概率论与数理统计课后习题答案徐雅静版之欧阳治创编

习题答案
第1章
三、解答题
1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？
(1) A和B不相容；
(2) A和B相容；
(3) AB是不可能事件；
(4) AB不一定是不可能事件；
(5) P(A) = 0或P(B) = 0
(6) P(A–B) = P(A)
解：(4) (6)正确.
2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) =
0.7，问：
(1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？
(2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？
解：因为)
P
A
P
AB
P
≤，
+
-
B
P
)
(
)
(
)
A
(B
(
又因为)()(B A P B P ≤即.0)()(≤-B A P B P 所以
(1) 当)()(B A P B P =时P (AB )取到最大值，最大值是
)()(A P AB P ==0.6.
(2)1)(=B A P 时P (AB )取到最小值，最小值是
P (AB )=0.6+0.7-1=0.3.
3．已知事件A ，B 满足)()(B A P AB P =，记P (A ) =
p ，试求P (B )． 解：因为)()(B A P AB P =， 即)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P AB P +--=-== ，
所以.1)(1)(p A P B P -=-=
4．已知P (A ) = 0.7，P (A –B ) = 0.3，试求)(AB P ．
解：因为P (A –B ) = 0.3，所以P (A )– P(AB ) =
0.3,P(AB ) = P (A )– 0.3,
又因为P (A ) = 0.7，所以P(AB ) =0.7– 0.3=0.4，
6.0)(1)(=-=AB P AB P .
5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中
至少有两只配成一双的概率是多少？
解：显然总取法有410C n =种，以下求至少有两只配成
一双的取法k ：
法一：分两种情况考虑：15C k =24C 212
)(C +25C 其中：2122415
)(C C C 为恰有1双配对的方法数 法二：分两种情况考虑：!216181
5
C C C k ⋅⋅=+25C
其中：!216181
5C C C ⋅⋅为恰有1双配对的方法数
法三：分两种情况考虑：)(142815
C C C k -=+25C 其中：)(142815
C C C -为恰有1双配对的方法数 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：2815
C C k =-25C
法五：考虑对立事件：410C k =-45C 412
)(C 其中：45C 412
)(C 为没有一双配对的方法数 法六：考虑对立事件：!41416181104
10
C C C C C k ⋅⋅⋅-= 其中：!4141618110C C C C ⋅⋅⋅为没有一双配对的方法数 所求概率为.21
13410==C k p 6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号
的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求：
(1) 求最小号码为5的概率；
(2) 求最大号码为5的概率．
解：(1)法一：12131025==C C p ，法二：121310
2513==A A C p (2)法二：20
131024==C C p ，法二：2013102413==A A C p 7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中
球的最大个数分别为1，2，3的概率．
解：设M 1,M 2,M 3表示杯子中球的最大个数分别为
1，2，3的事件，则
834)(3341==A M P ,1694)(324232=⨯=A C M P ,1614)(3143==C M P
8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，
从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格
品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多
少？
解：设M 2, M 1, M 0分别事件表示取出的2个球全是合
格品，仅有一个合格品和没有合格品，则
3.0)(25232==C C M P ,6.0)(2512131==C C C M P ,1.0)(25
221==C C M P 9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两
个，求取到的两个球颜色相同的概率．
解：设M 1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取
到两个球均为白球”，M 2=“取到两个球均为黑
球”，则φ==2121M M M M M 且.
所以.28
13C C C C )()()()(282328252121=+=+==M P M P M M P M P 10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两
数之和小于6/5”的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示任取
两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图.
任取两个数的所有结果构成样本空间 = {(x ，
y )：0 x ，y 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x ，y )
： x +y 6/5}
因此 2517154211)(2
=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=Ω=的面积的面积A A P ． 图？
11．随机地向半圆220x ax y -<<（a 为常数）内掷
一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积
成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4
π的概率．
解：这是一个几何概型问题．以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，
表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立xOy 直角坐标系，
如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ={(x ，y )：220,20x ax y a x -<
<<<} 事件A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于
4π” ={(x ，y )：40,20,202πθ<<-<
<<<x ax y a x }
因此 2112
14121)(222+=+=Ω=πππa a a A A P 的面积的面积． 12．已知21)(,31)(,41)(===
B A P A B P A P ，求)(B A P ． 解：
,12
13141)()()(=⨯==A B P A P AB P ,6121121)|()()(=÷==B A P AB P B P 13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两
件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另
一件也是不合格品的概率是多少？
解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是
不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解
为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格
品，则两件均为不合格品的概率”。

设A =“所取两件产品中至少有一件是不合格
品”，B=“两件均为不合格品”；
321)(1)(21026=-=-=C C A P A P ，15
2)(21024==C C B P ， 14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红
球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个
箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2
个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？
已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第
1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？
解：设A =“从第1个箱子中取出的1个球是白
球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则52)(,5
3)(1512===A P C C A P ，由全概率公式得 由贝叶斯公式得
15．将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收
站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而B 被误
收作A 的概率为0.01，信息A 与信息B 传送的频繁
程度为2：1，若接收站收到的信息是A ，问原发信
息是A 的概率是多少？
解：设M =“原发信息是A ”，N =“接收到的信
息是A ”，
已知
所以
由贝叶斯公式得
16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为4
1,31,51，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？
解：设A i =“第i 个人能破译密码”，i=1,2,3.
