初三数学几何定理的运用

初三数学几何定理的运用
：教师在教学时经常需要面对不同的学生，如何依照不同的情形采取相应的措施显得专门必要。

一些学生到了初三仍对几何证明题书写感到困难，摸索时没有明确的目的。

本文针对这些情形，充分重视了“定理教学”，采取了先集中讲授再平常渗透的方法，提出了从定理的差不多要求动身，通过建立表象、组合定理、联想定理等教学计策，从而使学生具备“用定理”的意识。

：建立表象、组合定理、联想定理
教师在教途上并不是一帆风顺的，专门在农村中学，有时由于教学上的需要，往往到了初三，也会显现面对生疏学生的情形。

笔者今年就遇到了尴尬：几何证明题学生会证的，却可不能书写或书写不完整；明白步骤的缘故和结论，但讲不出定理的内容；更多的学生面对几何题在证明时凭感受。

面对着时刻紧、任务重，如何办呢？通过一番苦思冥想，针对学生基础差、底子薄，决定狠抓“定理教学”。

通过一段时刻的复习，学生普遍反映在证题和书写时有了“依靠”，也发觉了定理的价值，差不多树立了“用定理”的意识。

那么，学生在证题时到底是由哪些缘故造成思维受阻，产生解题的困惑呢？我们把它归纳为以下几点：
⑴不明白得定理是进行推理的依据。

事实上假如我们把一道完整的几何证明题的过程进行分解，发觉它的骨干是由一个一个定理组成的。

而学生书写的不完整、不严密，就因为缺乏对定理必要的明白得，可不能用符号语言表达，从而不能严谨推理，造成几何定理无法具体运用到习题中去。

⑵找不到运用定理所需的条件，或者在几何图形中找不出定理所对应的差不多图形。

具体表现在不熟悉图形和定理之间的联系，摸索时把定理和图形分割开来。

关于定理或图形的变式不明白得，图形稍作改变（或不是标准形），学生就难以摸索。

⑶推理过程因果关系模糊不清。

针对以上的缘故，我们在教学中采取了一些自救计策。

一、教学环节
对几何定理的教学，我们在集中讲授时分5个环节。

第1、2环节是明白得定理的差不多要求；第3环节是差不多推理模式，第4环节是定理在推理过程中的出现方式，提出了“模式＋定理”的书写方法；第5环节是定理在解题分析时的导向作用，提出了“图形＋定理”的摸索方法。

程序图设计如下：
差不多要求→重新建立表象→推理模式→组合定理→联想定理
二、操作分析和说明
⒈定理的差不多要求
我们认为，能正确书写证明过程的前提是学会对几何定理的书写，因为几何定理的符号语言是证明过程中的差不多单位。

因而在教学中我们采取了“一划二画三写”的步骤，让学生尽快熟悉每一个定理的差不多要求，并重新整理了初中时期的定理（见附页，此只列出与本文有关的定理），集中展现给学生。

例如定理43：直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

一划：确实是找出定理的题设和结论，题设用直线，结论用波浪线，要求在划时突出定理的本质部分。

如：“直角三角形”和“高线”、“相似”。

二画：确实是依据定理的内容，能画出所对应的差不多图形。

如：
三写：确实是在分清题设和结论的基础上，能用符号语言表达，承诺采纳等同条件。

如：∵△ABC是Rt△，CD⊥AB于D（条件也可写成：∠ACB＝90°,∠CDB＝90°等)∴△ACD∽△BCD∽△ABC。

学生在书写时果然显现了一些问题：
①不明白得每个定理的条件和结论。

学生在书写时往往漏掉条件（如定理19漏掉垂直，定理46漏掉高、中线等）；对条件太简单的可不能写（如定理3）；或者把条件当成结论（如定理12把三线都当成结论）。

②还表现在思维偏差。

我们的要求是会用定理，而有些学生把定理重新证明一遍（如定理5、6）；或者在一个定理中显现∵××，又∵××，∴××的错误。

③更多的是没有抓住本质。

具体表现在把非本质的条件当成本质条件（如定理7显现∵∠1和∠2是同位角，∴AB∥CD）；条件重复（如定理4 9，结论∠APO＝∠BPO差不多包括过圆心O，学生在条件中还加以说明）；图形过于专门（如把定理1的图画成射影定理的差不多图形）；文字过多（一些定理译不出符号语言，用文字代替）等。

