桦川县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(1)

桦川县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列说法中正确的是（ ）
A ．三点确定一个平面
B ．两条直线确定一个平面
C ．两两相交的三条直线一定在同一平面内
D ．过同一点的三条直线不一定在同一平面内
2． 随机变量x 1～N （2，1），x 2～N （4，1），若P （x 1＜3）=P （x 2≥a ），则a=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3． 在等差数列{a n }中，a 3=5，a 4+a 8=22，则{}的前20项和为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应截面面积为、、，则（ ）
1S 2S 3S A ． B ．
C ．
D ．123S S S <<123S S S >>213S S S <<213
S S S >>5． 设函数F （x ）=是定义在R 上的函数，其中f （x ）的导函数为f ′（x ），满足f ′（x ）＜f （x ）对于x
∈R 恒成立，则（
）
A ．f （2）＞e 2f （0），f
B ．f （2）＜e 2f （0），f
C ．f （2）＞e 2f （0），f
D ．f （2）＜e 2f （0），f 6． 已知集合，则下列式子表示正确的有（ ）
{
}
2
|10A x x =-=①；②；③；④．1A ∈{}1A -∈A ∅⊆{}1,1A -⊆A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
7． 有一学校高中部有学生2000人，其中高一学生800人，高二学生600人，高三学生600人，现采用分层抽样的方法抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（ ）
A ．15，10，25
B ．20，15，15
C ．10，10，30
D ．10，20，20
8． 如图所示的程序框图，若输入的x 值为0，则输出的y 值为（ ）
A．B．0C．1D．或0
9．复数z为纯虚数，若（3﹣i）•z=a+i （i为虚数单位），则实数a的值为（）
A．﹣B．3C．﹣3D．
10．给出下列结论：①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；
③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．定义在（0，+∞）上的单调递减函数f（x），若f（x）的导函数存在且满足，则下列不等式成立的是（）
A．3f（2）＜2f（3）B．3f（4）＜4f（3）C．2f（3）＜3f（4）D．f（2）＜2f（1）
12．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为
A[]
B[]
C[]
D[]
二、填空题
13．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数，
若曲线（()()ln R x
f x x a a x
=+-∈122e e 1x x y +=+e 为自然对数的底数）上存在点使得，则实数的取值范围为__________.
()00,x y ()()00f f y y =a 14．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4小时后，到达C 处，看到这个灯塔B 在北偏东15°，这时船与灯塔相距为 海里．15．设函数
，其中[x]表示不超过x 的最大整数．若方程f （x ）=ax 有三个不同
的实数根，则实数a 的取值范围是 ．
16．若直线x ﹣y=1与直线（m+3）x+my ﹣8=0平行，则m= ．17．调查某公司的四名推销员，其工作年限与年推销金额如表
推销员编号1234工作年限x/（年）
3
51014年推销金额y/（万元）237
12
由表中数据算出线性回归方程为=
x+
．若该公司第五名推销员的工作年限为8年，则估计他（她）的年
推销金额为 万元．
18．的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）8
1(x x
-【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.
三、解答题
19．已知函数f （x ）=x 2﹣（2a+1）x+alnx ，a ∈R （1）当a=1，求f （x ）的单调区间；（4分）
（2）a ＞1时，求f （x ）在区间[1，e]上的最小值；（5分）（3）g （x ）=（1﹣a ）x ，若
使得f （x 0）≥g （x 0）成立，求a 的范围.
20．函数。