已知,41)(,31)(,51)(321===A P A P A P 所以
,4
3)(,32)(,54)(321===A P A P A P 至少有一人能将此密码译出的概率为
17．设事件A 与B 相互独立，已知P (A ) = 0.4，
P (A ∪B ) = 0.7，求)(A B P .
解：由于A 与B 相互独立，所以P (AB )=P (A )P (B ),
且
P (A ∪B )=P (A )+ P (B ) - P (AB )= P (A )+ P (B ) - P (A )P (B )
将P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.7代入上式解得 P (B ) =
0.5，所以
或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以
18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？
解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”，
已知P(A)=P(B)=1,,5.0
P
M
M
P所以
=B
A
(=
(
)
,6.0
)
由于甲乙两人是独立射击目标，所以
19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问：
(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？
(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？
解：设A i=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3；B i=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.
（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B
)=0.7,P(B2)=0.8,
1
第一种工艺加工得到合格品的概率为
P (A 1A 2A 3)= P (A 1)P (A 2)P (A 3)=,504.09.08.07.0=⨯⨯
第二种工艺加工得到合格品的概率为
P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=,56.08.07.0=⨯
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率
仍为0.504，而P (B 1)=P (B 2)=0.7,
第二种工艺加工得到合格品的概率为
P (B 1B 2)= P (B 1)P (B 2)=.49.07.07.0=⨯
可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1．设两两相互独立的三事件A ，B 和C 满足条件
ABC = ，,21)()()(<==C P B P A P 且已知169)(=C B A P ，求P (A )．
解：因为ABC = ，所以P (ABC ) =0,
因为A ，B ，C 两两相互独立，),()()(C P B P A P ==所以 由
加法公式)()()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P +---++= 得
16
9)]([3)(32=-A P A P 即 0]1)(4][3)(4[=--A P A P 考虑到,21)(<A P 得.4
1)(=A P 2．设事件A ，B ，C 的概率都是
21
，且
)()(C B A P ABC P =，证明： 21
)()()()(2-++=BC P AC P AB P ABC P ．
证明：因为)()(C B A P ABC P =，所以
)]()()()()()()([1)(1)(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P ABC P +---++-=-= 将2
1)()()(===C P B P A P 代入上式得到 整理得
3．设0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，P (A |B ) +1)|(=B A P ，试证A 与B 独立．
证明：因为P (A |B ) +1)|(=B A P ，所以
将)()()()(AB P B P A P B A P -+= 代入上式得
两边同乘非零的P (B )[1-P (B )]并整理得到
所以A 与B 独立.
4．设A ，B 是任意两事件，其中A 的概率不等于
0和1，证明)|()|(A B P A B P =是事件A 与B 独立的充
分必要条件．
证明：充分性，由于
)|()|(A B P A B P =，所以
,)()()()(A P B A P A P AB P =即 两边同乘非零的P (A )[1-P (A )]并整理得到
),()()(B P A P AB P =所以A 与B 独立.
必要性：由于A 与B 独立，即),()()(B P A P AB P =且
,0)(,0)(≠≠A P A P 所以
一方面
另一方面 所以).|()|(A B P A B P =
5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次
及格的概率为p ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p ；若第一次不及格则第二次及格的概率为
2
p .
(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．
(2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．
解：设A i =“第i 次及格”，i=1，2.已知
,2
)|(,)|(,)(12121p A A P p A A P p A P =
== 由全概率公式得
(1)他取得该资格的概率为
(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为 6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．
解：设A i =“一箱产品有i 件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”.
已知,3
1)()()(210===A P A P A P ,1.0)|(,02.0)|(==M N P M N P
由全概率公式
,10
11091)(1)(=-
=-=M P M P 又
,98.002.01)|(1)|(=-=-=M N P M N P
由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为
7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．
解：A =“一产品真含有杂质”，B i =“对一产品进行第i 次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.
已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B 1，B 2发生了，而B 3未发生.
又知,9.0)|(,8.0)|(==A B P A B P i i ,4.0)(=A P 所以 所
求概率为
,
)
|()()|()()
|()()()()|(321321321321321321A B B B P A P A B B B P A P A B B B P A P B B B P B B AB P B B B A P +==
由于三次检验是独立进行的，所以
8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问
(1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？
解：设A i =“第i 次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知,
3.0)()(31==A P A P ,35.0)()(42==A P A P 所以
(1) 火炮被击毁的概率为 坦克被击毁的概率为 (2) 都不被击毁的概率为
9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是2
1，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率．
解：A i =“甲第i 局获胜”， B i =“乙第i 局获胜”，B i =“丙第i 局获胜”，i=1,2,….， 已知,...2,1,2
1
)()()(====i C P B P A P i i i ，由于各局比赛具有独立性，所以
在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为
,
71...212121...)(9
63987654321654321321=+⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛= C C A B C A B C A C C A B C A C C A P 同样，在甲乙先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为,7
1
丙得冠军的概率为,7
27
12=⨯甲、乙得冠军的概率均为
.14
5
)721(21=- 第二章
2
一、填空题： 1. {}x X P ≤，)()(12x F x F -
2. ==}{k X P k n k
k n
p p C --)1(，k = 0，1，…，n 3. 0,!
}{>=
=-λλλe k k X P k
为参数，k = 0，1，…
4. λ
+11
5.
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其它
,0 ,1)(b x a a
b x f
6. +∞<<-∞=
--
x e
x f x ,21)(2
22)(σμσ
π
7. +∞<<-∞=-
x e x x ,21)(22
π
ϕ
8. )(
)(σ
μ
σ
μ
-Φ--Φa b
9.
