向量加法及减法PPT学习教案
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向量加法及减法
会计学
1
学习目标
⑴掌握向量加法的定义;
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形
法则作两个向量的和向量;
⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进
行
向
量
计
算
平新疆 王新敞 奎屯
面
向
量
数
量
积
的
定
义
和
运
算
律
的
应
用
.
第1页/共21页
问题提出
1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么？
60
第18页/共21页
小结
1.向量概念源于物理，位移的合成是向量加法 三角形法则的物理模型，力的合成是向量加法 平行四边形法则的物理模型.
2.任意多个向量可以相加，并可以按任意次序 、组合进行.若平移这些向量使其首尾相接， 则以第一个向量的起点为起点，最后一个向量 的终点为终点的向量，即为这些向量的和.
夹角表示).
C D
A
B
A
第16页/共21页
解：设
表示船垂直于对岸行驶的速度， 表示水流的速度，以AD,AB为邻
边作平行四边形ABCD，则
AD
就是船的实际航行的速度.
AB
AC
在 RtABC 中，| AB | 2 ，| BC | 2 3 所以 | AC | | AB |2 | BC |2 4 因为 tan CAB 2 3 3 CAB 60
a
ｂ
C a＋b
A a
第6页/共21页
ｂ
B
思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2 的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表
示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同
方向伸长了相同长度.从力学的观点分
析，力F与F1、F2之间的关系如何？
F1
M
C
EO
图1
F2
M
F EO
F=F1+F2
图2
第7页/共21页
思考6：人在河中游泳，人的游速 为OA ,水流速度为OB ，那么人在水 中的实际速度OC 与OA 、OB 之间的关
3为和、vv一22，. 艘船船的从实A际点航出行发的以速v1度的的4速3大度km小向为垂4直k2m于3/km对h，/ h岸方的向方与向水行流驶间，的同夹时角河是水的，流求速v1 4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航
行速度大小最大是_____km/h，最小是____km/h.
2
答：船的实际航行的速度的大小为 4km / h ,方向与水
流速间的夹角6为0 .
第17页/共21页
课堂练习
1、一艘船从A点出发以
的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行
的速度的大小为4km/h，求水流的速度.
2、一艘船距对岸 ，以
的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸
时，船的实际航程为8km，求河水2的3k流m/速h .
CA
B
第4页/共21页
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点 B改变方向到点C，则两次位移的和可用 哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
AB BC AC
A
B
第5页/共21页
思考4：上述分析表明，两个向量可以相加 ，并且两个向量的和还是一个向量.一般地 ，求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 上述求两个向量和的方法，称为向量加法的 三角形法则.对于下列两个向量a与b，如何 用三角形法则求其和向量？
OA1 A1A2 A2 A3 An1An An AO
等于什么向量？
OA1 A1A2 A2 A3 An1An An AO 0
第15页/共21页
理论迁移
向行驶，同时
河水的流速为2km/h，求船的实际航
行的速度的大小与方向(用与流速间的
3.两个向量的和的模不大于这两个向量的模的 和，这是一个不等式性质，解题中具有一定的 功能作用.
第19页/共21页
作业： （一）课时作业5.2.1 （二）1、预习内容：课本p110~p112
2、预习提纲 （1）向量减法的定义； （2）向量减法的三角形法则； （3）向量减法与加法的联系.
第20页/共21页
系如何？
O
B
C A
第8页/共21页
思考7：上述求两个向量和的方法，称为 向量加法的平行四边形法则.对于下列两 个向量a与b，如何用平行四边形法则求 其和向量？
a
ｂ
B
ｂ
O
a
A
第9页/共21页
思考8：用三角形法则和平行四边形法 则求作两个向量的和向量，其作图特点 分别如何？
三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.
