XXGX第6章 计算全息

看看一维信号的例子
对函数f (x ,y )进行傅立叶变换：
(,)(,)f x y F u v →:2B
u 带宽为对抽样函数做傅立叶变换：
(,)(,)
s s f x y F u v →(,){(,)}(,)
s s n m n m
F u v f x y F u v x y ∞
∞
=−∞=−∞
==
−−ΔΔ∑∑F 函数在空间域被抽样，导致函数频谱F (u ,v )在空间频域的周期复现，频谱F (u ,v )的中心间隔为1/,1/x y
ΔΔ假定f (x ,y )是有限带宽函数，频谱在空间频域的一个有限区间上不为零，假设2Bx 和2B y 是这个有限区域在u ,v 方向上的宽度，即：
(,)
{(,)}0
F u v f x y ⎧=⎨
⎩F ,x x y y
B u B B v B −≤≤−≤≤这样就能用滤波的方法，分离出F (u ,v )，进而恢复出原函数
二、函数的复原：
只要抽样时满足抽样定理，其抽样后的函数f
s (x,y)的频谱
F s(u,v)就不会交叠，就可以选择一个合适的低通滤波器(如矩形函数)，通过滤波操作、再经逆傅立叶变换复原原函数f(x,y)。

脉冲幅度调制（PAM）
脉冲宽度调制（PWM）脉冲位置调制（PPM）二值化，具有很强的抗干扰和抗噪声能力。

事实上
、3π/2，与复平面上的实轴和虚轴所表示的在复平面上，可用四个基矢表示一个复矢量
uu v
v
f1、f2和f3是实非负数
将每一个抽样单元沿
应
在小单元中用开孔大小或灰度等级来表示振幅
(b) 物光波的频谱
(,){(,)}
=F
F u v f x y
α≥
u
6.3 计算傅立叶变换全息
制作过程：
6.3 计算傅立叶变换全息
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6.3.1 抽样
包含对物波函数和全息图的抽样
物面的抽样点数：
f ( x, y ) = a ( x, y ) exp[ jφ ( x, y )],
X ,Y
需要：δ x ≤
1 1 ,δ y ≤ 2uB 2v B
F (u , v) = A(u, v) exp[ jψ (u , v)], uB , vB ; 2u B , 2vB
所需抽样点数为：J K =
频谱面的抽样点数：
需要：δ u ≤ 1 1 ,δ v ≤ X Y
X Y
δxδy
= XY 2u B 2vB = SW
所需抽样点数为：M N =
(a) 物光波函数 抽样：确定物面和频谱面上的抽样点数
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2u B 2vB = XY 2uB 2vB = SW δu δv
(b) 物光波的频谱函数
F (u , v) = F { f ( x, y )}
可见：都刚好满足抽样定理时，物面和谱面的抽样点数相等，都 等于空间带宽积。

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抽样后：
f ( j , k ) = a( j , k ) exp[ jφ ( j , k )] ⎧ −J / 2 ≤ j ≤ J / 2 −1 ⎨ ⎩− K / 2 ≤ k ≤ K / 2 − 1 F ( m, n) = A(m, n) exp[ jψ (m, n)] ⎧− M / 2 ≤ m ≤ M / 2 − 1 ⎨ ⎩ −N / 2 ≤ n ≤ N / 2 −1
2. 计算
DFT, 基于FFT算法 F (u, v) = F { f ( x, y )}
= ∫∫ f ( x, y ) exp[− j 2π ( xu + yv)]dxdy
F (m, n) = DFT { f ( j , k )} =
J / 2 −1 K / 2 −1 j = J / 2 k =− K / 2
∑ ∑
⎡ j ⎛ mj nk ⎞ ⎤ f ( j.k ) exp ⎢ −2π ⎜ + ⎟⎥ K ⎠⎦ ⎝ J ⎣
F (m, n) = R ( m, n) + iI (m, n) = A( m, n) exp[ j Ψ (m, n)]
A(m, n) = R 2 (m, n) + I 2 (m, n)
对A(m, n)归一化
Ψ (m, n) = arctan[ I (m, n) / R(m, n)]
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3. 编码 通光孔径的高度
振幅编码
通光孔径的宽度
Lmnδ y, Lmn = A(m, n) W δ x, W 可取常数
4. 成图
绘制全息图，缩微照相
相位编码：
通光孔径的中心位置 Pmnδ x,
Pmn = Ψ (m, n) /(2π k )
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5. 再现
6. 几点讨论(实际制作时需注意的问题)
（1） 模式溢出的修正
Lm ,n = A( m, n), Pm ,n = Lm +1,n Ψ (m, n) 2π k Ψ (m + 1, n) = A(m + 1, n), Pm +1,n = 2π k
在特定衍射级次上得到再现像，一般选取±1级。

在对相位编码时，若开孔宽度选定后，当Ψ(m,n) 大于某值时， 第 m 个单元的矩形孔将跨入邻近的第(m+1)个单元，有可能与第 个单元 将跨 第 个单元 有可能与第 (m+1)个单元中的矩形孔重叠。

