全称量词与存在量词(2019版人教A版高中数学必修一第一单元《集合与常用逻辑用语》)

(3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。 短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫做存在量词，
并用符号“ ”表示。
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题。
常见的存在量词还有 “有些”“有一个” “对某个”“有的”等
存在量词命题举例： 命题：有的平行四边形是菱形；
反思感悟 全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．
跟踪训练1 下列命题中全称量词命题的个数为( ) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例4 判断下列命题的真假． (1)∃x∈Z， <1； (2)存在一个四边形不是平行四边形； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N， >0.
有一个素数不是奇数。 存在量词命题符号记法：
存在量词命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成 立 ”可用符号简记为：
x0 M ， p(x0 ),
读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。
判断存在量词命题真假
要判定存在量词命题 “ x0∈M, p(x0)”是
真命题，只需在集合M中找到一个元素x0,使 p(x0)成立即可，如果在集合M中，使p(x) 成立的元素x不存在，则存在量词命题是假命题.
1.理解全称量词与存在量词定义及常见形式. 2.能运用全称量词与存在量词解决一些简单 问题. 3.全称量词与存在量词及其应用.（重点) 4.能正确对全称量词与存在量词命题进行否定. （难点）
探究点1 全称量词
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间有 什么关系？ (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。 语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
例1(P27例1)判断下列全称命题的真假： （1）所有的素数都是奇数； （2） （3）对每一个无理数x，x2也是无理数。
解：（1）2是素数，但2不是奇数，所以为假命题. （2）真命题. （3） 是2无理数，但 （=22）是2 有理数.所以
为假命题.
探究点2 存在量词
下列语句是命题吗？(1)与(3)，(2)与(4)之间 有什么关系？ (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3)存在一个x0∈R，使2x+1=3； (4)至少有一个x0∈Z，x能被2和3整除。 语句(1)(2)不能判断真假，不是命题； 语句(3)(4)可以判断真假，是命题。
1.5.1 全称量词与存在量词
引入：在我们的生活和学习中，常遇到这样 的命题： （1）所有中国公民的合法权利都受到中华人民共 和国宪法的保护；
（2）对任意实数x，都有 x2 ≥0； （3）存在有理数x，使 x2 －2＝0;
（4）有些人没有环境保护意识.
对于这类命题，我们将从理论上进行深层次的
认识.
跟踪训练 2 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1 是奇数； (2)存在一个 x∈R，使x－1 1＝0.
解 (1)是全称量词命题，因为∀x∈N,2x＋1 都是奇数，所以该命题是真命题． (2)是存在量词命题．因为不存在 x∈R，使x－1 1＝0 成立，所以该命题是假命题．
例2(P28例2)判断下列特称命题的真假： （1）有一个实数x，使x2+2x+3=0； （2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； （3）有些平行四边形是菱形。
解：（1）对于x∈R，x2+2x+3（=x+1）2+2＞0恒成立， 所以 x+2 2x+3=0无解，所以为假命题.
（2）由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平 行，因此不存在平面内两条相交直线垂直于同一条直线， 所以为假命题. （3）真命题.
一、全称量词命题与存在量词命题的辨析
例3 (1)下列语句不是存在量词命题的是 ( ) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z,2x＋1是奇数 D．存在x∈R,2x＋1是奇数
(2)给出下列几个命题： ①至少有一个x，使 ＋2x＋1＝0成立； ②对任意的x，都有 ＋2x＋1＝0成立； ③对任意的x，都有 ＋2x＋1＝0不成立； ④存在x，使 ＋2x＋1＝0成立． 其中是全称量词命题的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．0
解 (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，
所以“∃x∈Z，x3<1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为 0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．
反思感悟 全称量词命题和存在量词命题真假的判断 (1)要判断一个全称量词命题为真，必须对于给定集合的每一个 元素x，命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只 要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假． (2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一 个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必 须对于给定集合的每一个元素x，命题p(x)为假．
全称量词命题符号记法：
全称量词命题“对M中任意一个x，有p(x)属于M，有p(x)成立”。
判断全称量词命题真假
要判定全称命题“ x∈M,p(x) ”是真命题，
需要对集合M中每个元素x, 证明p(x)成立； 如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不 成立，那么这个全称命题就是假命题.
(3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数。
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做
全称量词，并用符号“ ”表示
含有全称量词的命题，
叫做全称量词命题。
常见的全称量词还有 “一切” “每一个” “任给” “所有的”等
全称命题举例：
命题：对任意的n∈Z，2n+1是奇数； 所有的正方形都是矩形。