图 nUi=1 Fmi,t和 nUi=1 Hmi,t的优美性
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第２ ７卷第 ４期 ２０ 年 ｌ ０７ ２月
数 学 理 论 与应 用
Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＡＬ ＴＨＥＯＲＹ ＡＮＤ ＡＰＰ ＣＡＴＩ ＬＩ ＯＮＳ
Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ４ Ｉ ２ ． Ｄｅ ． ０ ７ ｃ ２ ０
图 ＵＦ小 和 Ｕ日小 的优 美性
关键 词 图 非 连 通 图 优 美 图 交错 图
Ｔ ｅＧｒ ｃ ｆ ｌ ｅｓｏ ａ ｈ ＵＦ ａ ｄ ＵＨ小ｆ ｈ ａ ｅｕｎ ｓ ｆＧｒ ｐ 小ｆｎ ， ，
ｉ １ ＝ ‘ ｉ １ ＝ ‘
Ｙａ ｎｇ Ｄｉ
（ ｐ ｆＭ ａ ｈ ｍａ ｉｅＳ ｉｎ ｅ Ｄｅ ｔｏ ｔ ｅ ｔｃ ｃｅ ｃ 。Ｌｉｏ ｉｇ Ｕｎｖ ｒｉｙｏ ｃ ｎ ｌｇ Ｊｎｈ ｕ，２ ０ ０ ａ ｎｎ ｉｅ ｓｔ ｆＴｅ ｈ ｏｏ ｙ， ｉｚ ｏ １ １ ０ ）
ｌ １ ｌ １
杨 迪
（ ． 宁工业 大学数 理 系， 州 ，２ ０ １ １辽 锦 １１０ ）
刘 春 峰 。 （ ． 州 市教 育局 ， 州 ，２ ０ ０ ２锦 锦 １１０ ）
摘 本 构 两 非 通 Ｆ． Ｈ 一 证明 这两 图 优美 ・也 交 ． 要 文 造了 类 连 图Ｕ 和 ｌ 并 了 类 是 的且 是 错的 一
，
— ｌ
Ｋｅ ｗｏ ｄｓ Ｇｒ ｐ Ｕｎ ｏ ｎ ｃ ｅ ｒ ｐ Ｇｒ ｃ ｆ ｌ ｒ ｐ Ａｌｅ ｎ ｔ ｇ ｇ ａ ｈ ｙ ｒ ａｈ ｃ ｎ ｅｔｄ ｇ ａ ｈ ａ ｅ ｕ ａ ｈ ｇ ｔｒ ａｉ ｒｐ ｎ
引 言
优 美 图是 图 论 中一 个 重 要 的分支 ， 至 令 对非 连 通 图优 美 性 的研究 并 不 多 ， 文对 图 但 本
得 对所有 的边 — Ｈ Ｖ∈ Ｅ（ ， ／（ ） ｌ ｕ Ｇ） 由 ’ｅ 一 ｆ（ ）一 ｆ ｖ ｌ 出一个 的双射 ／ ： Ｇ） ｛ ， ， （）导 ’ Ｅ（ 一 １ ２
…
， ｝则 弥 Ｇ 是优美 图 ， ｑ． 厂是 Ｇ 的一个 优美标 号 （ 或优 美值 ） ． 定 义 ２ 一个 图 （顶点 集 若能 分 为两个 非空 子集 ｘ 和 ｙ， 使得 ｘ Ｕ Ｙ— Ｖ（ ， Ｇ） ｘ ｎ Ｙ
Ｉｉ ｕ Ｃｈｕ ｅ ｇ ｎｆ ｎ
（ｉｚ ｏ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｂｕ ｅ ｕ，Ｊｎ ｈ ｕ １ １ ０ ） Ｊｎ ｈ ｕ Ｅ ｕ ａ ｉ ｒ ａ ｏ ｉｚ ｏ ２ ０ ０
Ａ 眦 Ｔ ｅＰ ｅ ｐ Ｐ ｒ ｅ ｉ ｂ ｈ “ ａ ｅ ｄ ｆ
ｔ ｉ ｓ ｆ ｎ ｏ ｃｅ ｒｐ ｆＵ Ｆ￣． ｎ Ｈ ，． Ｆｕｒｈｅ ｍ 。 ｅｗｅ ｗｏｋｎ ｃ ｔｄｇ ａ ｈ ｏ ｕ ，， ｄ ａ Ｈ， ・ ｔ ｒ ｒ