分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。

10.
64
9 分析：每次观察下基本结果“X ≤1/2”出现的概率为4
1
2)(21
2
1-=
=⎰⎰∞
xdx dx x f ，而本题对随机变量X 取值的
观察可看作是3重伯努利实验，所以 11. {}7257.0)21
2.2(212.2212.2=-Φ=⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧-<-=<X P X P ,
同理，P {| X | 3.5} =0.8822.
12. {})31(3113)(-=⎭
⎬
⎫⎩⎨⎧-≤=≤+==y F y X P y X Y P y G . 13.
48
13
，利用全概率公式来求解： 二、单项选择题：
1. B ，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导
F (-a)=dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f a
a
⎰⎰⎰⎰⎰-===∞--∞-0
0a -0
a
-0
)(21)(-21)(-)()(
2. B ，只有B 的结果满足1)(lim )(==+∞+∞
→x F F x 3. C ，根据分布函数和概率密度的性质容易验证 4. D ，⎩⎨
⎧<≥=2
,2
,2X X X Y ，可以看出Y 不超过
2，所以
{}{}0,2,12
,12,12 ,12,2 ,1)(0>⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≤≥=≤=--⎰θθ
θϑy e y y dx e y y y X P y y Y P y F y x y Y ，
可以看出，分布函数只有一个间断点.
5. C, 事件的概率可看作为事件A （前三次独立重复
射击命中一次）与事件B （第四次命中）同时发生的概率，即
p p p C B P A P AB P p ⋅-===-231
3)1()()()(.
三、解答题
（A ）
1．(1)
能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数为1，其余一个1至6点均可，
共有1-612⨯C （这里12C 指任选某次点数为1，6
为另一次有6种结果均可取，减1即减去两
次均为1的情形，因为61
2
⨯C 多算了一次）或151
2
+⨯C 种，故
{}36
11
3615361-611212=
+⨯=⨯==C C X P ,
其他结果类似可得.
(2)
2．
X 取0-1或100-1，显然{}12612995
10
==
=C X P . 3．1!
0==-∞
=∑λλae k a
k k
，所以λ-=e a .
4．(1)
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤-<=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤=+-=<≤--=<=3x 13243214
1-1
x 03
x 132}2{}1{21}1{-1
x 0)(，，，，，，，，x x x X P X P x X P x f ，
(2)
{}41121=
-==⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
≤X p X P 、
{}212252
3
===⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<X P X P 、
{}{}{}{}{}{}4
3
323232=
=+=====≤≤X P X P X X P X P ； 5
．
(1)
{}3121121121lim 212121222242=⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++==∞→i i i
X P 偶数， (2) {}{}16
1
16151415=-
=≤-=≥X P X P ，
(3) {}712
1121121lim 2
1
33
33
1
3=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-===∞→∞
=∑i i i i X P 的倍数
.
6．(1) ()()5.15.0~P t P X
={}5.10-==e X P .
(2) 5.25.0=t {}{}5.21011--==-=≥e x P x P . 7．解：设射击的次数为X ，由题意知().20400~，B X
{}{}k
k k k
C X P X P -=∑-=≤-=≥4001
040098.002.011129972
.028.01!
818
1
0=-=-≈-=∑e k k K ，其中
8=400×0.02.
8．解：设X 为事件A 在5次独立重复实验中出现
的次数，().305~，B X
则指示灯发出信号的概率
1631.08369.01=-=；
9. 解：因为X 服从参数为5的指数分布，则
5
1)(x
e
x F --=，{}2)10(110-=-=>e F X P ，()2
5~-e B Y ，
则50,1,k ,)1()(}{5225 =-==---k k k e e C k Y
P
10. (1)、由归一性知：⎰⎰-∞
+∞-===22
2cos )(1π
πa xdx a dx x f ，所
以2
1=a .
(2)、4
2|sin 21cos 21}4
0{4040
===<
<⎰
π
π
π
x xdx X
P . 11. 解 （1）由F (x )在x =1的连续性可得
)1()(lim )(lim 11F x F x F x x ==-
→+
→，即
A=1.
（2）{}=<<7.03.0X P 4.0)3.0()7.0(=-F F . （3）X 的概率密度⎩
⎨
⎧<<='= ,01
0,2)()(x x x F x f .
12. 解 因为X 服从（0，5）上的均匀分布，所以
⎪⎩
⎪⎨⎧<<=其他05051
)(x x f
若方程
24422=+++X Xx x 有实根，则
03216)4(2≥--=∆X X ，即
12-≤≥X X ，所以有实根的概率为 13. 解: (1) 因为4)(3~，
N X 所以 (2)
{}{}
c X P c X P ≤-=>1，则
{}21=
≤c X P 2
1)23()(=-Φ==c c F ，经查表得 2
1)0(=
Φ，即
02
3
=-c ，得3=c ；由概率密度关于x=3对称也容易看出。

(3)
{}{}
d X P d X P ≤-=>1)
(1d F -=9.0)2
3
(
1≥-Φ-=d ， 则1.0)2
3
(
≤-Φd ，即9.0)2
3
-
(≥-Φd ，经查表知
8997.0)28.1(=Φ，
故28.12
3
-≥-d ，即44.0≤d ； 14.