思考5：实数的加法运算满足交换律，
即对任意a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那
么向量的加法也满足交换律吗？如何检
验？
O
a
a
B
ｂ
A a＋b
C
ｂ
O A
a
a b OA AC OC
b a OB BC OC
第13页/共21页
思考6：实数的加法运算满足结合律，
即对任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋
33一艘船从一艘船从aa点出发以点出发以vv11的速度向垂直于对岸的方向行驶同时河水的流速的速度向垂直于对岸的方向行驶同时河水的流速为为vv22船的实际航行的速度的大小为船的实际航行的速度的大小为4kmh4kmh方向与水流间的夹角是方向与水流间的夹角是求vv11和和vv44一艘船以一艘船以5kmh5kmh的速度在行驶同时河水的流速为的速度在行驶同时河水的流速为2kmh2kmh则船的实际航则船的实际航行速度大小最大是行速度大小最大是kmhkmh最小是最小是kmh
2.用有向线段表示向量，向量的大小 和方向是如何反映的？什么叫零向量 和单位向量？
第2页/共21页
3.两个实数可以相加，从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层 面上，那是没有多大意义的.我们希望 两个向量也能相加，拓展向量的数学意 义，提升向量的理论价值，这就需要建 立相关的原理和法则.
第10页/共21页
探究二：向量加法的代数运算性质
思考1：零向量0与任一向量a可以相加 吗？ 规定：a＋0=0＋a=a，
思考2：若向量a与b为相反向量，则a＋ b等于什么？反之成立吗？
a与b 为相反向量
a＋b=0
思考3：若向量a与b同向，则向量a＋b 的方向如何？若向量a与b反向，则向量 a＋b的方向如何？
第3页/共21页
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按 原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
第11页/共21页
思考4：考察下列各图，|a＋b|与|a|＋
|b|的大小关系如何？|a＋b|与|a|－|b|的
大小关系如何？
a
C
a
a＋b ｂ
ｂ
ｂ
A aB
a＋b
a＋b
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取 等号；
|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取
等号.
第12页/共21页
c=a＋（b＋c）.那么向量的加法也满足
结合律吗？如何检验？
C
a+b+c
c
a b c
a O
OA AB BC OB BC OC
a
A
B
ｂ
a b c
OA AB BC OA AC OC
第14页/共21页
思考7：OA1 A1A2 A2 A3 An1An 等于什么向量？
OA1 A1A2 A2 A3 An1An OAn
会计学
1
学习目标
⑴掌握向量加法的定义;
⑵会用向量加法的三角形法则和向量的平行四边形
法则作两个向量的和向量;
⑶掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进
行
向
量
计
算
平新疆 王新敞 奎屯
面
向
量
数
量
积
的
定
义
和
运
算
律
的
应
用
.
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问题提出
1.向量、平行向量、相等向量的含义分 别是什么？
60
第18页/共21页
小结
1.向量概念源于物理，位移的合成是向量加法 三角形法则的物理模型，力的合成是向量加法 平行四边形法则的物理模型.
2.任意多个向量可以相加，并可以按任意次序 、组合进行.若平移这些向量使其首尾相接， 则以第一个向量的起点为起点，最后一个向量 的终点为终点的向量，即为这些向量的和.
夹角表示).
C D
A
B
A
第16页/共21页
解：设
表示船垂直于对岸行驶的速度， 表示水流的速度，以AD,AB为邻
边作平行四边形ABCD，则
AD
就是船的实际航行的速度.
AB
AC
在 RtABC 中，| AB | 2 ，| BC | 2 3 所以 | AC | | AB |2 | BC |2 4 因为 tan CAB 2 3 3 CAB 60
a
ｂ
C a＋b
A a
第6页/共21页
ｂ
B
思考5：图1表示橡皮条在两个力F1和F2 的作用下，沿MC方向伸长了EO；图2表
示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同
方向伸长了相同长度.从力学的观点分
析，力F与F1、F2之间的关系如何？
F1
M
C
EO
图1
F2
M
F EO
F=F1+F2
图2
第7页/共21页
思考6：人在河中游泳，人的游速 为OA ,水流速度为OB ，那么人在水 中的实际速度OC 与OA 、OB 之间的关
3为和、vv一22，. 艘船船的从实A际点航出行发的以速v1度的的4速3大度km小向为垂4直k2m于3/km对h，/ h岸方的向方与向水行流驶间，的同夹时角河是水的，流求速v1 4、一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航
行速度大小最大是_____km/h，最小是____km/h.
2
答：船的实际航行的速度的大小为 4km / h ,方向与水
流速间的夹角6为0 .
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课堂练习
1、一艘船从A点出发以
的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行
的速度的大小为4km/h，求水流的速度.
