八年级数学二次根式的化简、平行四边形性质的应用人教版知识精讲

初二数学二次根式的化简、平行四边形性质的应用人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
代数：二次根式a 2的化简
几何：平行四边形性质的应用
二. 重点、难点
重点：
代数：a 2的算术平方根的性质及应用这个性质进行二次根式的化简。

几何：平行四边形三条性质的应用及平行四边形与四边形性质的综合比较。

难点：
代数：a 2的算术平方根的性质的掌握及应用
几何：平行四边形性质的应用
三. 知识结构：
代数：
绝对值 ||||a a a a a a a a a a a =≥-<⎧⎨⎩−→−−==≥-<⎧⎨⎩，，，，类比0000
2 相关知识：不等式的一些性质。

几何：
1.
四边形的性质 平行四边形的性质
①四条边，四个内角 ①四条边，四个内角
相同之处： ②内角和为360° ②内角和为360°
③外角和为360° ③外角和为360°
④两条对角线 ④两条对角线
不同之处： ①对边平行且相等，对角相等， 邻角互补
②对角线互相平分
2. 夹在两条平行线间的平行线段相等
已知l l 12∥
误区一：不知或不说明AB ∥CD ，就判定AB ＝CD
误区二：认为夹在两条平行线之间的所有线段都相等
正确认识：由l l AB CD AB CD 12∥，∥，才能判定=
3. 平行线间的距离
①定义：
两平行线间的距离是一定值，不随位置的不同而不同。

②应用：平行四边形的高
【典型例题】
例1. 计算：
（1）--()132
（2）()()x x +<-222
（3）m mn n m n 22
20+++>() 解：（1）--()
132=--=-||1313 （2）()||x x +=+222
∵x x <-+<220，∴
∴||()x x x +=-+=--222
∴()x x +=--222
（3）m mn n m n m n 2222++=
+=+()||
∵m n +>0
∴m mn n m n m n 222++=+=+||
例2. 求使下列等式成立的a 的取值范围。

（1）1642a a =-
（2）()a a -=-332
（3）()()a a +--=22422
解：（1）164442a a a a ===-||||，∴a ≤0
（2）()||a a a -=-=-3332，∴a a -≥≥303，∴
（3）此题较难，首先应判断出()()a a +>-2222
然后观察到右边＝4，说明字母a 给消去了，同时只有第一项的2减去第二项的－2才得4，所以
()()()()a a a a +--=+--=2222422
所以a a +≥-≥⎧⎨⎩2020
，由a a +≥≥-202，∴
再由a a -≥≥202，∴
综合起来有a ≥2。

例3. 化简
（1）||()2402m m m -<
（2）x x x x 224444-++++ ()->12
1x 解：（1）|||||||()|||242222442m m m m m m m m -=-=--==-
（2）∵->12
1x ∴∴∴-><-+<x x x 22
20
x x x x 224444-++++
=-++=-++=--+-+=-+--=-()()||||
()[()]x x x x x x x x x
22222222
222
例4.如图1，平行四边形ABCD 的周长为16cm ，AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AC 于O ，则△DCE 的周长为（ ）
A. 4cm
B. 6cm
C. 8cm
D. 10cm
解：∵平行四边形ABCD 的对角线互相平分
∴AO ＝CO
又OE ⊥AC
∴OE 在线段AC 的垂直平分线上
∴AE ＝CE
△DCE 的周长C ＝DE ＋EC ＋CD
＝DE ＋AE ＋CD
＝AD ＋CD
又∵平行四边形ABCD 的对边相等
∴AD CD ABCD cm cm +===1212
168×平行四边形的周长× ∴△DCE 的周长为8cm ，答案选C 。

例5.如图：在平行四边形ABCD 中，AB ＝4cm ，AD ＝7cm ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF ＝__________cm 。

解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB ∥CD
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）
又AD 是∠ABC 的角平分线
∴∠1＝∠2
∴∠2＝∠3
∴BC ＝CF （等角对等边）
又在平行四边形ABCD 中，AD ＝BC
∴BC ＝AD ＝7cm
∴CF ＝7cm
同理CD ＝AB ＝4cm
∴DF ＝CF －CD ＝7cm －4cm
＝3cm
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.如图1：O 为平行四边形ABCD 的对角线的交点，EF 经过点O 且与边AD 、BC 分别相交于点E 、F ，若BF ＝DE ，则图中的全等三角形最多有（ ）
图1
A. 2对
B. 3对
C. 5对
D. 6对
2.如图2，在平行四边形ABCD 中，∠A ＝125°，∠B ＝________度。

图2
3. 计算：
（1）()-122
（2）303m n
n ()< （3）x x x 22120+
+>() 4. 化简：
（1）----()2
2232 （2）a a a a 2244323-+--<<()()
（3）1203
a a a -<()
【试题答案】
1. D
2. 55°
3. 计算：
（1）12
（2）-m mn 3 （3）x x +1
4. 化简
（1）-1
8
（2）25a - （3）--22a。