解：
{}{}k X P k X P ≤-=>1{}k X k P ≤≤--=1)()(1σ
σk
k -Φ+Φ-=
所以 95.0)(
=Φσ
k
，}{95.0)()(=Φ==<σ
k k F k
X p ；
由对称性更容易解出； 15. 解),(~2σμN X
则 {}}{σ
μσμσμ+<<-=<-X P X P
上面结果与σ无关，即无论σ怎样改变，
{}σμ<-X P 都不会改变；
16. 解：由X 的分布律知
所以 Y 的分布律是 Z 的分布律为 17. 解 因为服
从正态分布
)
,(2σμN ，所以
2
22)(21)(σμσ
π--
=
x e
x f ，
则dx e
x F x
x ⎰
∞
---=
2
22)(21)(σμσ
π ，{}y e p y F x Y ≤=)(，
当0≤y 时，0)(=y F Y ，则0)(=y f Y 当0>y 时，{}
{
}y x p y e p y F x Y ln )(≤=≤=
所
以
Y
的
概率密度为
0e
210
1)(2
2
2)(ln ≤>⎪⎩⎪
⎨⎧=--
y y y
y f y Y σμσ
π；
18. 解)1,0(~U X ，
100
1
)(<<⎩⎨
⎧=x x f ，
{}{}y x p y Y p y F Y ≤-=≤=1)()1(1y F --=，
所以⎩
⎨
⎧<<=⎩⎨⎧<-<=-=
其他其他)1()(0,1
01,0,1101,y y y f y f X Y 19. 解：)2,1(~U X ，则其他
210
1)(<<⎩⎨
⎧=x x f
当0≤y 时，{}
0)(2=≤=y e P y F X Y ，
当0>y 时，
)
(y F Y )ln 21(ln 21y F y X P X =⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤=，
20. 解: (1)
{}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=3)(11⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
≤=y X P 31)31(y F X =
因为其他1
10
23)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x x x f X
所
以
)31(31)(1y f y f X Y =其他,13
11,01812<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y 其他,3
3,0
1812<<-⎪⎩⎪⎨⎧=y y (2)
{}{}{})3(133)(22y F y X P y X P y Y P y F X Y --=-≥=≤-=≤=，
因为其他
1
10
2
3)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x x
x f X ，
所
以
)
3()(2y f y f X Y -=⎪⎩⎪⎨⎧<-<--=其他
0,131,)3(23
2y y ⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他
0,42,)3(23
2y y （3）{}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=23)(3
当0≤y 时，{}0)(23
=≤=y X P y F Y ，0)()('3
3
==x F y f Y Y
当
>y 时，
{}())()(3y F y F y X y P y F X
X
Y --=≤≤-=， 所以 ()0
,
0,
)]([21
)(3≤>⎪⎩⎪
⎨⎧-+=y y y f
y f y y f X
X
Y ，
因为其他
1
10
2
3)(2<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x x
x f X ，
所以
其他,1
0,0
2
3)(3<<⎪⎩⎪⎨⎧=y y y f Y 四．应用题
1．解：设X 为同时打电话的用户数，由题意知
().20,10~ B X
设至少要有k 条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99，则
99.0!
8
.02.0}{0
01010
=≈=≤∑
∑=-=-k
i i
k
i i
i
i
e i C k X P λλ，其中,2=λ
查表得k=5.
2．解：该问题可以看作为10重伯努利试验，每次
试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-4.0-e ，记X 为10块组件中不能正常工作的个数，则
)1,10(~4.0--e B X ，
5小时后系统不能正常工作，即{}2≥X
，其概率
为
3．解：因为)40,20(~2N X ，所以
设Y 表示三次测量中误差绝对值不超过30米的
次数，则)4931.0,3(~B X
，
(1)
8698
.00.5069
-1)4931.01(4931.01}0{1}1{3
300
3==--==-=≥C Y P Y P .
(2) 3801.05069.04931.0}1{211
3=⨯==C Y
P .
4．解：
当0<y 时，}{y Y ≤是不可能事件，知0)(=y F ，
当20<≤y 时，Y 和X 同分布,服从参数为5的指数分布，知5
5
15
1)(y y
x
e dx e y F ---==⎰，
当2≥y 时，}{y Y ≤为必然事件,知1)(=y F ，
因此，Y 的分布函数为
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧≥<≤<=-2,120e -10 , 0)(5y y y y F y
，；
5．解：(1) 挑选成功的概率70
1148==
C p ；
(2) 设10随机挑选成功的次数为X ，则该
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
70110~，B X ，
设10随机挑选成功三次的概率为：
0.00036)70
1
1()701(
}3{73
10≈-==k C X P ， 以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。

（B ）
1. 解：由概率密度可得分布函数
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤-+<<≤≤<=6
,163),3(923131,3
1
10,31
,0)(x x x x x x x x F
{}32=≥k X P 由于，即31
)(=k F ，易知31≤≤k ；
2. 解： X 服从）（2,1-的均匀分布，
其他，，
210
31)(<<-⎪⎩⎪⎨⎧=x x f ，
又,,0011<≥⎩⎨
⎧-=X X Y ，
，
则{}3
231)(}0{12
2
0===≥==⎰x dx x f X P Y P ， 2Y
-1 1
所以Y 的分布
律为 3.
