辽宁省沈阳市和平区2017_2018学年高一数学上学期期中试题(新)

2017-2018学年度上学期期中考试
高一数学
时间：120分钟 分数：150分
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．)
1．若集合{}|20 A x x =-<，集合{}
|2 1x B x =>, 则A B ⋂= （ ） A. R B. (),2-∞ C. ()0,2 D. ()2,+∞
2．已知函数()2
3131f x x x +=++，则()10f = （ ）
A. 30
B. 19
C. 6
D. 20
3．函数y=log 12
(x 2
-6x+17)的值域是 （ ）
A. R
B. [8，+∞]
C. （-∞，-3）
D. [3，+∞] 4．已知1
275a -
⎛⎫=
⎪⎝⎭， 13
57b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， 2
5log 7c =，则a b c 、、的大小关系是（ ） A. b a c << B. c b a << C. c a b << D. b c a <<
5．某圆锥的侧面展开图为一个半径为R 的半圆，则该圆锥的体积为 （ ）
3R
3R
3R
3R 6．函数f (x )＝()1,4{ 21,4
x
x f x x ⎛⎫
≥ ⎪⎝⎭
+<则f (log 23)等于 ( )
A. 1
B.
18 C. 116 D. 124
7．正六棱台的两底边长分别为1cm,2cm,高是1cm,它的侧面积为 （ ） A ．
279cm 2 B ．79cm 2
C ．3
23cm 2 D ．32cm 2
8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则该几何体的外接球的体积为 （ ）
A.
33π B. 163π C. 26
3
π D. 32327π 9．已知()f x 是R 上的奇函数，当0x ≥时， ()()2log 1,01
{
3,1
x x f x x x +≤<=-≥，则函数()1
2
y f x =-的所有零点之和是 （ ）
A. 52+
B. 12-
C. 21-
D. 52-
10．过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比为 （ ） A.
932 B. 916 C. 38 D. 316
11．已知函数()()3261,1{
,1
x
a x a x f x a x -+-<=≥在
(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范
围是 （ ） A. ()0,1 B. 20,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭
C. 32,
83⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 3,18⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
12．已知()
2
12
()x x f x log a a =--的值域为 R ，且()f x 在()
3,13--上是增函数，则a 的
范围是 （ ） A.2230a -≤≤ B.02a ≤≤ C.40a -≤≤ D.4223a -≤≤-
第Ⅱ卷 (共90分)
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上．) 13．函数()()
2lg 2f x x x =-+的单调递减区间是________________． 14．()1f x -的定义域是3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，则函数()f x 的定义域是__________.
15．已知不等式
对一切
恒成立，则实数的取值范围是
__________.
16．给出下列命题，其中正确的序号是__________________（写出所有正确命题的序号） ①函数()()log 32a f x x =-+的图像恒过定点()4,2；
②已知集合{}{},,0,1P a b Q ==，则映射:f P Q →中满足()0f b =的映射共有1个； ③若函数()()
22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-； ④函数()x
f x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为ln y x =.
三、解答题：（满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答过程书写在答题纸的对应位置．） 17．(本小题满分10分) 计算：(1）()
()()4
1130.75
3
3
2
0.064216
0.25--
-⎡⎤+-++⎣⎦
（2
）7log 23
29log lg25lg47log 3log 4++++⋅ 18．(本小题满分12分) 已知1
{|
232}4x A x =≤≤， 12
1{|log ,2}64B y y x x ==≤≤．
（1）求A B ⋂；
（2）若{}
11,0C x m x m m =-≤≤+，若C A ⊆，求实数m 的取值范围。

19．(本小题满分12分) 求函数()[]2
42
52,2x
x f x x +=-+∈-，的最大值、最小值，并指出()f x 取最大、最小值时
x 的值．
20．(本小题满分12分)
养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用）,已建的仓库的底面直径为12M,高4M.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:一是新建的仓库的底面直径比原来大4M(高不变);二是高度增加4M(底面直径不变)。

