山东省高三数学人教A版选修2-1课时作业：2.2.3 椭圆的简单几何性质(1) Word版含解析

第二章　2.2　课时作业15
一、选择题
1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A. (－1,0)，(1,0) B. (－6,0)，(6,0)C. (－，0)，(，0)　
D. (0，－)，(0，)
6666解析：方程化为标准形式为x 2＋＝1，其焦点在y 轴上，由于a 2＝6，∴a ＝.∴长轴y 2
66的端点坐标为(0，±)，故选D.
6答案：D
2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k <9)的( )x 2
25y 2
9x 2
25－k y 2
9－k A ．长轴长相等　B ．短轴长相等C ．离心率相等　
D ．焦距相等解析：由题意可知两个椭圆的焦点都在x 轴上，前者焦距2c ＝2＝8，25－9后者焦距2c ＝2＝8.(25－k )－(9－k )答案：D
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆1
3的方程是( )
A.＋＝1
B.＋＝1x 2144y 2128x 236y 220
C.＋＝1
D.＋＝1
x 2
32y 2
36x 2
36y 2
32解析：由2a ＝12，＝，解得a ＝6，c ＝2，c a 1
3∴b 2＝62－22＝32.∵焦点在x 轴上，
∴椭圆的方程为＋＝1.x 2
36y 2
32答案：D
4．[2014·山东省济南一中月考]已知椭圆＋＝1的上焦点为F ，直线x ＋y －1＝0x 23y 2
4和x ＋y ＋1＝0与椭圆分别相交于点A 、B 和C 、D ，则|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝( )
A. 2
B. 433
C. 4
D. 8
解析：本题考查椭圆定义的应用．如图，设F
1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF 1，FD .由椭圆的对称性可知，四边形AFDF 1为平行四边形，∴|AF 1|＝|FD |，同理|BF 1|＝|CF |，∴|AF |＋|BF |＋|CF |＋|DF |＝|AF |＋|BF |＋|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＝8，故选D.
答案：D 二、填空题
5．若椭圆的焦点在y 轴上，长轴长为4，离心率e ＝，则其标准方程为3
2__________．
解析：依题意，得a ＝2，e ＝＝，所以c ＝，所以b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆的标
c
a 3
23准方程为：＋x 2＝1.
y 2
4答案：＋x 2＝1
y 246．已知点P (3,4)在椭圆＋＝1(a >b >0)上，则以P 为顶点的椭圆的内接矩形PABC x 2
a 2y 2
b 2的面积是__________．
解析：由对称性知矩形PABC 的长与宽分别为6,8，故S ＝48.答案：48
7．[2014·江苏省南京师大附中月考]过椭圆＋＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂x 2
a 2y 2
b 2线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．
解析：本题主要考查椭圆的离心率．由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|.
设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝.即|PF 1|＝，|PF 2|＝32c 32c
3.由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以＋＝2a ，即e ＝＝.
4c
32c
34c
3c
a 3
3答案：3
3三、解答题
8．求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A (5,0)．
(2)离心率e ＝，焦距为12.
3
5解：(1)若椭圆焦点在x 轴上，设其标准方程为＋＝1(a >b >0)，由题意得x 2
a 2y 2
b 2Error!解得Error!
故所求椭圆的标准方程为＋y 2＝1；
x 2
25若焦点在y 轴上，设其标准方程为＋＝1(a >b >0)，由题意，得
y 2
a 2x 2
b 2Error!解得Error!故所求椭圆的标准方程为＋＝1
y 2
625x 2
25综上所述，所求椭圆的标准方程为＋y 2＝1或＋＝1.
x 225y 2625x 2
25(2)由e ＝＝，2c ＝12，得a ＝10，c ＝6，c a 3
5∴b 2＝a 2－c 2＝64.
当焦点在x 轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1；
x 2
100y 264当焦点在y 轴上时，所求椭圆的标准方程为＋＝1.
y 2
100x 264综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
x 2
100y 2
64y 2
100x 2
64
9．如右图，已知椭圆＋＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆x 2a 2y 2
b 2的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B
.
(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
AF 2→ F 2B → AF 1→ AB
→ 3
2解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .
所以a ＝c ，e ＝＝.
2c
a 2
2(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中，c ＝，设B (x ，y )．a 2－b 2由＝2⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，
AF 2→ F 2B
→ 解得x ＝，y ＝－，即B (，－)．
3c
2b
23c
2b
2将B 点坐标代入＋＝1，x 2
a 2y 2
b 2得＋＝1，即＋＝1，94
c 2
a 2
b 24
b 29
c 2
4a 21
4解得a 2＝3c 2.
①
又由·＝(－c ，－b )·(，－)＝AF 1→ AB
→ 3c 23b 23
2⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.②由①，②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.
x2 3y2 2
所以椭圆方程为＋＝1.。