１
厂 ） （
的道路 （ ￣ｂ， ： １ ２ …，） 口ｖ，， ｊ Ｊ ， ， 连续 口， 得的 图用 尸 ｂ所 表 示 ， 图 １ 如 所
示．
若 （ ）ｎ Ｖ（ ） ｊ ， 尸 尸 一 ２ １ ｉＪ 『 ，
，≠ ， 么把 尸 中的点 那
６ 与 尸 ．中的 口 粘 和到一起 （ … ， … — ｌ ２ … 一 １ ， 得的 图形记 为 ，， ）所
＂
ＵＦ ， ＵＨ 。 ． 和 ．的优美性 进行探 讨 ， 所讨论 的 图 Ｇ（ Ｅ） 为简单 无 向图 ， Ｖ（ 和 Ｅ（ Ｖ， 均 其 Ｇ） Ｇ）
ｉ １ 一 ‘ ＝１
分别 表示 图 Ｇ的顶点 集 和边 集 ，Ｅ（ ｌ Ｇ） 表示 Ｇ 的边数 ， 其它 一些概 念参 考文献 ［ ］ １． 定义 １ 一个有 ｑ 边 的简单 图 Ｇ（ Ｅ） 如果存 在一个单 射 厂： （ 一 ｛ ， ， ， ｝使 条 Ｖ， ， Ｇ） ｏ １ … ｑ ，
王 贺 元 教授 推 荐 收 稿 日期 ：０ ７年 ４月 ３ ２０ Ｏ日
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பைடு நூலகம்
１８ １
数 学 理论 与 应 用
第 ２ 卷 ７
一
ｊ 且 Ｇ 的每 条边两 端点分别 在 Ｘ 和 ｙ中 ， 此图 为二分图 ， ２ 『 称 记为 Ｇ一 （ ｙ； ； ｘ， Ｅ）如果 此图
＝
Ｉ
ｈ ｖ ｒｖ ｄｔ ａ ｔｅｕ ｃ ｎ ｅｔｄｇ ａ ｈ ｆＵ ａ ｅｐ ｏ ｅ ｈ ｔ ｈ ｎ 。 ｎ ｃｅ ｒ ｐ
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是优美 的 ， 则称 为优美二分 图． 定义 ３ Ｇ 一 （ ｙ； 是一个 ，个顶 点的 优美二分 图 ， ｘ， Ｅ） ｚ 其优 美标号 为 厂， 如果 有 ＜ ｍｉｆ ｕ ， 称 Ｇ 为交错图． ｎ （ ）则
定 义 ４ 设 ａ ， 为两 个 固定顶 点 ， ｔ 内部 互不相 交且长度 为 ２ ｂ 用 条
ｆ Ｊ —
ｌ ２ … ）时 可 简 记 为 ＵＦ ，，
ｉ １ ＝
． ＇
，
定 义 ６ 对 于 自然 数 ， ， 把 个点 不交 的 Ｈ ， ， ， ， ． １ ２ … ） （ 并 起 来 的 非 连 通 图 记 为 ＵＨ
Ｆ ， 尸 中的点 ，把
与尸 件¨ 中的 ＋ 粘和 到一 起 （ １ ２ … 一 ¨ 一 ， ，
１ ， 得 的 图 形 记 为 Ｈ ）所 ．
定义 ５ 对于 自然数 ， ， 把 个 点不交 的
， ｆ
Ｆ ， （ 一
．
１２ … ， ） ， ， ， 并起来 的非连通 图记 为 ＵＦ ２ 当 一 （，
第２ ７卷第 ４期 ２０ 年 ｌ ０７ ２月
数 学 理 论 与应 用
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Ｖｏ ． ７ Ｎｏ ４ Ｉ ２ ． Ｄｅ ． ０ ７ ｃ ２ ０
图 ＵＦ小 和 Ｕ日小 的优 美性
关键 词 图 非 连 通 图 优 美 图 交错 图
