专题06 三角函数模型的简单应用(A卷)-2018-2019学年高一数学同步单元双基双测“AB”卷

班级 姓名 学号 分数
（测试时间：120分钟 满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距
，低潮时水深为
，高潮时水深为
．每天潮涨潮落
时，该港口水的深度（）关于时间（）的函数图象可以近似地看成函数的图象，
其中，且
时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】
A
2．电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I ＝Asin ()ωt ＋φ(A>0，ω>0，0<φ<π
2)的图象如图所示，
则t ＝
1
100
秒时，电流强度I ＝(
)
A ．－5安
B ．5安
C ．53安
D ．10安 【答案】A
【解析】由图知A ＝10，T ＝2(4300－1300)＝150，ω＝2πT ＝2π
1
50＝100π，∴I ＝10sin ()100πt ＋φ.
由于图象过点⎝
⎛⎭
⎪
⎫1300，10，代入解析式得
10＝10sin(100π·1
300＋φ)，
即sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫π3＋φ＝1，从而π3＋φ＝2k π＋π2，φ＝2k π＋π6，k ∈Z.
∵0<φ<π2，∴φ＝π6.∴I ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6.
当t ＝
1100时，I ＝10sin ⎝
⎛⎭⎪⎫100π·1100＋π6＝－5.故选A. 学科&网
3．如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心距水面2米，已知水轮每分钟转4圈，水轮上的点到水面距
离（米）与时间（秒）满足关系式
，则有 （ ）
A. B.
C.
D.
【答案】C
4．一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点0P ，离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从
0P 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离()h m 与时间(min)t 之间的函数关系式是（ ）
A ．()8sin 106
h t t π
=-+ B ．()8cos 106
h t t π
=-+ C ．()8sin 86
h t t π
=-+ D ．()8cos
86
h t t π
=-+
【答案】B
5．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin 26t ππ⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()
A ． 2π s
B ． π s
C ． 0.5π s
D ． 1 s 【答案】D
【解析】单摆来回摆动一次所需的时间正好是函数s 的一个周期，
s 的函数关系式为
626s sin t ππ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭， 22,12T πωππ∴===，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s ，故选D. 6．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )
【答案】C
7.已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin160πt ＋110.其中f(t)为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数为( ) A ．60 B ．70 C ．80 D ．90 【答案】C
【解析】由题意可得f ＝1T ＝160π
2π
＝80.所以此人每分钟心跳的次数为80.故选C.
8.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
6
x ＋φ
＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10 【答案】C
【解析】由图知－3＋k ＝2，k ＝5，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6x ＋φ＋5，y max ＝3＋5＝8.故选C. 9.海水受日月的引力，在一定的时候发生潮涨潮落，船只一般涨潮时进港卸货，落潮时出港航行，某船吃水深度（船底与水面距离）为4米，安全间隙（船底与海底距离）为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以0.3米/小时的速度减少，该港口某季节每天几个时刻的水深如下表所示，若选择
()sin y A x K ωφ=++（0,0A ω>>）拟合该港口水深与时间的函数关系，则该船必须停止卸货驶离港
口的时间大概控制在（要考虑船只驶出港口需要一定时间）
A. 5:00至5:30
B. 5:30至6:00
C. 6:00至6:30
D. 6:30至7:00 【答案】C
10. 为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖指向位置P(x ，y)．若初始位置为P 0⎝
⎛⎭
⎪⎫
32，12，秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始沿顺时针方向走动，则点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系为( )
A ．y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫π30
t ＋π6
B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
60t －π6
C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
30t ＋π6
D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
30t －π6
【答案】C
【解析】由题意，函数的周期为T ＝60，∴ω＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2(秒
针是顺时针走动)．∵初始位置为P 0⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，12，∴t ＝0时，y ＝12.∴sin φ＝12，φ可取π6.∴函数解析式为
y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π
30t ＋π6.故选C.