解
：
])1[(1})1({]1[)(333y F y X P y X P y F X Y --=-≥=≤-=，
[]{}[][][]
3
233'3)1()1(3)1()1(])1[(1)()(y f y y y f y F y F y f X X Y Y --='---=--='
=[]
R y y y ∈-+-=,)
1(1)1(362
π； 4. 证明：因)(x f x 是偶函数，故)()(x f x f x x =
-，
}{1}{}{}{)(y X P y X P y X P y Y P y F Y -≤-=-≥=≤-=≤=)(1y F x --=所以)()()()('
y f y f y F y f x x Y Y =-==.
5. 解：随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=8 ,181 ,1-1
, 0)(3x x x x x F ，显然]1,0[)(∈x F ，
})({}{)(y X F P y Y P y F Y ≤=≤=，
当0<y 时，})({y X F ≤是不可能事件，知0)(=y F Y ， 当
1
0<≤y 时，
y y X P y X P y F Y =+≤=≤-=})1({}1{)(33，
当1≥y 时，})({y X F ≤是必然事件，知1)(=y F Y ，
即 ⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<=1 ,110
,0
, 0)(y y y y y F Y 。

6. （1）}2
1
-{}12{}{)(11
y X
P y X P y Y P y F Y ≤
=≤+=≤= 当
02
1
≤-y 时，即
1
≤y 时，
00}2
1
-{)(21
-1==≤=⎰-∞dx y X P y F y Y ，
P
31 3
2
当
02
1
>-y 时，即
y >1时，
2
121
0-1}2
1
-{)(1y y x Y e
dx e y X P y F ---==≤=⎰，
所以
其他，，11
,021)(211>⎪⎩⎪
⎨⎧≤=-
y y e y f y
Y ；
（2）}{}{)(22
y e P y Y P y F X Y ≤=≤=，
当0
≤y 时，
}
{y e X ≤为不可能事件，则0}{)(2=≤=y e P y F X Y ，
当
1
0≤<y 时
，
0ln ≤y ，则
{}00ln }{)(ln 2==≤=≤=⎰
∞
-dx y X P y e P y F y X Y ，
当
1
>y 时
，
0ln >y ，则
{}y
dx e y X P y F y x Y 1
1ln )(ln 0
2-
==≤=⎰
-， 根据)()(22
y F y f Y Y
'=得
⎪⎩⎪
⎨⎧>≤=1,11 ,0)(22y y
y y f Y ；
（3）}{}{)(233
y X P y Y P y F Y ≤=≤=，
当0≤y 时，0}{)(23
=≤=y X P y F Y ，
当
>y 时
，
{}
y
y
x Y e dx e y X y P y X P y F -
--==≤
≤-=≤=⎰1}{)(0
23，
所以
⎪⎩
⎪⎨⎧>≤=-0,20
,0)(3y y e y y f y
Y ；
7. (1) 证明：由题意知
00
,,0
2)(2≤>⎩⎨
⎧=-x x e x f x 。

}{}{21211
y e P y Y P y F e Y X
Y x ≤=≤==--）（，， 当0≤y 时，01=）
（y F Y 即01
=）（y f Y ， 当
1
0<< y 时，
y dx e y X P y e
P y F y x
X
Y ==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥=≤=⎰∞+---2
ln 2222ln }{)(1，
当1≥y 时，122ln )(021==⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≥=⎰∞+-dx e y X P y F x
Y ，
故有 1
0,
,01)(1
<<⎩⎨
⎧=y y f Y ，可以看出1Y 服从区间（0，1）均匀分布； （
2
）
}-1{}-1{}{)(2212222y e P y e P y Y P y F e Y X X Y x ≥=≤=≤==---，
当01≤-y 时，1}-1{)(22
=≥=-y e P y F x Y ，
当110<-<y 时，
y
dx e y X P y e P y F y x X
Y ==⎭
⎬⎫⎩⎨⎧--≤=≥=⎰----2
)
1ln(0
2222)1ln(}-1{)(2
）（， 当
1
1≥-y 时
，
002)1ln(}-1{)(2
)
1ln(22==⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
--≤=≥=⎰--∞
--dx y X P y e
P y F y X
Y ，
由以上结果，易知 1
0,
,01)(2
<<⎩⎨
⎧=y y f Y ，可以看出2
Y 服从区间（0，1）均匀分布。

第三章
1解：(X ,Y )取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法
公式：
P {X =1,Y =1}=P {X =1}P {Y =1|X =1|=2/31/2=/3
同理可求得P {X =1,Y =1}=1/3; P {X =2,Y =1}=1/3 (X ,Y )的分布律用表格表示如下：
Y X 1 2 1 1/3 1/3 2
1/3
2 解：X ，Y 所有可能取到的值是0, 1, 2 (1)
P {X=i , Y =j }=P{X =i }P{Y =j |X =i |=
, i ,j =0,1,2, i +j
2
或者用表格表示如下：
Y X 0 1 2 0 3/28 6/28 1/28 1 9/28 6/28 0 2
3/28
(2)P{(X,Y)A}=P{X+Y 1}=P{X=0,
Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=2/14
/1)
()()(==AB P A P AB P 得P(AB)=1/8
由P(A|B)=
2/1)
()
( B P AB P 得P(B)=1/4
(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则 P{X=0,Y=0}=))(B A P =P(
(A)-P(B)+P(AB)=5/8
P{X=0,Y=1}=P(B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=0}=P(A )=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由归一性知： 1=
, 故A=4
(2)P{X=Y}=0 (3)P{X<Y}=
(4) F(x,y)=
即F(x,y)=
5.解：P{X+Y
1}=
72
65
)3(),(102
121
=
+
=⎰
⎰
⎰⎰-≥+dydx xy x dxdy y x f x
y x 6 解：X 的所有可能取值为0,1,2,Y 的所有可能取值为0,1,2, 3.