定义数列如下：是过两点的直线
与轴交点的横坐标。

（1）证明：；
（2）求数列的通项公式。

21．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，a n＞0，a1=，且﹣，，成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b n}满足b n•log3（1﹣S n+1）=1，求适合方程b1b2+b2b3+…+b n b n+1=的正整数n的值．
22．等差数列{a n}的前n项和为S n．a3=2，S8=22．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
23．如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，E，F是PA和AB的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求E到平面PBC的距离．
24．已知椭圆，过其右焦点F且垂直于x轴的弦MN的长度为b．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知点A的坐标为（0，b），椭圆上存在点P，Q，使得圆x2+y2=4内切于△APQ，求该椭圆的方程．
桦川县第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；
对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；
对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；
对D，由C可知D正确．
故选：D．
2．【答案】C
【解析】解：随机变量x1～N（2，1），图象关于x=2对称，x2～N（4，1），图象关于x=4对称，
因为P（x1＜3）=P（x2≥a），
所以3﹣2=4﹣a，
所以a=3，
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．
3．【答案】B
【解析】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=22，得2a6=22，a6=11．
又a3=5，得d=，∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1．
{}的前20项和为：
==．
故选：B．
4．【答案】A
【解析】
考
点：棱锥的结构特征．5． 【答案】B 【解析】解：∵F （x ）=，
∴函数的导数F ′（x ）==
，
∵f ′（x ）＜f （x ），∴F ′（x ）＜0，
即函数F （x ）是减函数，
则F （0）＞F （2），F （0）＞F ＜e 2f （0），f ，故选：B
6． 【答案】C 【解析】
试题分析：，所以①③④正确.故选C.{}1,1A =-考点：元素与集合关系，集合与集合关系．7． 【答案】B
【解析】解：每个个体被抽到的概率等于=
，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为
800×
=20，600×
=15，600×
=15，
故选B ．
【点评】本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．　
8． 【答案】B
【解析】解：根据题意，模拟程序框图的运行过程，如下；输入x=0，x ＞1？，否；x ＜1？，是；y=x=0，
输出y=0，结束．故选：B ．
【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论．
9．【答案】D
【解析】解：∵（3﹣i）•z=a+i，
∴，
又z为纯虚数，
∴，解得：a=．
故选：D．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
10．【答案】B
【解析】
考点：空间直线与平面的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与直线平行的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中熟记直线与直线平行和直线与平面平行的判定与性质是解答的关键．
11．【答案】A
【解析】解：∵f（x）为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴f′（x）＜0，
又∵＞x，
∴＞0⇔＜0⇔[]′＜0，
设h（x）=，则h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∵＞x＞0，f′（x）＜0，
∴f（x）＜0．
∵h（x）=为（0，+∞）上的单调递减函数，
∴＞
⇔＞0⇔2f （3）﹣3f （2）＞0⇔2f （3）＞3f （2），故A 正确；
由2f （3）＞3f （2）＞3f （4），可排除C ；同理可判断3f （4）＞4f （3），排除B ；1•f （2）＞2f （1），排除D ；故选A ．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，求得[]′＜0是关键，考查等价转化思想与分析推理能
力，属于中档题．
12．【答案】B 【解析】当x ≥0时，
f （x ）=，
由f （x ）=x ﹣3a 2，x ＞2a 2，得f （x ）＞﹣a 2；当a 2＜x ＜2a 2时，f （x ）=﹣a 2；
由f （x ）=﹣x ，0≤x ≤a 2，得f （x ）≥﹣a 2。