2、一艘船距对岸 ，以
的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸
时，船的实际航程为8km，求河水2的3k流m/速h .
CA
B
第4页/共21页
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点 B改变方向到点C，则两次位移的和可用 哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
AB BC AC
A
B
第5页/共21页
思考4：上述分析表明，两个向量可以相加 ，并且两个向量的和还是一个向量.一般地 ，求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 上述求两个向量和的方法，称为向量加法的 三角形法则.对于下列两个向量a与b，如何 用三角形法则求其和向量？
OA1 A1A2 A2 A3 An1An An AO
等于什么向量？
OA1 A1A2 A2 A3 An1An An AO 0
第15页/共21页
理论迁移
向行驶，同时
河水的流速为2km/h，求船的实际航
行的速度的大小与方向(用与流速间的
3.两个向量的和的模不大于这两个向量的模的 和，这是一个不等式性质，解题中具有一定的 功能作用.
第19页/共21页
作业： （一）课时作业5.2.1 （二）1、预习内容：课本p110~p112
2、预习提纲 （1）向量减法的定义； （2）向量减法的三角形法则； （3）向量减法与加法的联系.
第20页/共21页
系如何？
O
B
C A
第8页/共21页
思考7：上述求两个向量和的方法，称为 向量加法的平行四边形法则.对于下列两 个向量a与b，如何用平行四边形法则求 其和向量？
a
ｂ
B
ｂ
O
a
A
第9页/共21页
思考8：用三角形法则和平行四边形法 则求作两个向量的和向量，其作图特点 分别如何？
三角形法则：首尾相接连端点； 平行四边形法则：起点相同连对角.
思考5：实数的加法运算满足交换律，
即对任意a，b∈R，都有a＋b=b＋a.那
么向量的加法也满足交换律吗？如何检
验？
O
a
a
B
ｂ
A a＋b
C
ｂ
O A
a
a b OA AC OC
b a OB BC OC
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思考6：实数的加法运算满足结合律，
即对任意a，b，c∈R，都有（a＋b）＋
33一艘船从一艘船从aa点出发以点出发以vv11的速度向垂直于对岸的方向行驶同时河水的流速的速度向垂直于对岸的方向行驶同时河水的流速为为vv22船的实际航行的速度的大小为船的实际航行的速度的大小为4kmh4kmh方向与水流间的夹角是方向与水流间的夹角是求vv11和和vv44一艘船以一艘船以5kmh5kmh的速度在行驶同时河水的流速为的速度在行驶同时河水的流速为2kmh2kmh则船的实际航则船的实际航行速度大小最大是行速度大小最大是kmhkmh最小是最小是kmh
2.用有向线段表示向量，向量的大小 和方向是如何反映的？什么叫零向量 和单位向量？
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3.两个实数可以相加，从而给数赋予了 新的内涵.如果向量仅停留在概念的层 面上，那是没有多大意义的.我们希望 两个向量也能相加，拓展向量的数学意 义，提升向量的理论价值，这就需要建 立相关的原理和法则.
第10页/共21页
探究二：向量加法的代数运算性质
思考1：零向量0与任一向量a可以相加 吗？ 规定：a＋0=0＋a=a，
思考2：若向量a与b为相反向量，则a＋ b等于什么？反之成立吗？
a与b 为相反向量
a＋b=0
思考3：若向量a与b同向，则向量a＋b 的方向如何？若向量a与b反向，则向量 a＋b的方向如何？
第3页/共21页
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按 原方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
A
BC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按 反方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
AB BC AC
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思考4：考察下列各图，|a＋b|与|a|＋
|b|的大小关系如何？|a＋b|与|a|－|b|的
大小关系如何？
a
C
a
a＋b ｂ
ｂ
ｂ
A aB
a＋b
a＋b
|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a与b同向时取 等号；
|a＋b|≥||a|－|b||，当且仅当a与b反向时取
等号.
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c=a＋（b＋c）.那么向量的加法也满足
结合律吗？如何检验？
C
a+b+c
c
a b c
a O
OA AB BC OB BC OC
a
A
B
ｂ
a b c
OA AB BC OA AC OC
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思考7：OA1 A1A2 A2 A3 An1An 等于什么向量？
OA1 A1A2 A2 A3 An1An OAn