2019版高中全程练习方略课时提能练习：正弦定理、余弦定理的应用(人版·数学理)

2019版高中全程练习方略课时提能练习：正弦定理、余弦定理的应用（人版·数学理）此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

课时提能演练(二十四)[来源:1ZXXK]
(45分钟100分)
【一】填空题(每题5分，共40分)[来源:]
1.如果在测量中，某渠道斜坡坡度为3
4，设α为坡角，那么cosα等
于______.
2.(2019·常州模拟)某人向正东方向走了x km后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km，结果离出发点恰好3km，那么x的值为______.
3.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，那么这个新的三角形的形状为_______.
4.(2019·上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量目标C，假设∠C AB=75°，∠CBA=60°，那么A、C两点之间的距离是______千米.
5.某人在C点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，那么塔高为____ __.
6.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).
如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4 m,仰角∠
ABE
=α,∠ADE=β.该小组已测得一组α,β的值，算
出了tanα=1.24,tanβ=1.20,那么H=______m.
7.一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相
距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行
半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，
另一灯塔在南偏西75°方向上，那么该船的速度是___
___海里/小时.
8.如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，A
B＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，那么BC的长
为______.
【二】解答题(每题15分，共45分)
9.(2019·南京模拟)随着重工业的飞速发展，某
市需要在C、D两地之间架设高压电线.如图，A、B
两地间的距离是1553
千米，B、C两地间的距离是
203千米，且A、B、C、D在同一平面上，∠DAB
=45°，∠DBA=∠ABC=30°.假设考虑到电线的自
然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约是
C、D两地距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备
多长的电线？
10.某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为126n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求：
(1)A处与D处之间的距离；
(2)灯塔C与D处之间的距离.
11.据气象台预报，距S岛正东方向300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°角的方向移动，在距台风中心270 km及以内的地区将受到台风的影响.
问：S岛是否受其影响？假设受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由.
【探究创新】
(15分)如图，A，B，C是三个汽车站，AC，BE是
直线型公路．AB＝120 km，∠BAC＝75°，∠ABC＝4
5°．有一辆车(称甲车)以每小时96 km的速度往返于
车站A，C之间，到达车站后停留10分钟；另有一辆
车(称乙车)以每小时120 km的速度从车站B开往另一
个城市E ，途经车站C ，并在车站C 也停留10分钟．早上8点时甲车从车站A ，乙车从车站B 同时开出.
(1)计算A ，C 两站距离及B ，C 两站距离；
(2)假设甲、乙两车上各有一名旅客需要交换到对方汽车上，问能否在车站C 处利用停留时间交换；
(3)求10点时甲、乙两车的距离．
(参考数据：21.431.76 2.433118.2≈≈≈≈，，，)
答案解析
1.【解题指南】坡度34是坡角α的正切值，可根据同角三角函数关系式求出
cos α.
【解析】因为3tan 4α=，那么3sin cos 4α=α，代入sin2α+cos2α=1得：4cos .5α= 答案：45
2.【解析】如图，设出发点为A, 那么有AC2=AB2+BC2-
2AB ·BC ·cos30°，
解得：x=233或.
答案：233或
3.【解析】设增加同样的长度为x ，原三边长为a 、b 、c ，且c2＝a2＋b 2，a ＋b>c.新的三角形的三边长为a ＋x 、b ＋x 、c ＋x ，知c ＋x 为最长边，其对应角最大.
而(a ＋x)2＋(b ＋x)2－(c ＋x)2＝x2＋2(a ＋b －c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦值为正，那么为锐角，那么它为锐角三角形.
答案：锐角三角形
4.【解析】由正弦定理得
AC 2sin60sin45=︒︒
，∴AC=6.[来源:Z 。