P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125 P{X=1,Y=1}=
25
.05.05.021
2=⨯C ,
P{X=1,Y=2}=25.05.05.021
2
=⨯C P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下：
Y X 0
1
2
3 P i . 0 0.125 0.125 0 0 0.25 1 0 0.25 0.25
0.5
2 0
0.125 0.125 0.25
P .j
0.125 0.375 0.375 0.125 1
7. 解：⎩⎨⎧<<=-其它,
00,),(y
x e y x f y
8. 解：
⎩⎨⎧<≤≤=0,
01
,),(22x y x y cx y x f
(1)21
4212),(11
042
1
11
2
2c
dx x x c ydydx cx dxdy y x f x =-===⎰⎰⎰⎰⎰-∞+∞-∞
+∞
-
所以 c =21/4 (2)
⎪⎩
⎪⎨⎧<-=⎪⎩⎪⎨⎧<==⎰⎰
∞+∞
-其它其它，,01||,8)1(2101||,421),()(4212
2x x x x ydy x dy y x f x f x X
9 解：2|ln 12
2
11
===⎰e e D x dx x
S (X ,Y )在区域D 上服从均匀分布，故f (x ,y )的概率密度为
10 解：⎩⎨⎧<<<<=其它,
00,10,3),(x
y x x y x f
当0<x 1时， 即，
⎪⎩⎪⎨⎧≤<<=其它,
01
0,2
)|(|x y x x y f X Y
11解：⎩⎨⎧<<<=其它,
0||,10,1),(x
y x y x f
当y 0时，
⎪
⎩⎪
⎨⎧<<-<<+==其它,
0,10,11
)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X
当y >0时，
⎪
⎩⎪
⎨⎧<<-<<-==其它,
0,10,11
)(),()|(|x y x x y x f y x f y x f Y Y X
所以，
⎪
⎩⎪
⎨⎧<<<-==其它,
01||0,||11
)(),()|(|x y y x f y x f y x f Y Y X
12 解：由)
()
,()|(|x f y x f y x f Y Y X =
得
13解：Z =max(X ,Y ),W =min(X ,Y )的所有可能取值如下表
pi 0.05 0.15 0.2 0.07 0.11 0.22 0.04 0.07 0.09 (X ,Y ) (0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1) (2,-1) (2,0) (2,1) max(X ,Y ) 0 0 1 1 1 1 2 2 2 Min(X ,Y )
-1
-1
1
-1
1
Z =max(X ,Y),W =min(X ,Y )的分布律为
Z 0 1 2 P k 0.2 0.6 0.2 W -1 0 1 P j
0.16
0.53
0.31
14 解：
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0,00,1)(x x e x f x X θθ⎪⎩⎪
⎨⎧≤>=-0
,
00,
1)(y y e y f y
Y θθ 由独立性得X ，Y 的联合概率密度为 则
P {Z =1}=P {X Y }=2
1
1
),(002=
=⎰⎰⎰⎰∞
++-
≤x
y
x y
x dydx e
dxdy y x f θ
θ P {Z =0}=1-P {Z =1}=0.5
故Z 的分布律为
Z 0 1 P k
0.5
0.5
15 解：
⎪⎩⎪⎨⎧≤+=其它,01
,1
),(22y x y x f π
同理，
⎪⎩
⎪⎨⎧<-=其它，01
||,12
)(2y y y f Y π
显然，)()x (y f f Y X ≠
，所以
X 与Y 不相互独立.
16 解：(1)⎩⎨
⎧<<=其它,010,1)(x x f X ⎩⎨
⎧<<=其它,
01
0,1)(Y y y f 利用卷积公式：⎰+∞
∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(求fZ(z)
)()(x z f x f Y X -=⎩⎨⎧+<<<<其它,
01,10,1x
z x x
(2)
⎩⎨
⎧<<=其它,01
0,1)(x x f X ⎩⎨⎧≤>=-0
,
00
,)(Y y y e y f y 利用卷积公式：⎰+∞
∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()( 17 解：由定理3.1（p75）知，X +Y ~N (1,2) 故5.0)0(}2
1
121{}1{==-≤-+=≤+ΦY X P Y X P
18
解：
(1))1(2
1
)(21),()0
)(X +=+==-+∞
+-+∞
∞-⎰⎰x e dy e y x dx y x f x f x y x （(x>0) 同理，)1(2
1)(+=-y e y f y Y y >0 显然，)()x (y f f Y X ≠
，所以
X 与Y 不相互独立
(2).利用公式⎰+∞
∞--=dx x z x f z f X Z )()(，
19解：并联时，系统L 的使用寿命Z =max{X ,Y } 因X ~E (
),Y ~E (
),故
串联时，系统L 的使用寿命Z =min{X ,Y }
(B)组
1
解
：
P {X =0}=a +0.4,
P {X +Y =1}=P {X =1,Y =0}+P {X =0,Y =1}=a +b P {X =0,X +Y =1}=P {X =0,Y =1}=a
由于{X =0|与{X +Y =1}相互独立, 所以
P {X =0, X +Y =1}=P {X =0} P {X +Y =1}
即 a =(a +0.4)(a +b ) (1) 再由归一性知：
0.4+a +b +0.1=1 (2) 解(1),(2)得 a =0.4, b =0.1 2 解: (1) 24
7)2(),(}2{1
0202=
--==
>⎰
⎰
⎰⎰>x y
x dydx y x dxdy y x f Y X P (2) 利用公式dx x z x f z f Z ⎰+∞
∞
--=),()(计算
3.解：(1) F Y (y )=P {Y y }=P {X 2y}
当y <0时，f Y (y )=0
当y 0时，)()(}{)(y F y F y X y P y F X X Y --=<<-=
从而，
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>≤<≤<=⎪⎩⎪⎨⎧-+=4
04
1,8110,83
)]()([21)(y y y y y y f y f y
y f X X Y ，
(2) F (-1/2,4)=P {X -1/2,Y 4}= P {X
-1/2,X 24}
=P{-2
X -1/2}=4
121)(211212==⎰
⎰
-
--
-dx dx x f X 4.解：P {XY 0}=1-P {XY =0}=0
即 P {X =-1,Y =1}+P {X =1,Y =1}=0
由概率的非负性知，P {X =-1,Y =1}=0，
P {X =1,Y =1}=0
由边缘分布律的定义，P {X =-1}= P {X =-1,Y =0}+
P {X =-1,Y =1}=1/4
得P {X =-1,Y =0}=1/4