⒉重新建立表象
从具体到抽象，由感性到理性已成为宽敞数学教师传授知识的重要原则。

“表象”确实是人们对过去感知过的客观世界中的对象或对象在头脑中留下来的能够再现出来的形象，具有一定的鲜亮性、具体性、概括性和抽象性。

由于几何的每一个定理都对应着一个图形，这给我们在教学中提供了一定的便利。

我们要求学生对定理的表象不能只停留在实体的形象上，而是让学生有意识的记图形，想图形，以形成和唤起表象。

我们认为，这关于明白得、巩固和经历几何定理起着重大的作用。

教给学生想形象的差不多方法后，我们接下去的步骤是用实例引导学生，下面是一段经整理后的课堂教学要紧内容：
⑴问：听了老师的介绍后，你如何样回忆垂径定理的形象？
答：垂径定理我在想的时候，脑子里留下“两条等弧、两条相等的线段、一个直角”在一闪一闪的，以后看到弧相等或其他两个条件之一，脑子里就会出现出垂径定理。

目的：建立单个定理的表象，要求能想到非标准图形。

连续问：看到弧相等，你们只想到了垂径定理，其他的定理就没有想起来吗？
答：想到了圆心角相等、圆周角相等、弦相等……
甚至有学生想到了两条平行弦……
目的：通过表象，进行联想，使学生明白得定理间的联系。

⑵问：从定理21开始，你能找出和它有联系的定理吗？
答：有定理22（擦短使平行直线变成线段），定理25（专门化成菱形），定理27……
目的：一样化或专门化或图形的平移、旋转等变化，加深定理间的联系。

⑶下面的步骤，我们让学生自主摸索。

学生在不断尝试的过程中，通过比较、分析、判定，进一步熟悉定理的三种语言、定理之间的联系和区别。

从学生摸索的角度看，他们要紧是在查找差不多图形，由于定理之间有一定的联系，在一个差不多图形中往往存在着另一个残缺的差不多图形，因此学生大多通过连线、延长、作圆、平移、旋转等手段，也有通过专门化、找同结论等途径把不同的定理联系起来。

下面摘录的是学生自主摸索后，得到的富有创意性的结论。

①定理16（延长中线成矩形）→定理24（作矩形的外接圆）→定理3 4。

②定理51（一线过圆心，且两线垂直）→定理36（一线平移成切线）→定理47、48（绕切点旋转）→定理50。

③如下图，把EF向下平移（或绕A点旋转），使定理37和50联系起来（有同结论∠α＝∠D）：
⒊推理模式
从学生各方面的反馈情形看，多数学生觉得几何抽象还在于几何推理形式多样、过程复杂而又摸不定，往往听课时明白该如何写，而自己书写时又漏掉某些步骤。

如何样将形式多样的推理过程让学生看得清而又摸得着呢？为此，我们在二步推理的基础上，通过归纳整理，总结了三种差不多推理模式。

具体教学分三个步骤实施：
⑴精心设计三个简单的例题，让学生归纳出三种差不多推理模式。

①条件→结论→新结论（结论推新结论式）
②新结论（多个结论推新结论式）
③新结论（结论和条件推新结论式）
⑵通过已详细书写证明过程的题目让学生识别不同的推理模式。

⑶通过具体习题，学生有意识、有预见性地练习书写。

这一环节我们的目的是让学生先明白得证明题的大致框架，在具体书写时有一定的模式，有效地克服了学生书写的盲目性。

但教学说明学生仍旧显现不必要的跳步，这是什么缘故呢？我们把它归结为对推理的因果关系不明确、定理是推理的依据和单位不明白。

因而我们依照需要，又设计了以下一个环节。

⒋组合定理
差不多推理模式中的骨干部分依旧定理的符号语言。

因而在这一环节，我们让学生在证明的过程中找出单个定理的因果关系、多个定理的组合方式，然后由几个定理组合后构造图形，进一步强化学生“用定理”的意识。

下面通过一例来说明这一步骤的实施。

例1：已知如图，四边形ABCD外接⊙O的半径为5，对角线AC与B D相交于E，且AB＝AE·AC，BD＝8。

求△BAD的面积。

（2021年嘉兴市质量评估卷六）
证明：连结OB，连结OA交BD于F。

学生从每一个估量符号中找出所对应的定理和隐含的要紧定理：
比例差不多性质→S/AS/证相似→相似三角形性质→垂径定理→勾股定理→三角形面积公式
由于学生自己主动找定理，因而印象深刻。

在证明过程中确实是由一个一个定理连结起来的，也让学生体会到把定理（不排除概念、公式等）镶嵌在差不多模式中，就能形成严密的推理过程。

现在，可顺势布置以下的任务：给出勾股定理，你能再结合一个或多个定理，构造图形，并编出证明题或运算题吗？
实践说明：通过“模式＋定理”书写方法的熏陶后，学生差不多具备了完整书写的意识。