重叠部分的振幅本该相加，但对绘 图来说(尤其是二值化)不好做到，会 使全息再现失真。

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而开孔宽度不可能取得太小，太小时不易成图，且影响光能利用 率和衍射效率。

解决的办法是：将溢出部分移到本单元的另一侧。

(2)
相位误差的修正
Ψ (m, n) 2π k
Pm, n =
依据：是光栅衍射理论，因为CGH就是不规则的光栅结构。

各抽样 单元内，相应的位置具有相同的相位值。

孔径处的相位取单元中心 处的相位，这就隐含了整 个抽样单元内的相位值是 相等的，没有变化。

这显 然是近似的。

如果在一个抽样单元内，相位Ψ(u,v)的变化很缓慢，则这个近似 大致是成立的；但实际上单元内的相位总有变化。

因此，若不考 虑这一点，就会引入相位误差。

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(3) 降低振幅的动态范围
F (m, n) = R (m, n) + jI ( m, n) = A( m, n) exp[ j Ψ (m, n)]
校正方法是: 用矩孔 中心处的实际相位来 确定孔径的位置,即 矩孔中心的偏移量要 正比于矩孔中心处的 实际相位值。

孔径中 心位置函数为
频谱的振幅往往具有很大的动态范围，即高频成分A(m,n)很小、低 频成分A(m,n)很大。

这就意味着Lmn具有很大的动态范围，即 对应高频成分的开孔可能很窄，而对应 于低频成分的开孔可能很宽。

这会给CGH 的成图带来困难。

的成图带来困难 为了降低动态范围，可以在作DFT前对物光波函数的样点值乘以一 个随机相位，用它来平滑频谱。

这个随机相位因子对于再现像的观 察是不重要的，因为实际应用中观测的常常是再现像的强度。

这种 做法与光学全息中在物体前旋转毛玻璃板产生谩射光线的效应是相 同的。

u = mδ u +
δu mod 2π [Ψ (m, n)] 2π
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f s (m, n) = a (m, n) exp[ jφ (m, n)] f s' (m, n) = f s (m, n) exp[ jϕrand (m, n)]
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6.7
干涉计量
计算全息的典型应用
M2 S
第6.7节 计算全息的应用 第6.8节 计算全息的物理解释 第6.9节 第6 9节 二元光学(Binary Optics)
Laser
L1
L2 L4
CGH
L3 M1
P
2
6.8 计算全息的几种物理解释(by Lohmann)
光谱学家的解释(从光栅光谱的鬼线的角度来看) 物理学家的解释(实现一种复杂的波面变换，一个全 息图就是相应的波面变换器) 天线工程师的解释(将计算全息图看做一种天线阵列) 通讯工程师的解释(应用调制理论来解释计算全息)
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6.9
二元光学
6.9 二元光学(Binary Optics or Micro Optics)
上个世纪80年代中期，美国MIT林肯 实验室Veldkamp在设计新型传感系 统中，提出二元光学的概念。

微光学，1969年出现于日本一本杂 志上。

(特指：梯度折射率光线和微 小透镜) 二元光学元件以光的衍射为其工作 原理，采用计算机设计与微电子加 工技术在片基表面制作深度为亚微 米级、台阶形分布的纯相位元件。

微光学有两个主要分支：基于折射原理的梯度折射率光学 基于衍射原理的二元光学
什么是二元光学? 二元光学的特点 研究状况 发展趋势?
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二元光学概述
六十年代：
随着计算机制全息图以及相息图的发明和成功的制 作，引起了观念上的重大变革。

人们认识到应用这些新型的衍射光学元件，可方便 灵活的控制光路以实现多种光学功能，开辟光学系 灵活的控制光路以实现多种光学功能 开辟光学系 统设计的新天地。

传统光学
基于光波的折射和反射原理，利用透镜、反射镜和 棱镜等元件进行设计和实现各种光学功能。

衍射效应总是导致光学系统的分辨率受到限制，除 了光波的色散性质可应用于光谱学之外，传统光学 总是尽量的避免衍射效应造成的不利影响。

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七十年代：
在可见光和近红外光波段内制作具有高衍效的超精 细结构元件仍面临困难，因而限制了这些元件的应 用范围。

与此同时，微电子工业在制作技术方面也经历了一 场革命，光学和电子束制版以及干刻蚀技术逐渐发 展成熟，已成为制作精细结构元件的完善工具。

八十年代：
各种新型的加工制作方法不断涌现，能够制作高质 量和多功能的衍射光学元件。

随着元件尺寸的缩小，其精细结构周期可与波长相 比较时， 传统的衍射标量理论不再适用，促使了衍 射矢量理论的发展，极大地推动了衍射光学的发展。

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近年来：
更高级的设备 先进的制作技术 正确有效的理论模型 设计衍射光学元件的各种方法 由此一门新兴的光学分支——衍射光学应运而生，并已成为 二十一世纪光学中的前沿研究领域之一。

