条形基础均布荷载作用下地基中的附加应力

五、均布矩形荷载作用下地基中的附加应力
1．计算点位于角点下时
设矩形基底的长度为l，宽度为b，
其上作用着均匀分布荷载p0，如下图所示。
求矩形荷载角点下z深度处
的αz，采用双重积分的方法 来求其精确解。 Boussinesq解为：
在基底面积上取微面积单元dA=dxdy，其上的均布荷载用一
集中力dQ=p0dxdy来代替，则该集中力在角点下M点处引起
的竖向附加应力为：
则
式中：αc——均布矩形荷载角点下竖向附加应力系数，查P64 表3－8。
n`=l/b m=z/b 2．计算点不位于角点下时-角点法 值得特别指出的是，αc是均布矩形荷载角点下的竖向附加
应力系数，按上式计算的附加应力是角点下某点的附加应力。 当计算点不位于角点下时，应怎样计算附加应力呢？
1．极坐标系下
已知线荷载下，
若采用下图所示的极坐标系时，从M点到荷载边缘的连线与
竖直线间的夹角分别为β1和β2 ，其正负号规定是，从竖直线 MN到连线逆时针转时为正，反之为负。在下图中的β1和β2均 为正值。
取微单元，
其上的荷载用线荷载

代替，利用Flamant解，则该线荷载
在M点引起的附加应力为
《土力学》教案
课 次：第6次 主要内容：地基附加应力的计算 重点内容：Boussinesq解；角点法 教学方法：逻辑推理式与互动式
二、空间问题基本解-Boussinesq解
在半无限空间弹性体的表面，作用一竖向集中力，如下图所 示。
在集中力作用下，地基中 的附加应力状态属于空间 问题。这种情况的应力解 答是由J.V.Boussinesq于 1885年首先解出，故称为 Boussinesq解，是弹性力 学中的另一个基本解。
r/z
αg
集中荷载作用下的竖向附加应力系数αg值 表3-2
r/z
αg
r/z
αg
r/z
αg
r/z
αg
0.00
0.4775 0.50
0.2733 1.00
0.0844 1.50
0.0251 2.00
0.0085
0.05
0.4745 0.55
0.2466 1.05
0.0744 1.55
0.0224 2.20
则
式中：β= β1-β2 ，计算点与条形荷载两端线的夹角； Ψ= β1+β2 ，计算点到荷载边缘的连线与竖直线间夹角之和。 同理，可得
根据材料力学的有关公式，M点的主应力为
最大主应力的作用方向与竖直线间的夹角α为：
则
上述结果表明，最大主应力的 作用方向正好在视角的等分线 上，而最小主应力与最大主应 力垂直，且土中凡视角相等的 点，其主应力也相等。土中主 应力等值线将是通过荷载分布 宽度两个边缘点的园，如右图 所示。
取微单元dξ，其上的荷载用线荷载
代替，利用Flamant公式解，则该线荷载在M点引起的附加应
力为
则 式中：αs——三角形分布条形荷载作用下竖向附加应力系数，
查P62表3－6。

n=x/b ；m=z/b
在偏心荷载作用下，基底附加压力呈梯形分布时，可将梯形 荷载分为三角形荷载和均布荷载，分别计算在地基中引起的 附加应力，再按弹性力学中的叠加原理通过求和的办法计算 总的附加应力。
最大剪应力为：
最大剪应力的最大值为： 发生在以条形基础宽度为直径的半圆上。 2．直角坐标系下竖向附加应力计算 若采用直角坐标系，如下图所示。 取坐标轴的原点在均布荷载的中点处。取微单元dξ，其上的
荷载用线荷载q=p0 dξ代替，利用Flamant解
则该线荷载在M点引起的附加应力为：
条形基础（如建筑工程中砖混结构承重墙基础，其基础底 面的长宽比很大，如时l/b≥10）受中心荷载作用时，基底附 加压力可近似认为均匀分布，即为均布条形荷载。
均布条形荷载：是指沿宽度方向均匀分布，在长度方向无限 长的荷载，如下图所示。
该问题在弹性力学中是一种典 型的平面应变问题之一，垂直 于y轴各平面的应力状态完全 相同。因此，只研究xoz平面 内的应力状态就可以了。
0.0058
0.10
0.4657 0Βιβλιοθήκη 600.2214 1.10
0.0658 1.60
0.0200 2.40
0.0040
0.15
0.4516 0.65
0.1978 1.15
0.0581 1.65
0.0179 2.60
0.0029
0.20
0.4329 0.70
0.1762 1.20
0.0513 1.70
采用极坐标时，Boussinesq解为

式中:σz——竖向附加应力； σr ——径向附加应力； σθ——切向附加应力；
τrz,τzθ,τrθ——附加剪应力； Q——竖向集中力； v——泊松比。
同样，最重要的是竖向附加应力σz 。由上图可见， 代入上式，可得
令 则
式中：

αg——集中荷载作用下的竖向附加应力系数；

z——计算点至地表的垂直深度。
在工程实践中，是没有集中力的，均为分布荷载。但当计算 点的r值远大于分布荷载边界最大尺寸时，可将分布荷载用一 集中力代替来计算竖向附加应力。这样虽然有一定误差，但
也是工程所允许的，其过程是先根据计算点的r和z值，计算 出值或根据值查表3－2得值αg ，再代入上式计算出σz 。
0.0160 2.80
0.0021
0.25
0.4103 0.75
0.1565 1.25
0.0454 1.75
0.0144 3.00
0.0015
0.30
0.3849 0.80
0.1386 1.30
0.0402 1.80
0.0129 3.50
0.0007
0.35
0.3577 0.85
0.1226 1.35
0.0357 1.85
0.0116 4.00
0.0004
0.40
0.3294 0.90
0.1083 1.40
0.0317 1.90
0.0105 4.50
0.0002
0.45
0.3011 0.95
0.0956 1.45
0.0282 1.95
0.0095 5.00
0.0001
三、条形基础均布荷载作用下地基中的附加应力

则
式中：αi——条形均布荷载作用下竖向附加应力系数，查P60 表3－5。

n=x/b ；m=z/b 。
四、条形基础在三角形及梯形分布荷载作用下地基中的附加应 力
在地基表面作用三角形分布条形荷载，其最大值为pm。若计 算土中任意点M(x,y)的竖向附加应力αz，建立直角坐标系如 下图所示，坐标原点在三角形荷载的零点处。
设地基中任意点M在基底平面的垂直投影点为M`。
（1）M`点位于荷载边缘时
（2）M`点位于荷载面内时 （3）M`点位于荷载边缘外侧时
（4）M`点位于荷载角点外侧时
上述方法称为角点法。
采用角点法时，应特别注意： ①划分的每一个矩形都要有一个角点是M`点； ②所有划分的矩形面积总和应等于原受荷面积；
③划分后的每一个矩形面积，短边都用b表示，长边都用l表示。
作 业：P87：第4题、第5题、第6题、第7 题、第8题、第9题、第10题、第11题
知识回顾 Knowledge Review