xx 。

k.Co m]
答案：6
5.【解题指南】作出图形确定三角形，找到要用的角度和边长，利用余弦定理求得.
【解析】如图，设塔高为h 米，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°， 那么OC ＝OA ＝h.
在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，那么OD ＝3h ， 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10， 由余弦定理得：
OD2＝OC2＋CD2－2OC ·CD ·cos ∠OCD ， 即222(3h)h 10＝＋－2h ×10×cos120°，
∴h2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去).
答案：10米
6.【解题指南】用H ，h 表示AD ，AB ，BD 后利用AD=AB+BD 即可求解.
【解析】由H h AB ,BD ,tan tan =
=αβ H AD tan =β及AB+BD=AD ，得H h H ,tan tan tan +=αββ 解得htan 41.24H tan tan 1.241.20α⨯==α-β-=124(m). 因此，算出的电视塔的高度H 是124 m.
答案：124
7.【解题指南】此题考查实际模型中的解三角形问题.依题意作出简图，易知AB ＝10海里，∠OCB ＝60°，∠OCA ＝75°.我们只需计算出OC 的长，即可得出船速.
【解析】在直角三角形OCA 和OCB 中，显然有
OB OC ＝tan ∠OCB ＝tan 60°，且OA OC ＝tan ∠OCA ＝tan75°， 因此易得AB ＝OA －OB ＝OC(tan75°－tan60°)，即有
由此可得船的速度为5÷0.5＝10(海里/小时).
答案：10
8.【解析】在△ABD 中，设BD ＝x ，
那么BA2＝BD2＋AD2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，
即142＝x2＋102－2·10x ·cos60°，
整理得x2－10x －96＝0，
解之得x1＝16，x2＝－6(舍去). 由正弦定理得BC BD ,sin CDB sin BCD ∠∠＝ 答案：82 【方法技巧】三角形中的几何计算问题
以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之即可.
9.【解析】在△ABD 中，∠ADB=180°-45°-30°=105°，
AB=1553+，∠DAB=45°.
由正弦定理得， BD=AB sin45(1553)sin45103sin105︒+︒==︒g (千米). 在△BCD 中，∠CBD=60°，BD=103BC 203=，， 由余弦定理得，CD2=BD2+CB2-2BD ·CBcos60°
=300+1 200-1232039002
⨯=，
∴CD=30(千米),
∴至少应该准备的电线长度为：30×1.2=36(千米).
答：至少应该准备36千米长的电线.
10.【解析】(1)在△ABD 中，由得∠ADB ＝60°，B ＝45°. 由正弦定理，得2126ABsinB 2AD sin ADB 3∠＝＝ ＝24 (n mile). (2)在△ADC 中，由余弦定理，得
CD2＝AD2＋AC2－2AD ·ACcos30°，
解得CD ＝83mile).
11.【解题指南】设B 为台风中心，那么B 为AB 边上的动点，SB 也随之变化.S 岛是否受台风影响可转化为SB ≤270这一不等式是否有解的判断，那么需表示SB ，可设台风中心经过t 小时到达B 点，那么在△ABS 中，由余弦定理可求SB.
【解析】如图，设台风中心经过t 小时到达B 点，
由题意：
∠SAB ＝90°－30°＝60°，[来源:1]
在△SAB 中，SA ＝300，AB ＝30t ，∠SAB ＝60°，
由余弦定理得：[来源:学|科|网]
SB2＝SA2＋AB2－2SA ·AB ·cos ∠SAB
＝3002＋(30t)2－2×300×30tcos60°，
假设S 岛受到台风影响，那么应满足条件：
|SB|≤270，即SB2≤2702，
化简整理得t2－10t ＋19≤0， 解之得56t 56≤≤－＋，
所以从现在起，经过(56)－小时S 岛开始受到影响，(56)＋小时后影响结束，持续时间：(56)(56)26＋－－＝ (小时).
所以S 岛会受到台风影响，从现在起经过(56)－小时受到台风影响，且持续时间为26小时.
【探究创新】
【解析】(1)在△ABC 中，∠ACB ＝60°.
≈132(km).
(2)能.理由如下：甲车从车站A 开到车站C 约用时间为
96196
=(小时)＝60(分钟)，即9点到C 站，至9点零10分开出．乙车从车站B 开到车站C 约用时间为132120=1.1(小时)＝66(分钟)，即9点零6分到站，9点零16分开出．那么两名旅客可在9点零6分到10分这段时间内交换到对方汽车上.
(3)10点时甲车离开C 站的距离为5060×96=80(km)，乙车离开C 站的距离为4460×120=88(km)22808828088cos120+-⨯⨯⨯︒。