高中数学 第2章 函数 2.1.1 函数的概念和图象(第1课时)函数的概念高一数学教案

第1课时函数的概念
[提示]不一定是，如函数y＝x，x∈[0,1]，和y＝x2，x∈[0,1]．定义域和值域都相同，但不是同一个函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．( )
(2)已知定义域和对应法则就可以确定一个函数．( )
(3)根据函数的定义，定义域中的每一个x可以对应着不同的y. ( )
[答案](1)×(2)√(3)×
2．(1)函数f(x)＝x－10的定义域为________．
(2)函数f(x)＝
1
x－2
的定义域为________．
(3)函数f(x)＝4
9－x(x∈N)的定义域为________．
(1){x|x≥10}(2){x|x>2} (3){0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}[(1)x－10≥0，∴x≥10，即{x|x≥10}．
(2)x－2>0，∴x>2，即{x|x＞2}．
(3)⎩
⎪⎨
⎪⎧
9－x ≥0，x ∈N ⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≤9，
x ∈N ，∴x 的取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，即
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．]
3．若f (x )＝x 2
－3x ＋2，则f (1)＝________. 0 [f (1)＝12－3×1＋2＝0.]
4．若f (x )＝x －3，x ∈{0,1,2,3}，则f (x )的值域为________． {－3，－2，－1,0} [f (0)＝－3，f (1)＝－2，f (2)＝－1，f (3)＝0.]
函数的概念
(1)A ＝N ，B ＝R ，对于任意的x ∈A ，x →±x ； (2)A ＝R ，B ＝N ，对于任意的x ∈A ，x →|x －2|； (3)A ＝R ，B ＝{正实数}，对任意x ∈A ，x →1
x
2；
(4)A ＝{1,2,3}，B ＝R ，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4； (5)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，对于任意的x ∈A ，x →0.
思路点拨：求解本题的关键是判断在对应法则f 的作用下，集合A 中的任意一个元素在集合B 中是否都有唯一的元素与之对应．
[解] (1)对于A 中的元素，如x ＝9，y 的值为y ＝±9＝±3，即在对应法则f 之下，
B 中有两个元素±3与之对应，不符合函数的定义，故不能构成函数．
(2)对于A 中的元素x ＝22，在f 作用下，|22－2|B ，故不能构成函数． (3)A 中元素x ＝0在B 中没有对应元素，故(3)不能构成函数．
(4)依题意，f (1)＝f (2)＝3，f (3)＝4，即A 中的每一个元素在对应法则f 之下，在B 中都有唯一元素与之对应，依函数的定义，能构成函数．
(5)对于集合A 中任意一个实数x ，按照对应法则在集合B 中都有唯一一个确定的数0与它对应，故是集合A 到集合B 的函数．
1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A ，B 必须是非空数集；
A 中任何一个元素在
B 中必须有元素与其对应；A 中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．
2．函数的定义中“每一个元素x ”与“有唯一的元素y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．
1.下列对应或关系式中是A 到B 的函数的有________．(填序号)
①A ＝B ＝[－1,1]，x ∈A ，y ∈B 且x 2＋y 2
＝1； ②A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图； ③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝
1
x －2
； ④A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1.
② [对于①项，x 2
＋y 2
＝1可化为y ＝±1－x 2
，显然对任意x ∈A ，y 值可能不唯一，故不符合．对于②项，符合函数的定义．对于③项，2∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．对于④项，－1∈A ，但在集合B 中找不到与之相对应的数，故不符合．]
求函数的定义域
(1)f (x )＝
3
x －8
3x －2
； (2)f (x )＝x ＋1＋1
2－x ；
(3)f (x )＝x ＋4＋x 0
＋1
x ＋2
； (4)f (x )＝(x ＋1)
2
x ＋1
.
思路点拨：根据使式子在实数范围内有意义的条件列不等式(组)，求出x 的范围，就是所求函数的定义域．
[解] (1)要使f (x )有意义，则有3x －2>0，∴x >2
3
，
即f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，＋∞. (2)要使f (x )有意义，则⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1≥0，
2－x ≠0⇒x ≥－1且x ≠2，
即f (x )的定义域为[－1,2)∪(2，＋∞)．
(3)要使f (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋4≥0，x ≠0，
x ＋2≠0，
解得x ≥－4且x ≠0，x ≠－2，
即f (x )的定义域为[－4，－2)∪(－2,0)∪(0，＋∞)．
(4)要使f (x )有意义，则x ＋1≠0，∴x ≠－1， 即f (x )的定义域为{x |x ≠－1}．
1．求函数定义域时，不要化简所给解析式，而是直接从所给的解析式寻找使解析式有意义时自变量满足的条件．
2．函数的定义域要用集合或区间形式表示，这一点初学者易忽视． 2．求下列函数的定义域． (1)f (x )＝
11－3x ＋1x
；
(2)f (x )＝3－x ＋1＋x 且 x ∈Z .
[解] (1)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨
⎪⎧
1－3x ＞0，
x ≠0，所以x ＜1
3
且x ≠0，所以函数的定义域
为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪
⎪⎪
x ＜1
3且x ≠0
. (2)要使函数有意义，只需⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－x ≥0，
1＋x ≥0，所以－1≤x ≤3.
又x ∈Z ，所以x ＝－1,0,1,2,3. 所以函数的定义域为{－1,0,1,2,3}.
