2019年北京第一二三中学高三数学理模拟试卷含解析

2019年北京第一二三中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 某四面体的三视图如下图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中最大面积是（）
A．B．4 C．D．
参考答案：
C
2. 已知等比数列{z n}中，，，（其中i为虚数单位，
，且y＞0），则数列{z n}的前2019项的和为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
3. 函数在（0，2）内零点的个数为（）
A．0 B．1 C．2
D．4
参考答案：
B
4. 已知，则( )
A. B. C.－3 D.3
参考答案：
D
5. 设为的虚部，为的实部，则（）
A．-1 B．-2 C．-3 D．0
参考答案：
A
因为，所以；
因为，所以；
因此，选A.
6. 函数f（x）=的大数图象为（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数的值小于0，排除B，即可得到答案.
【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；
又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.
【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7. 已知A、B、C是球O的球面上三点,三棱锥O-ABC的高为,且, ,
, 则球O的表面积为( )
A.24π
B.32π
C.48π
D.192π
参考答案：
C
8. 已知定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有
；②对于任意的③函数的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是
（）
A． B．
C． D．
参考答案：
A
略
9. 已知平面向量且则
（）
A. B. C.
D.
参考答案：
C
略
10. 已知命题，命题，则 ( )
A.命题是假命题
B.命题是真命题
C.命题是真命题
D.命题是假命题
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知复数是纯虚数，则实数的值是_________.
参考答案：
12. 已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是．
参考答案：
4x－y－4=0 或y=x+2
13. 已知函数f（x）=，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（0）的值为．
参考答案：
2
【考点】导数的运算．
【分析】先求导函数f′（x），然后将x=0代入导函数即可求出f′（0）的值．
【解答】解：=；
∴．
故答案为：2．
14. 在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2=2x上的点P到坐标原点O的距离为，则线段PF的长为．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设P（m2，m），由P到坐标原点O的距离为，列式并解之得m=，得P
的坐标为（3，±），再根据抛物线方程得它的焦点F坐标为（，0），利用两点的距离公式可以算出线段PF的长．
【解答】解：∵抛物线方程为y2=2x，∴抛物线的焦点为F（，0）
设P（m2，m），得P到坐标原点O的距离为
|PO|==，解之得m=
∴P的坐标为（3，±），得线段PF的长为|PF|==
故答案为：
【点评】本题给出抛物线上一点到原点的距离，求该点到抛物线焦点的距离，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．
15. 下列说法中错误的命题是.
①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;
②命题“?x∈R,x2-x≤0”的否定是“?x∈R,x2-x≥0”;
③“矩形的两条对角线相等”的逆命题是真命题;
④“x≠3”是“|x|≠3”成立的充分条件.
参考答案：
2,3,4
略
16. 已知不等式的解集为，不等式的解集为，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________
参考答案：
略
17. 已知等差数列{a n}前n项和为Sn. 若m>1, m∈N且, 则m等于____________.
参考答案：
10
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （13分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），点P是椭圆C上异于A，B的动点，过点B作椭圆C的切线l，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2c时，|AF|=|DF|．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并证明你的结论．参考答案：
【考点】：椭圆的简单性质．
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：（Ⅰ）依题可知A（﹣a，0）、，通过|AF|=|FD|化简得
a=2c，结合a2=3+c2得a2=4，进而可得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），设直线AP的方程为y=k（x+2），
（k≠0）．设点P的坐标为（x0，y0），联立，结合韦达定理及点F（1，0），分、两种情况讨论即可．
解：（Ⅰ）依题可知A（﹣a，0）、，
由|AF|=|FD|，得，
化简得a=2c，由a2=3+c2得 a2=4，
故所求椭圆C的方程为：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），在点B处的切线方程为x=2．
结论：以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：
由题意可知直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为y=k（x+2），（k≠0）．
则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k）．
联立，得（4k2+3）x2+16k2x+16k2﹣12=0．
设点P的坐标为（x0，y0），
由韦达定理：．
所以，．
因为点F坐标为（1，0），分情况讨论：
（1）当时，点P的坐标为，直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，±2）．
此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y?1）2=1与直线PF相切；
（2）当时，直线PF的斜率．
所以直线PF的方程为，即．
故点E到直线PF的距离d===|2k|；
综上所述，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．
【点评】：本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，涉及到中点坐标公式、韦达定理、点到直线的距离公式等知识，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
19. （满分12分）
已知函数的单调递减区间是（1，2），且满足。

（1）求的解析式；
（2）对任意，关于的不等式在
上有解，求实数的取值范围。

参考答案：
（I）由已知得，，
∵函数的单调递减区间是（1，2），
∴的解是
∴的两个根分别是1和2，且
从且可得
又得，∴
（II）由（I）得，
∴时，，∴在上是增函数，
对，当时，
要使在上有解，
即
∴，即对任意恒成立，即对任意恒成立，
设，，则
，令，得或在，的符号与的单调情况如下表：
∴时，
∴
20. 某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现在采用
分层抽样法（层内采用不放回的简单随机抽样）从甲，乙两组中共抽取3人进行技术考核.
（1）求甲，乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率；
（3）令X表示抽取的3名工人中男工人的人数，求X的分布列及数学期望．
参考答案：
解：（1）
答：从甲组抽取2名，从乙组抽取1名
（2）从甲组抽取的工人中恰有1名女工的概率为
（3）X可取值：0，1，2，3
X的分布列为
21. （本小题满分13分）某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品，在自动包装传送带上每隔一小时抽一包产品，称其重量（单位：克）是否合格，分别记录抽查数
据，获得重量数据茎叶图（如右）.
（Ⅰ）根据样本数据，计算甲、乙两个车间产品重量的均值与方差，并说明哪个车间的产品的重量相对稳定；
（Ⅱ）若从乙车间6件样品中随机抽取两件，求所抽取两件样品重量之差不超过2克的概率．
参考答案：
（Ⅰ）设甲、乙两个车间产品重量的均值分别为、，方差分别为、，则， (1)
分，……………………2分
，……………………4分
，……………………6分
由于，所以甲车间的产品的重量相对稳定；……………………7分（Ⅱ）从乙车间６件样品中随机抽取两件，结果共有15个：
．………………9分
设所抽取两件样品重量之差不超过２克的事件为A，则事件A共有4个结果：
．……11分
所以．………13分
22. 已知函数满足2+，对x≠0恒成立，在数列{an}、{bn}
中，a1=1，b1=1，对任意x∈N+，，。

（1）求函数解析式；
（2）求数列{an}、{bn}的通项公式；
（3）若对任意实数,总存在自然数k,当n≥k时,恒成立，求k 的最小值。

参考答案：
解：（1），∴，联立解得
（2）∵，∴，
∴是以1为首项、2为公差的等差数列，，∴
又，
相加有，∴
（3）对任意实数λ∈[0，1]时，恒成立，
则恒成立，变形为，恒成立。

设，
∴，
∴∴或，n∈N+
故kmin=3
略。