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引 言
优 美 图是 图 论 中一 个 重 要 的分支 ， 至 令 对非 连 通 图优 美 性 的研究 并 不 多 ， 文对 图 但 本
得 对所有 的边 — Ｈ Ｖ∈ Ｅ（ ， ／（ ） ｌ ｕ Ｇ） 由 ’ｅ 一 ｆ（ ）一 ｆ ｖ ｌ 出一个 的双射 ／ ： Ｇ） ｛ ， ， （）导 ’ Ｅ（ 一 １ ２
…
， ｝则 弥 Ｇ 是优美 图 ， ｑ． 厂是 Ｇ 的一个 优美标 号 （ 或优 美值 ） ． 定 义 ２ 一个 图 （顶点 集 若能 分 为两个 非空 子集 ｘ 和 ｙ， 使得 ｘ Ｕ Ｙ— Ｖ（ ， Ｇ） ｘ ｎ Ｙ
Ｉｉ ｕ Ｃｈｕ ｅ ｇ ｎｆ ｎ
（ｉｚ ｏ ｄ ｃ ｔ ｎ Ｂｕ ｅ ｕ，Ｊｎ ｈ ｕ １ １ ０ ） Ｊｎ ｈ ｕ Ｅ ｕ ａ ｉ ｒ ａ ｏ ｉｚ ｏ ２ ０ ０
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分别 表示 图 Ｇ的顶点 集 和边 集 ，Ｅ（ ｌ Ｇ） 表示 Ｇ 的边数 ， 其它 一些概 念参 考文献 ［ ］ １． 定义 １ 一个有 ｑ 边 的简单 图 Ｇ（ Ｅ） 如果存 在一个单 射 厂： （ 一 ｛ ， ， ， ｝使 条 Ｖ， ， Ｇ） ｏ １ … ｑ ，
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１８ １
数 学 理论 与 应 用
第 ２ 卷 ７
一
ｊ 且 Ｇ 的每 条边两 端点分别 在 Ｘ 和 ｙ中 ， 此图 为二分图 ， ２ 『 称 记为 Ｇ一 （ ｙ； ； ｘ， Ｅ）如果 此图
＝
Ｉ
ｈ ｖ ｒｖ ｄｔ ａ ｔｅｕ ｃ ｎ ｅｔｄｇ ａ ｈ ｆＵ ａ ｅｐ ｏ ｅ ｈ ｔ ｈ ｎ 。 ｎ ｃｅ ｒ ｐ
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是优美 的 ， 则称 为优美二分 图． 定义 ３ Ｇ 一 （ ｙ； 是一个 ，个顶 点的 优美二分 图 ， ｘ， Ｅ） ｚ 其优 美标号 为 厂， 如果 有 ＜ ｍｉｆ ｕ ， 称 Ｇ 为交错图． ｎ （ ）则
定 义 ４ 设 ａ ， 为两 个 固定顶 点 ， ｔ 内部 互不相 交且长度 为 ２ ｂ 用 条
ｆ Ｊ —
ｌ ２ … ）时 可 简 记 为 ＵＦ ，，
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定 义 ６ 对 于 自然 数 ， ， 把 个点 不交 的 Ｈ ， ， ， ， ． １ ２ … ） （ 并 起 来 的 非 连 通 图 记 为 ＵＨ
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定义 ５ 对于 自然数 ， ， 把 个 点不交 的
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