再由P {X =1}= P {X =1,Y =0}+ P {X=1,Y =1}=1/4 得P {X =1,Y =0}=1/4 再
由
P {Y =1}=P {X =-1,Y =1}+ P {X =0,Y =1}+
P {X =1,Y =1}= P {X =0,Y =1}
知P {X =0,Y =1}=1/2
最后由归一性得：P {X =0,Y =0}=0 (X ,Y )的分布律用表格表示如下：
Y X 0
1
P {X =i }
-1 1/4 0 1/4 0 0 1/2 1/2 1
1/4
1/4
P {Y =j }
1/2
1/2
1
(2) 显然，X 和Y 不相互独立，因为P {X =-1,Y =0}
P {X =-1}P {Y =0}
5 解：X 与Y 相互独立，利用卷积公式
dx x z f x f
z f Y X
Z ⎰+∞
∞
--=
)()()(计算
6.解：(X ,Y )～Ｕ(G )
设F (x )和f (s )分别表示S =XY 的分布函数和密度函数
F (s )=P {XY <s } s <0时，Fs (s )=0 s 0
时，⎪⎩
⎪⎨⎧+≥=⎰⎰⎰⎰s s x
s S dydx
dydx s F 010*******
,1 所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+<=2
,12,2
ln 220
,0s s s s s s F S
于是，S =ＸY 概率密度为 7.解：由全概率公式：
F U (u )=P {U u }={X +Y u }
=P {X =1}P {X +Y
u |X =1}+
P {X =2}P {X +Y u |X =2}
= P {X =1}P {1+Y
u}+ P {X =2}P {2+Y
u }
=0.3
F Y (u -1)+0.7F Y (u-2)
所以，f U (u ) =0.3f Y (u-1)+0.7f Y (u -2)
8. 解：(1)
⎩
⎨
⎧<<<<=其它,00,10,1),(x
y x y x f (2) ⎰⎰≤-=≤-=≤=z
y x Z dxdy y x f z Y X P z Z P z F 2),(}2{}{)(
如图所示，当z <0时，F Z (z )=0; 当z 2时，F Z (z )=1 当0z <2时:411)(2
1
2
222020
z z dydx dydx z F z x
z x z
x Z -
=+=⎰⎰⎰⎰
-
综上所述，
所以Z 的概率密度为：
⎪⎩⎪
⎨⎧<≤-=20,2
1,0)(z z
z f Z 其它
9.解：(1)
⎩
⎨
⎧<<=其它,01
0,1)(x x f X (2) ⎩⎨
⎧<<-=⎪⎩⎪⎨⎧<<==⎰⎰∞
+∞
-其它其它
,01
0,ln ,010,1
),()(1y y y dx x dx y x f y f y Y (3) 2ln 11
),(}1{P 1
5.011
-===≥+⎰
⎰⎰⎰-≥+x
x y x dydx x
dxdy y x f Y X
10.解
：(1)P {Z 1/2|X =0}=P {X +Y
1/2|X =0}=P {Y
1/2}
=1/2
(2) 由全概率公式：
F Z (z)=P {Z z }=P {X +Y z }=P {X =1}P {X +Y z |X =
1}
+P {X =0}P {X +Y z |X =0}=P {X =-1}P {X +Y z |X =-
1}
= P {X =1}P {1+Y z }+P {X =0}P {Y z }=P {X =-1}P {-
1+Y z }
=1/3[FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)] 从
而
，
f Z (z )
=1/3
[f Y (z -1)+ f Y (z )+
f Y (z +1)]=⎪⎩⎪⎨
⎧<<-其它
,02
1,31
z 11.解：
⎩
⎨
⎧<<<<=其它,00,10,3).(x
y x x y x f 如图，当z <0时，F Z (z )=0; 当z 1时，F Z (z )=1 当0
z <1
时:2
2333)(31
00z z xdydx xdydx z F z x
z x z
x
Z -
=+=⎰⎰⎰⎰-
综上得：⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧≥<≤-<=1
,010,2230
,0)(3
z z z z z z F Z 12
Z 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<≤-=其它
,01
0),1(2
3)(2
z z z f Z
12 解：,21)(2
2x X e x f -
=π,21)(2
2y Y e
y f -
=π
当z <0时，F Z (z )=0; 当
z 0
时
，
2
20
2
222222
22121),(}{)(z z
r z y x Z e
rdrd e
dxdy y x f z Y X P z F -
-
≤+-==
=
≤+=⎰⎰
⎰⎰
πθπ
所以，Z 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它
,00,)(2
2
z ze z f z Z
第四章
4三、解答题
1. 设随机变量X 的分布律为
X
– 2 0 2 p i
0.4
0.3
0.3
求)(X E ，)(2X E ，)53(+X E ．
解：E (X ) = ∑∞
=1i i xp = ()2-4.0⨯+03.0⨯+23.0⨯= -0.2
E (X 2
) = ∑∞
=1
2i i p x = 44.0⨯+ 03.0⨯+ 43.0⨯= 2.8
E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3()2.0-⨯+5 = 4.4
2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望．
解：记掷1颗骰子所掷出的点数为X i ，则X i 的分布律为
记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验，
E (X i) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6
E (X ) =8×21/3=28
3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的．
(1) 某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望．
(2) 某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望．
解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X，则X~B(n, p
),所以E (X )= np1
1
(2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y, 则Y~B(n, p),
记A={借甲种图书}，B={借乙种图书}，则p =｛A∪ B｝= p1+ p2 - p1 p2
所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 )
4. 将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)．
解：依题意，X~B(n，1/n)，所以E (X ) =1.