11．如图是某市夏季某一天从时到
时的气温变化曲线，若该曲线近似地满足函数
，则该市这一天
时的气温大约是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
12. 将函数)6
2sin(2)(π
+
=x x f 的图象向左平移
12
π
个单位，再向上平移1个单位，得到)(x g 的图象.若9)()(21=x g x g ，且]2,2[,21ππ-∈x x ，则212x x -的最大值为（ ）
A ．
625π B ．635π C ．1249π D ．4
17π
【答案】C
【解析】由题意可得()()12sin(2)1123
g x f x x ππ
=+
+=++，所以max ()3g x =，又12()()9g x g x =，所
以12()()3g x g x ==，由()2sin(2)133
g x x π
=+
+=得2()3
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，因为
12,[2,2]x x ππ∈-，所以21max
49(2)2()(2)121212
x x πππππ-=⨯+--=，故选C.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.某时钟的秒针端点A 到中心O 的距离为5 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转，当时间t ＝0时，点A 与钟面上标12的点B 重合，将A ，B 两点间的距离d ()cm 表示成t ()s 的函数，则d ＝_____________，其中t∈[]0，60. 【答案】10sin π
60
t.
【解析】如图所示，
OA ＝OB ＝5()cm ，秒针由B 均匀地旋转到A 的时间为t ()s ，则∠AOB＝π
30t ，取AB 中点为C ，则OC⊥AB，
从而∠AOC＝12∠AOB ＝π
60
t.
在Rt △AOC 中，AC ＝OAsin ∠AOC ＝5sin π60t ，∴d ＝AB ＝10sin π
60t ，t ∈[]0，60.
故填10sin π
60
t.
14．某实验室一天的温度（单位： 0C ）随时间t （单位： h ）的变化近似满足函数关系：
()102sin 12
3f t t π
π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， [)0,24t ∈，该实验室这一天的最大温差为__________．
【答案】4
15.已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I ＝52sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt －π2，t ∈[0，
＋∞)，则这种交流电在0.5 s 内往复运动的次数为________次． 【答案】25.
【解析】∵f＝1T ＝ω2π＝100π
2π
＝50，
∴0.5 s 内往复运动的次数为0.5×50＝25.故填25. 学科&网
16. 如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在t 秒时相对于平衡位置的高度h （厘米）由如下关系式
确定： [),0,h t t t =
∈+∞，则小球在开始振动（即0t =）时h 的值为_________，小球振
动过程中最大的高度差为__________厘米.
【答案】
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某实验室白天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系：
，.
（1）求实验室白天的最大温差；
（2）若要求实验室温差不高于，则在哪段时间实验室需要降温？
【答案】(1)最大温差为 (2) 在10时到18时实验室需要降温
【解析】
（1）已知，
因为，所以，，
所以在上取得最大值为12，取得最小值为9，
故实验室这一天最高温度为，最低温度为，最大温差为.
18. 如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.
【答案】见解析.
【解析】
设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·＋t·＝2π.所以t＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒.
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在·4＝的位置，则x C＝－cos·4＝－2，y C＝－sin·4＝－2.
所以C点的坐标为(－2，－2).
P点走过的弧长为π·4＝π.
Q点走过的弧长为π·4＝π.
19. 以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．
【答案】6月份盈利最大.
20. 如图，一个水轮的半径为,水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈，如果当水轮上点从水中浮现时(图中点)开始计算时间。

（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数；
（2）点第一次到达最高点大约需要多少时间？
【答案】(1);(2)点第一次到达最高点大约需要．
【解析】
（1）依题意可知的最大值为，最小为，
∴；
∵每秒钟内所转过的角为，得，
当时，，得，即，故所求的函数关系式为
点睛：（1）本题主要考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是求出
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21. 如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，
该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S ；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．
【答案】A =6
w π
=
,M ，P 两点间的距离为5km.
【解析】试题分析：由图中函数最大值可得到A 的值，由最高点与原点横坐标差得到四分之一个周期，利用三角函数的周期公式求出ω，将M 的横坐标代入求出M 的坐标，利用两点距离公式求出MP . 试题解析：依题意，有A ＝2，＝3，即T ＝12.
又T ＝
，∴ω＝.
22. 平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到
该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：
（1）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从
① ，② ，③ 中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；
（2）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（1）中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.
【答案】(1) 选②作为函数模型， ;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.
【解析】
（1）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：
-
依题意，选②做为函数模型，
，
；
又函数图象过点，即
，；
又，.。