1984年，在美国国防部及空军的支持下，启动了一个名叫“二元光学” (binary optics) 的项目，极大地推动了衍射光学的发展。

此后，衍射光学的研究日益活 跃。

(美国喷气动力实验室、杜邦公司、亚利桑那光学中心；加拿大国家光学实 验室；德国爱尔兰根大学、爱森大学；俄罗斯西伯利亚研究所；日本东北大学； 瑞士Neuchatel大学；国内：中科院成都光电所、清华大学、中科院物理所、苏 州大学、深圳大学) 从1990年起，美国光学学会年会(OSA)和国际光学工程协会(SPIE)设有衍射光学 从1990年起 美国光学学会年会(OSA)和国际光学工程协会(SPIE)设有衍射光学 与二元光学专题讲座和衍射光学专题会议；美国和欧洲的重要光学杂志分别出版 衍射光学专集。

作为一个新学科领域已经形成 1992年5月美国商业性杂志“ Photonics”刊登一篇专题文章：“衍射光学大量产 生新一代的产品和拥有数百万美元的市场”。

表明：衍射光学产业正在形成
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二元光学技术
二元光学：是衍射光学的主要分支学科，是研究微 米、亚微米级特征尺寸光学元件的设计、 微细加工 技术及利用该元件以实现光束的发射、聚焦、传输、 成象、分光、图象处理、光计算等一系列功能的理 论和技术的学科，是光学与微电子、微计算机相互 融合、渗透而形成的前沿交叉学科。

是利用计算全息方法与大规模集成电路技术和微细加工技术 相结合，从而在任意片基材料上制作出位相深度为2pi的多 台阶微浮雕结构的衍射微光学元件，是一门新兴的前沿交叉 综合学科和高技术。

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二元光学的特点
体积小、重量轻、容易复制 衍射效率高 sin(π / L) η= ，其中：L = 2 N π /L
独特的色散性能
η
L=2 N
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更多的设计自由度
宽广的材料可选性
二元光学将二元浮雕面形转移到玻璃、电介质或金属基底上， 可用材料很多。

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二元光学的应用
能够实现特殊的光学功能 能够实现传统光学元件不能实现的光学波面 可以集成多种功能元件
微小光学系统中的微型元件 光学及神经网络计算、光学平行处理系统中的光互连元件 宽场及红外成象系统中的元件 光学滤波和材料加工系统中的衍射元件 抗反射和偏振态控制的亚波长光栅结构 光束整型、光束列阵发生器、微型光通信 光束整型 光束列阵发生器 微型光通信 外科医疗仪器中的双聚焦内窥透镜 光盘读出头的 NEC 衍射元件 能矫正色差畸变的 Redimax 热聚焦透镜 用于材料加工的高效能系列长寿命的CO2聚焦透镜
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像差较正——He-Ne激光聚焦校正器
像差较正—白内障病人眼球晶状体替代元件
3M公司的工作人员已对患白内障病人设计了替换眼球晶状 体的元件，但此种手术通常使用的是普通透镜，它们只能使 病人看见较近或较远的物体。

H e-Ne Laser N H e-Ne CO ZnSe
CO 2 Laser
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为解决这个问题，3M 公司传感器物理学家 J.Futhey 等在 普通透镜表面刻蚀二元光学元件，当光入射人眼时，二元光 普通透镜表面刻蚀二元光学元件 当光入射人眼时 二元光 学元件约把一半光线聚焦到视网膜表面，另一半聚焦到视网 膜内。

眼睛和大脑能把注意力集中在某个焦点而忽视另一个 焦点，从而提供远近图象。

用这种方法，二元光学透镜现已 植入 50 多个国家的几千名病人的眼中。

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多头激光划片机
利用二维Dammann光栅形成上百条平行光束,经过反射、折射 及微透镜聚焦后，形成多头激光束，对移动的工件进行划片 操作。

（例如，用于太阳电池的划片切割，具有划片速度快、 切割损耗小、使用效率高的优点。

） 下图为多头激光划片机原理图
6.9.3 二元光学元件的设计
方 法 分 析 射 场 的 衍 常 见
设计理论分为两大类：
标量衍射理论 适量衍射理论
优化方法分为： 优化方法分为
GS算法 杨顾算法 模拟退火 遗传算法
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二元光学的理论基础 模态理论 耦合波理论 等效均匀介质近似理论
二元光学一个重要的参数：衍射效率
6.9.4
二元光学元件的制作
二元光学元件是用大规模集成电路的光刻技术加工而成的二元化器件，其加工 主要有掩模制作技术，图形曝光技术和图形刻蚀技术组成。

二元光学技术未加工衍射光学元件提供了种有效方法，也为优化设计提供了一种 方法。

一个有效的设计和制作二元光学元件的方案： 个有效的设计和制作二元光学元件的方案
相位分布的光学设计， 通过CAD将阶梯相位分布转变成一组振幅图(光掩模) 经过平板复制、图样转印工艺 通过母板复制加工工艺加工出基板面浮雕。

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Mask 1
Mask 3
subs e substrate
Mask 2
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二元光学的未来
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