（1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； （2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； （3） 哪个方案更经济些？
21．(本小题满分12分) 已知函数2
1()log 1
ax
f x x +=-（a 为常数）是奇函数.
（Ⅰ）求a 的值与函数)(x f 的定义域；
（Ⅱ）若当),1(+∞∈x 时，m x x f >-+)1(log )(2恒成立．求实数m 的取值范围.
22．(本小题满分12分)
已知定义域为R 的函数()22x
x b f x a
-=+是奇函数．
（1）求,a b 的值；
（2）猜测()f x 的单调性，并用定义证明；
（3）若对任意[]
1,2t ∈-，不等式()
()210f t f kt ++-<恒成立，求实数k 的取值范围．
沈阳铁路实验中学2017-2018学年度上学期期中考试
高一数学参考答案 1．C
【解析】{}{}
|2,0A x x B x x =<= ，由交集的定义得到： A B ⋂ {}|02x x =<< 故答案选择C. 2．B
【解析】函数()23131f x x x +=++，令3x =，则()210333119f =+⨯+=，故选B. 3．C 【解析】()()
2
22112
2
617388log 617log 83x x x x x -+=-+≥∴-+≤=- ，因此选C.
4．C
【解析】由幂函数的运算知道12
75a -
⎛⎫= ⎪⎝⎭ 12
57=<1, 13
57b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,构造函数57x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是减函数，
故a b <，
由运算公式得到25
log 7
c = 0< ，故c 是最小的值，故c a b <<。