∴当x ＞0时，。

∵函数f （x ）为奇函数，∴当x ＜0时，。

∵对∀x ∈R ，都有f （x ﹣1）≤f （x ），∴2a 2﹣（﹣4a 2）≤1，解得：。

故实数a 的取值范围是。

二、填空题
13．【答案】1,e
⎛⎤-∞ ⎥
⎝
⎦
【解析】结合函数的解析式：可得：，1
22e e 1x x y +=+()()
122
221'1x x x e e y e +-=+令y ′=0，解得：x =0，
当x >0时，y ′>0，当x <0，y ′<0，
则x ∈（-∞，0），函数单调递增，x ∈（0，+∞）时，函数y 单调递减，则当x =0时，取最大值，最大值为e ，∴y 0的取值范围（0，e ]，
结合函数的解析式：可得：，()()R lnx
f x x a a x
=+-∈()22ln 1'x x f x x -+=
x ∈（0，e ），，
()'0f x >则f （x ）在（0，e ）单调递增，下面证明f （y 0）=y 0．
假设f （y 0）=c >y 0，则f （f （y 0））=f （c ）>f （y 0）=c >y 0，不满足f （f （y 0））=y 0．同理假设f （y 0）=c <y 0，则不满足f （f （y 0））=y 0．综上可得：f （y 0）=y 0．
令函数．()ln x
f x x a x x =
+-=设，求导，()ln x g x x =()2
1ln 'x
g x x
-=当x ∈（0，e ），g ′（x ）>0，g （x ）在（0，e ）单调递增，当x =e 时取最大值，最大值为，()1g e e
=当x →0时，a →-∞，∴a 的取值范围.
1,e
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
点睛：（1）利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．而解答本题（2）问时，关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
（2）若可导函数f （x ）在指定的区间D 上单调递增（减），求参数范围问题，可转化为f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．14．【答案】　24　
【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°，在△ABC 中，根据正弦定理得：BC==24
海里，
则这时船与灯塔的距离为24海里．
故答案为：24
．
15．【答案】　（﹣1，﹣]∪[，）　．
【解析】解：当﹣2≤x＜﹣1时，[x]=﹣2，此时f（x）=x﹣[x]=x+2．
当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，此时f（x）=x﹣[x]=x+1．
当0≤x＜1时，﹣1≤x﹣1＜0，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1+1=x．
当1≤x＜2时，0≤x﹣1＜1，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1．
当2≤x＜3时，1≤x﹣1＜2，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣1=x﹣2．
当3≤x＜4时，2≤x﹣1＜3，此时f（x）=f（x﹣1）=x﹣1﹣2=x﹣3．
设g（x）=ax，则g（x）过定点（0，0），
坐标系中作出函数y=f（x）和g（x）的图象如图：
当g（x）经过点A（﹣2，1），D（4，1）时有3个不同的交点，当经过点B（﹣1，1），C（3，1）时，有2个不同的交点，
则OA的斜率k=，OB的斜率k=﹣1，OC的斜率k=，OD的斜率k=，
故满足条件的斜率k的取值范围是或，
故答案为：（﹣1，﹣]∪[，）
【点评】本题主要考查函数交点个数的问题，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解决本题的根据，利用数形结合是解决函数零点问题的基本思想．
16．【答案】 ．
【解析】解：直线x ﹣y=1的斜率为1，（m+3）x+my ﹣8=0斜率为两直线平行，则
=1解得m=﹣．故应填﹣．
17．【答案】　
．
【解析】解：由条件可知=（3+5+10+14）=8， =（2+3+7+12）=6，
代入回归方程，可得a=﹣，所以=x ﹣，当x=8时，y=，估计他的年推销金额为
万元．故答案为：．
【点评】本题考查线性回归方程的意义，线性回归方程一定过样本中心点，本题解题的关键是正确求出样本中心点，题目的运算量比较小，是一个基础题．
18．【答案】70
【解析】的展开式通项为，所以当时，常数项为81
(x x -8821881((1)r r r r r r r T C x C x x
--+=-=-4r =.
448(1)70C -=三、解答题
19．【答案】解：（1）当a=1，f （x ）=x 2﹣3x+lnx ，定义域（0，+∞），∴…（2分）
，解得x=1或x=，x ∈
，（1，+∞），f ′（x ）＞0，f （x ）是增函数，x ∈（，1），
函数是减函数．…（4分）
（2）∴，∴，
当1＜a ＜e 时，
∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）
当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，
∴
综上…（9分）
（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间上有解
即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，
∵当时，lnx≤0＜x，
当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，
∴在区间上有解．
令…（10分）
∵，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
x∈（1，e]，h（x）是增函数，
∴，
∴时，，∴
∴a的取值范围为…（14分）
20．【答案】
【解析】（1）为，故点在函数的图像上，故由所给出的两点，可知，直线斜率一定存在。

故有
直线的直线方程为，令，可求得
所以
下面用数学归纳法证明
当时，，满足
假设时，成立，则当时，
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比q，
由﹣，，，成等差数列，
得，
解得或q=﹣1（舍去），
∴；
（Ⅱ）∵，
∴=﹣n﹣1，
∴，
，
==，
解得：n=100．
【点评】本题考查等比数列和等差数列的概念与性质，以及等比数列的前n项和公式和裂项相消法求和，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=2，S8=22．
∴，
解得，
∴{a n}的通项公式为a n=1+（n﹣1）=．
（2）∵b n===﹣，
∴T n=2+…+
=2
=．
23．【答案】
【解析】（1）证明：∵AE=PE，AF=BF，
∴EF∥PB
又EF⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，
故EF∥平面PBC；
（2）解：在面ABCD内作过F作FH⊥BC于H
∵PC⊥面ABCD，PC⊂面PBC
∴面PBC⊥面ABCD
又面PBC∩面ABCD=BC，FH⊥BC，FH⊂面ABCD∴FH⊥面PBC
又EF||平面PBC，故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离FH．
在直角三角形FBH中，∠FBC=60°，FB=，FH=FBsin∠FBC=a，故点E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离，
等于a．
24．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设F（c，0），M（c，y1），N（c，y2），
则，得y1=﹣，y2=，
MN=|y1﹣y2|==b，得a=2b，
椭圆的离心率为：==．
（Ⅱ）由条件，直线AP、AQ斜率必然存在，
设过点A且与圆x2+y2=4相切的直线方程为y=kx+b，转化为一般方程kx﹣y+b=0，
由于圆x2+y2=4内切于△APQ，所以r=2=，得k=±（b＞2），
即切线AP、AQ关于y轴对称，则直线PQ平行于x轴，
∴y Q=y P=﹣2，
不妨设点Q在y轴左侧，可得x Q=﹣x P=﹣2，
则=，解得b=3，则a=6，
∴椭圆方程为：．
【点评】本题考查了椭圆的离心率公式，点到直线方程的距离公式，内切圆的性质．　。