ 2＋ (3n－ 2)· 4n. 2 n 2 所以 Tn＝ (n－ )· 4＋ . 3 3
【解析】 第 10 次着地时，经过的路程为 －9 100＋2(50＋25＋„＋100×2 ) －1 －2 －9 ＝100＋2×100×(2 ＋2 ＋„＋2 ) 2－1（1－2－9） －9 ＝100＋200× ＝ 100 ＋ 200(1 － 2 )． －1 1－2
2、倒序相加法
12 22 32 102 求和： 2 2＋ 2 2＋ 2 2＋„＋ 2 2. 1 ＋10 2 ＋9 3 ＋8 10 ＋1
n 1 n .
公差不为0的等差数列{an}中，a1＝2，且a1， a3，a7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{cn}的前n项和为Sn，且nancn＝1， 求证：Sn＜1. • 【思路点拨】 (1)由a1，a3，a7成等比数列， 求得公差d，进而确定{an}的通项公式． (2)根据{cn}的通项公式特征，利用裂项相消 法求得Sn，从而证得Sn＜1.
3
2
等差数列{an}中, a1 a2 a3 24, a18 a19 a20 78 则此数列前20项的和等于（ ）
B
A.160
B.180
C.200
D.220
24 ① a18 a19 a 20 78 ② (a1 a 20 ) (a 2 a19 ) (a 3 a18 ) 54 ① + ② 得：