故答案选C.
5．A
【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则{
2l R
R r
ππ==，解得2
R
r =
， l R =，∴圆
锥的高h R ==
，∴圆锥的体积2313V r h R π==
，故选A. 6．D
【解析】log 23<4，f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 26)，同理得f (log 26)＝f (log 26＋1)＝f (log 212)＝f (log 224)，而log 224>log 216＝4， 因此f (log 23)＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭
2log 24＝22log 24－＝1
24
，选D. 7．A 8．D
【解析】根据几何体的三视图知,该几何体是底面为等腰直角三角形,; 且该几何体的外接球球心在侧视图高上,如图所示;
设球心为O ,半径为r , 则)
2
231r r
=
+,
计算得出23
r =
, 所以, 几何体的外接球的体积为3
4333327
V ππ
⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭. 所以B 选项是正确的.` 9．A
【解析】当0x ≥时， ()0f x ≥ ，所以当0x <时， ()0f x <；由()201
{
1log 12
x x ≤<+=
得
12x =-+；由1
{
1
32
x x ≥-=
得75
22x =或，所以所有零点之和是52+，选A. 10．A
【解析】2R = ，设圆M 半径为r ，则22
22134
R R r r =
+∴= 所得截面的面积与球的体积的比为23πr 9
432π3
R = 选A.
11．C
【解析】由题函数()()3261,1{
,1
x
a x a x f x a x -+-<=≥在(),-∞+∞上单调递减，则
()1
320{
01
32161a a a a a -<<<-⨯+-≥ 解之得32
83
a ≤<
故选C
12．B 【解析】
试题分析:由题设0)(2≥--=a ax
x x u 在)3
1,3(--上恒成立且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-->≥+=∆0
)31(312042u a
a a ,解之
得20≤≤a .故应选B.
13．（1,2）
【解析】由复合函数的单调性知，函数()()
2lg 2f x x x =-+的单调递减区间是满足
220y x x =-+>时的22y x x =-+的单调递减区间，解得{|12}x x <<．故本题应填()1,2
14．
1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】由题可知
392x ≤≤ 则31
11911822
x x -≤-≤-⇒≤-≤ 即函数()f x 的定义域为1
82
x ≤≤ 即答案为
1,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦
15．
【解析】不等式对一切恒成立，等价于
，因为，所以 ，
所以，所以 实数的取值范围是，故答案为
.
16．①④
【解析】令31,4,2x x y -===，函数()()log 32a f x x =-+的图像恒过定点()4,2正确； ②已知集合{}{},,0,1P a b Q ==，则映射:f P Q →中满足()0f b =的映射有()()0,0f a f b ==和()()1,0f a f b ==2个，
②错误；③若函数()()
22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则2440a ∆=-≥，即1a ≤-或1a ≥，③错误；④函数()x f x e =与函数ln y x =互为反函数，图像关于y x =对称，④正确；本题正确的序号是①④. 17．（1）
5116；（2）19
4
【解析】试题分析：（1）主要利用指数幂的运算法则()
n
m mn a a =即可得出；
（2）利用对数的运算法则、换底公式即可得出. 试题解析：（1）原式()
13434334315111510.4
22
22168216
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⨯-⨯- ⎪ ⎪⨯- ⎪⎝⎭
⎝⎭
⎝⎭
=+-++
=+++=； （2）原式1
4
3lg32lg2119log 3
lg100241lg22lg344
-
=+++
⋅=-++= 18．（1）[]1,5-（2） 03m <≤
【解析】试题分析：（1）由指数函数核对数函数的单调性分别解出A,B ，则A B ⋂易求； 2）由C A ⊆ ⇒ 12
15m m -≥-⎧⎨
+≤⎩
，结合0m >，可求m 的取值范围．
试题解析：（1）由1
{|232}4
x A x =≤≤ []2,5A ⇒=- 由12
1
{|log ,
2}64
B y y x x ==≤≤ []1,6B ⇒=- []1,5A B ⇒⋂=-
（2）由C A ⊆ ⇒ 12
15
m m -≥-⎧⎨
+≤⎩
3m ⇒≤
又0m >，得03m <≤
19．min max 1,5y y ==
【解析】试题分析：化简函数()222)1x f x =-+（， []22,2x t x =∈-，，则1244x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，，利用二次函数的单调性可得()f x 的最大值、最小值，以及()f x 取最大、最小值时x 的值. 试题解析： ()()
22425242522)1x x x x x f x +=-+-⋅+=-+＝（ 设[]22,2x t x =∈-，，则1244x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
，，
()[]21212244y t ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦
在，上递减，在，递增
所以，当min 21,1t y x ===时，此时． 当max 45,2t y x ===时，此时．
20、（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,则仓库的体积
2
31116256
4()323
h M V ππ⎛⎫
=•=⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭1S 3
如果按方案二，仓库的高变成8M ，则仓库的体积
2
32
112288
8()323
h M V ππ⎛⎫=•=⨯⨯⨯=
⎪⎝⎭1S 3
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16M,半径为8M.
棱锥的母线长为l ==则仓库的表面积
2
8()M S π=⨯⨯=1
如果按方案二，仓库的高变成8M.
棱锥的母线长为10l == 则仓库的表面积
261060()M S
ππ=⨯⨯=2
（3）
2
1
V V
> ，
S S
<2
1
∴方案二比方案一更加经济
21．（Ⅰ）1a =，（Ⅱ）1≤m
【解析】
试题分析：（Ⅰ）利用函数2
11ax x +-f(x)=log 是奇函数可得1a =，解不等式01
1>-+x x
可求函数)(x f 的定义域；（Ⅱ）由)1(log )1(log )(22x x x f +=-+再由2log (1)y x =+单调性可得
22og (1)log 21l x +>=，即1≤m
试题解析：（Ⅰ）
2
11
ax
x +-函数f(x)=log 是奇函数 ()()f x f x ∴-=- 2222
1111
log log log log 1111ax ax ax x x x x ax -+--∴=-=---++即 1a ∴= 令01
1>-+x x ，解得：1-<x 或1>x 所以函数的定义域为：|{x 1-<x 或}1>x
（Ⅱ）)1(log )1(log )(22x x x f +=-+
当1>x 时，12x ∴+> 22log (1)log 21x ∴+>= ∵),1(+∞∈x ， m x x f >-+)1(log )(2恒成立 ∴1≤m
所以m 的取值范围是]1∞（-,
考点：函数奇偶性单调性；函数定义域与最值；不等式与函数的转化 22．（1）1,1a b ==；（2）减函数；（3）()2,2- 试题解析：
（1）由()()()00,11f f f =-=-，可得1,1a b ==，检验：当1,1a b ==时， ()1221x x f x -=+，
定义域为R ，对任意x R ∈，都有()()21122121221122x x x x x x x
x
f x f x ------====-+++，所以()f x 为
奇函数.
（2）()()
212122
1212121
x
x x x x
f x -++-===-++++在(),-∞+∞单调递减. 以下用定义证明：设
12x x -∞<<<+∞
，则
()()(
)()(
)()(
)
()(
)
2121
12121
21222122122222
212121212121
x x x x x x x x x
x f x f x +-+--=-==++++++，因为函数2x y =在(),-∞+∞为增函数，且12x x <，所以21220x x ->.又因为12211,211x x +>+>，所
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。

同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ - 11 - 以()()()21
1222202121x x x x ->++，所以()()12f x f x >，所以()f x 在(),-∞+∞单调递减. （3）由()()210f t f kt ++-<可得()
()()21f t f kt f kt +<--=，因为()f x 在()
,-∞+∞单调递减，所以任意[]1,2t ∈-，都有21t kt +>恒成立，若0t =，则10>，符合题意，所以k R ∈；若(]0,2t ∈，则211t k t t t
+<=+，令()1g t t t =+，则()()min 12k g t g <==，若[)1,0t ∈-，则211t k t t t
+>=+，令()1g t t t =+，则()()max 12k g t g >=-=-，综上所述，实数k 的取值范围是()2,2-.。