求函数的值域或函数值
2
(1)求f (2)，f (a )，f (a ＋1)的值； (2)求f (x )的值域；
(3)若g (x )＝x ＋1，求f (g (3))的值．
思路点拨：(1)将x ＝2，a ，a ＋1代入f (x )即可；(2)配方求值域；(3)先求g (3)再算
f [
g (3)]．
[解] (1)f (2)＝22
－4×2＋2＝－2，
f (a )＝a 2－4a ＋2，
f (a ＋1)＝(a ＋1)2－4(a ＋1)＋2＝a 2－2a －1.
(2)f (x )＝x 2
－4x ＋2＝(x －2)2
－2≥－2， ∴f (x )的值域为[－2，＋∞)． (3)g (3)＝3＋1＝4，
∴f (g (3))＝f (4)＝42
－4×4＋2＝2.
1．函数值f (a )就是a 在对应法则f 下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f (x )中的x 用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得．
2．求f (g (a ))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则．
3．配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域． 3．在例3中，g (x )＝x ＋1，求f (g (x ))，g (f (x ))．
[解] f (g (x ))＝g (x )2
－4g (x )＋2＝(x ＋1)2
－4(x ＋1)＋2＝x 2
－2x －1，
g (f (x ))＝f (x )＋1＝x 2－4x ＋2＋1＝x 2－4x ＋3.
抽象函数求定义域
1．在y ＝f (x )中，f (x )的定义域指的是什么？x 是什么？ [提示] f (x )的定义域指的是x 的范围，其中x 是函数的自变量． 2．在函数y ＝f (x ＋1)中，自变量是谁？而它的定义域指的是什么？ [提示] y ＝f (x ＋1)中自变量为x ，其定义域指的是x 的范围． 3．如何将函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)中的自变量联系起来？
[提示] 由于x ，x ＋1均为f 的作用对象，故二者均应在f (x )定义域之中，即y ＝f (x )中x 的范围与y ＝f (x ＋1)中x ＋1的范围一致．
【例4】 (1)已知函数y ＝f (x )的定义域为[1,4]，则f (x ＋2)的定义域为________． (2)已知函数y ＝f (x ＋2)的定义域为[1,4]，则f (x )的定义域为________． (3)已知函数y ＝f (x ＋3)的定义域为[1,4]，则f (2x )的定义域为________． 思路点拨：找准每一个函数中的自变量，通过括号内范围相同来解决问题．
(1)[－1,2] (2)[3,6] (3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2，72 [(1)由题知对于f (x ＋2)有x ＋2∈[1,4]，
∴x ∈[－1,2]，
故f (x ＋2)的定义域为[－1,2]．
(2)由题知x ∈[1,4]，∴x ＋2∈[3,6]，∴f (x )的定义域是[3,6]．
(3)由题知x ∈[1,4]，∴x ＋3∈[4,7]，对于f (2x )有2x ∈[4,7]，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，72， 即f (2x )的定义域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2，72.] 抽象函数的定义域
(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域：若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))中
a ≤g (x )≤
b ，从中解得x 的取值范围即为f (g (x ))的定义域.
(2)已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域：若f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，即a ≤x ≤b ，求得g (x )的取值范围，g (x )的取值范围即为f (x )的定义域.
用较为口语化的语言可以将上述两类题型的解法合并成两句话： ①定义域指自变量的取值范围.(告诉我们已知什么，求什么) ②括号内范围相同.(告诉我们如何将条件与结论联系起来
4．已知函数y ＝f (x －1)的定义域为[－3,2]，则f (x ＋1)的定义域为________． [－5,0] [对于y ＝f (x －1)有x ∈[－3,2]，∴x －1∈[－4，1]，∴在f (x ＋1)中有x ＋1∈[－4,1]，∴x ∈[－5,0]．]
理解函数的概念应关注五点
(1)“A ，B 是非空的数集”，一方面强调了A ，B 只能是数集，即A ，B 中的元素只能是实数；另一方面指出了定义域、值域都不能是空集，也就是说定义域为空集的函数是不存在的．
(2)理解函数的概念要注意函数的定义域是非空数集A ，但函数的值域不一定是非空数集B ，而是集合B 的子集．
(3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A 中的任意一个(任意性)元素x ，在非空数集B 中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y 与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．
(4)y ＝f (x )仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，f (x )也不一定就是解析式．
(5)除f (x )外，有时还用g (x )、u (x )、F (x )、G (x )等符号来表示函数． 1．下列图象表示函数图象的是( )
C [根据函数定义知，对定义域内的任意变量x ，都有唯一的函数值y 和它对应，即作垂直x 轴的直线与图象至多有一个交点(有一个交点即x 是定义域内的一个变量，无交点即
x 不是定义域内的变量)．显然，只有答案C 中图象符合．]
2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2
B ．f (x )＝x 2
，g (x )＝(x )2
C ．f (x )＝x 2－1
x －1
，g (x )＝x ＋1
D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2
－1.
A [A 中定义域，对应关系都相同，是同一函数；
B 中定义域不同；
C 中定义域不同；
D 中定义域不同．]
3．函数y ＝x ＋1＋
1
2－x
的定义域是________． {x |x ≥－1且x ≠2} [要使函数有意义，需满足⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋1≥0，
2－x ≠0，解不等式得定义域为
{x |x ≥－1且x ≠2}．]]
4．求下列函数的值域： (1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2
－2x ＋3，x ∈[0,3)； (3)y ＝2x ＋1
x －3
.
[解] (1)因为x ∈{1,2,3,4,5}，分别代入求值，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}． (2)y ＝x 2
－2x ＋3＝(x －1)2
＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．
(3)y ＝2x ＋1x －3＝2(x －3)＋7x －3＝2＋7x －3，
显然
7
x －3
≠0，所以y ≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．。