5. 设)(
P
X，且}6
~λ
P
X
P，求E(X)．
=X
=
{
}5
{=
解：由题意知X～P（λ），则X的分布律
P {}k X ==
λλ-e k k
!
，k = 1,2,...
又P {}5=X
=P {}6=X , 所以
λλ
λλ--=
e e
!
6!56
5
解得 6=λ，所以E (X ) = 6.
6.
设随机变量
X 的分布律为
,,4,3,2,1,6
}{2
2 --==
=k k k X P π问X 的数学期望是否存
在？
解
：
因
为级
数
∑∑∑∞
=+∞
=+∞
=+-=-=⨯-1
1
2
1
211
221
1
)
1(6)6)1(()6)
1((k k k k k k k
k k k πππ， 而 ∑∞
=11
k k
发散，所以X 的数学期望不存在.
7. 某城市一天的用电量X （十万度计）是一个随机变量，其概率密度为 求一天的平均耗电量． 解：E (X ) =⎰⎰⎰∞
-∞
-∞∞-==0
3/203/9191)(dx e x dx xe x
dx x f x
x x =6. 8. 设某种家电的寿命X （以年计）是一个随机变量，其分布函数为
求这种家电的平均寿命E (X )．
解：由题意知，随机变量X 的概率密度为
)()(x F x f '=
当
x
>5时，
=)(x f 3
350
252x
x =⨯--
，当
x
5时，
=)(x f 0.
E (X ) =10|5050)(5-5
3=-==∞++∞
∞
+∞
⎰⎰x
dx x x
dx x xf
所以这种家电的平均寿命E (X )=10年.
9. 在制作某种食品时，面粉所占的比例X 的概率密度为
求X 的数学期望E (X )．
解：E (X ) =dx x x dx x xf ⎰⎰+∞
∞-=-1
52)1(42)(=1/4
10. 设随机变量X 的概率密度如下，求E (X )．
解
：
0)1(102
3
)1(0123)()(22=-++-=+∞∞-=⎰⎰⎰dx x x dx x x dx x xf X E .
11. 设),4(~p B X ，求数学期望)2
(sin X E π．
解：X 的分布律为k n k k n p p C k X P --==)1(}{，k = 0，1，2，3，4，
X 取值为0，1，2，3，4时，2
sin X π相应的取值
为0，1，0，-1，0，所以
12. 设风速V 在(0，a )上服从均匀分布，飞机机翼受到的正压力W 是V 的函数：2kV W =，（k > 0，常数），求W 的数学期望．
解：V 的分布律为
⎪⎩
⎪⎨
⎧<<=其它 ,00 ,1
)(a v a v f ，所以 13. 设随机变量(X , Y )的分布律为
求E (X )，E
1
解：E (X )=0×(3/28+9/28+3/28）
+1×(3/14+3/14+0)+ 2×(1/28+0+0)= 7/14=1/2
E (Y )=0×（3/28+3/14+1/28）+1×(9/28+3/14+0)+
2×(3/28+0+0)=21/28=3/4
E (X -Y ) = E (X )- E (Y )=1/2-3/4=-1/4.
14. 设随机变量(X ，Y )具有概率密度
⎩
⎨
⎧≤+≤≤≤≤=其它,01
,10,10,24),(y x y x xy y x f ，求E (X )，E (Y )，
E (XY )
解：E (X )=⎰⎰⎰⎰-=⋅1
010
22424x
D
ydydx x xydxdy x
15. 某工厂完成某批产品生产的天数X 是一个随机变量，具有分布律
所得利润)12(1000X Y -=Y )，
D (Y )．
解： E (Y) = E ［1000(12-X )］
=1000×[(12-10)×0.2+(12-11)]×0.3+(12-12)×0.3+(12-13)×0.1+(12-14)×0.1] = 400
E (Y 2) = E ［10002(12-X )2］
=10002[(12-10)2×0.2+（12-11）2×0.3+（12-12）2×0.3+（12-13）2×0.1
+（12-14）2×0.1]=1.6×106
D (Y )=
E (Y 2)-［E (Y )］2=1.6×106- 4002=1.44×106。