⒌联想定理
分析图形是证明的基础，几何问题给出的图形有时是某些差不多图形的残缺形式，通过作辅助线构造出定理的差不多图形，为运用定明白得决问题制造条件。

图形因此能够引发联想（这也是教师分析几何证明题、学
生证题的差不多方法之一），但关于识图或想象力较差的学生来说，就比较困难，他们往往存有疑问：到底如何样才能分解出差不多图形呢？在复杂的图形中如何样找到所需要的差不多图形呢？因而我们从另一侧面，即证明题的“已知、求证”上给学生以支招，即由命题的题设、结论联想某些定理，以配合图形想象。

例：如图，⊙O1和⊙O2相交于B、C两点，AB是⊙O1的直径，AB、AC的延长线分别交⊙O2于D、E，过B作⊙O1的切线交AE于F。

求证：BF∥DE。

讨论此题时，启发学生由题设中的“AB是⊙O的直径”联想定理“直径所对的圆周角是90°”，因而连结BC；“过B作⊙O的切线交AE于F”联想定理“切线的性质”，得出∠ABF＝90°。

从而构造出差不多图形②③。

由命题的结论“BF∥DE”联想起“同位角相等，两直线平行”定理，构造出差不多图形④。

将上述差不多图形②③④的性质结合在一起，学生就易于摸索了。

这一环节我们的引导语有：“由已知中的哪一个条件，你能联想起什么定理？”、“条件组合后能构成哪个定理？”、“有无对应的差不多图形？”、“能否构造出差不多图形？”等。

目的是让学生树立起“图形＋定理”的摸索方法，把往常的无意识摸索变成有目的、有意识的摸索。

三、几点认识
复习的成效最终要表达在学生身上，只有通过学生的自身实践和领会才是最佳复习途径，因此在复习时，我们始终坚持主体性原则。

在组织复习的各个环节中，充分调动学生学习的主动性和积极性：提出问题让学生想，设计问题让学生做，方法和规律让学生体会，制造性的解答共同完善。

“没有反思，学生的明白得就不可能从一个水平升华到更高的水平”（弗赖登塔尔）。

我们认为传授方法或解答后让学生进行反思、领会是专门好的方法，因此我们在教学时总留出足够的时刻来让学生进行反思，使学生尽快形成一种解题思路、书写方法。

集中讲授能使学生对几何定理的应用有一定的认识，但假如不加以巩固，也会造成遗忘。

因而我们也坚持了渗透性原则，在平常的解题分析中经常有意识地引导、反复渗透。

参考资料：
①高三数学第二轮复习的理论和实践孟祥东等《中学数学教与学》202
1、3
②全国初中数学教育第十届年会论文集P380、P470
附录：初中数学几何定理集锦（摘录）
1.同角（或等角）的余角相等。

3.对顶角相等。

5.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。

6.在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线是平行线。

7.同位角相等，两直线平行。

12.等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。

16.直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。

19.在角平分线上的点到那个角的两边距离相等。

及其逆定理。

21.夹在两条平行线间的平行线段相等。

夹在两条平行线间的垂线段相等。

22.一组对边平行且相等、或两组对边分别相等、或对角线互相平分的四边形是平行四边形。

24.有三个角是直角的四边形、对角线相等的平行四边形是矩形。

25.菱形性质：四条边相等、对角线互相垂直，同时每一条对角线平分一组对角。

27.正方形的四个角差不多上直角，四条边相等。

两条对角线相等，同时互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。

34.在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对相等，那么它们所对应的其余各对量都相等。

36.垂直于弦的直径平分这条弦，同时平分弦所对弧。

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，同时平分弦所对的弧。

43.直角三角形被斜边上的高线分成的两个直角三角形和原三角形相似。

46.相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

相似三角形面积的比等于相似比的平方。

37.圆内接四边形的对角互补，同时任何一个外角等于它的内对角。

47.切线的判定定理通过半径的外端同时垂直于这条半径的直线是圆的切线。

48.切线的性质定理①通过圆心垂直于切线的直线必通过切点。

②圆的切线垂直于通过切点的半径。

③通过切点垂直于切线的直线必通过圆心。

49.切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

连结圆外一点和圆心的直线，平分从这点向圆所作的两条切线所夹的角。

50.弦切角定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

要练说，得练看。

看与说是统一的，看不准就难以说得好。

练看，确实是训练幼儿的观看能力，扩大幼儿的认知范畴，让幼儿在观看事物、观看生活、观看自然的活动中，积存词汇、明白得词义、进展语言。

在运用观看法组织活动时，我着眼观看于观看对象的选择，着力于观看过程的指导，着重于幼儿观看能力和语言表达能力的提高。

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确仿照，才能不断地把握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我专门重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清晰，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，如此能引起幼儿的注意。

当我发觉有的幼儿不用心听别人发言时，就随时夸奖那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们用心听，用心记。

平常我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，如此幼儿学得生动爽朗，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了经历，又进展了思维，为说打下了基础。

51.相交弦定理；切割线定理；割线定理。