广东省广州市2021届新高考数学考前模拟卷(3)含解析

广东省广州市2021届新高考数学考前模拟卷（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+u u u v u u u v u u u v
，则λμ+的值为( )
A ．1
B ．
12
C ．
13
D ．
14
【答案】B 【解析】 【分析】
设BM tBC =u u u u v u u u v
，通过12AN AM =u u u v u u u u v ，再利用向量的加减运算可得122
t t AN AB AC -=+u u u v u u u v u u u v ，结合条件即可
得解. 【详解】 设BM tBC =u u u u v u u u v
，
则有
()()
11111122222222
t t t AN AM AB BM AB tBC AB AC AB AB AC -==+=+=+-=+u u u v u u u u v u u u v u u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v
. 又AN AB AC u u u v u u u v u u u v λμ=+，
所以12
2t t λμ-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，有11222t t λμ-+=
+=. 故选B. 【点睛】
本题考查了向量共线及向量运算知识，利用向量共线及向量运算知识，用基底向量向量来表示所求向量，利用平面向量表示法唯一来解决问题. 2．已知
，
都是偶函数，且在
上单调递增，设函数，若
，则（ ）
A ．且
B ．且
C ．且
D ．且
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，，
∴，，
∵，∴
，∴， ∴若：
，
，∴
， 若：
，
，∴
，
若
：
，
，∴
，
综上可知
，同理可知
，故选A.
考点：1.函数的性质；2.分类讨论的数学思想.
【思路点睛】本题在在解题过程中抓住偶函数的性质，避免了由于单调性不同导致
与
大小不明
确的讨论，从而使解题过程得以优化，另外，不要忘记定义域，如果要研究奇函数或者偶函数的值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上.
3．已知函数2()e (2)e x x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ） A ．1 B ．
1
2
或0 C ．1或0 D ．2或0
【答案】C 【解析】 【分析】
求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t
=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【详解】 解：∵2()e (2)e x
x f x t t x =+--（0t ≥），
∴()()2()2e
(2)e 1e 12e 1x
x x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，
则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增， 所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=， 即1
ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则2
11
()0g t t t
'=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单 调递增.∵(1)0g =，∴1t =；
当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2
(2)22e 0f --=->，
函数()f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题.
4．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，
CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，
则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（ ）
A ．
5
5
B ．
32
C ．
12
D ．1
【答案】B 【解析】 【分析】
PBA ∠为所求的二面角的平面角，由DAP CPB ~n n 得出
PA
PB
，求出P 在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值 【详解】
DA l ⊥Q ，αβ⊥，l αβ⋂=，AD β⊂ AD α∴⊥，同理BC α⊥
DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角
DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒
DAP CPB ∴~n n ，
1
2
PA DA PB BC == 在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系
则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >，
∴=
()2
2
516x y ++=
P ∴在α内的轨迹为()50M -，
为圆心，以4为半径的上半圆 Q 平面PBC ⋂平面BC β=，PB BC ⊥，AB BC ⊥
PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角，
∴当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，cos PBA ∠取得最小值
此时48PM MB MP PB PB ==⊥=，，，
cos PB PBA MB ∠=
==
故选B 【点睛】
本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．
5．已知点(m,8)在幂函数()(1)n f x m x =-的图象上，设,(ln ),()m a f b f c f n n π⎛⎫
=== ⎪⎝⎭
，则（ ） A ．b ＜a ＜c B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．a ＜c ＜b
【答案】B 【解析】 【分析】
先利用幂函数的定义求出m 的值，得到幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，再利用幂函数f （x ）的单调性，即可得到a ，b ，c 的大小关系. 【详解】
由幂函数的定义可知，m ﹣1＝1，∴m ＝2， ∴点（2，8）在幂函数f （x ）＝x n 上， ∴2n ＝8，∴n ＝3，
∴幂函数解析式为f （x ）＝x 3，在R 上单调递增，
∵
2
3m n =，1＜lnπ＜3，n ＝3， ∴m
ln n n
π＜＜， ∴a ＜b ＜c ，
本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.
6．已知12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，,A B 是C 的左、右顶点，点P 在过1F 且
斜率为
3
的直线上，PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒，则C 的渐近线方程为（ ） A ．12
y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =±
D ．3y x =±
【答案】D 【解析】 【分析】
根据PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒可求出点P 的坐标，又由1PF 的斜率为3
4
可得出,a c 关系，即可求出渐近线斜率得解. 【详解】 如图，
因为PAB △为等腰三角形，120ABP ∠=︒， 所以||||2PB AB a ==，60PBM ∠=︒,
||cos602,||sin603P P x PB a a y PB a ∴=⋅︒+==⋅︒=，
又1
303
24
PF a k a c -==
+， 2a c ∴= 223a b ∴=，
解得
3b
a
= 所以双曲线的渐近线方程为3y x =，
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，属于中档题.
7．要得到函数12y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数23y x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭图象上所有点的横坐标
（ ）
A ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移
4
π
个单位长度 B ．伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移
4
π
个单位长度 C ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移524π
个单位长度 D ．缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象向右平移1124
π
个单位长度
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：根据三角函数的图象关系进行判断即可．
详解：将函数23y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）
，
得到122
33
y x x π
π
=⨯-=-（）（），
再将得到的图象向左平移4
π个单位长度得到3412y x x （）（），πππ
=-+=- 故选B ．
点睛：本题主要考查三角函数的图象变换，结合ω和ϕ的关系是解决本题的关键． 8．已知函数()()3sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<，若03f π⎛⎫
-
= ⎪⎝⎭
，对任意x ∈R 恒有()3f x f π⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，在区间ππ,155⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且只有一个1x 使()13f x =，则ω的最大值为（ ）
A ．
123
4
B ．
111
4
C ．
105
4
D ．
117
4
【答案】C 【解析】
根据()f x 的零点和最值点列方程组，求得,ωϕ的表达式（用k 表示），根据()1f x 在ππ,155⎛⎫
⎪⎝
⎭上有且只有一个最大值，求得ω的取值范围，求得对应k 的取值范围，由k 为整数对k 的取值进行验证，由此求得
ω的最大值.
【详解】
由题意知1122
π
π,3,πππ+,32k k k Z k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，则()()321,421π,
4k k ωϕ⎧+=⎪⎪⎨='+⎪⎪⎩
其中12k k k =-，21k k k '=+． 又()1f x 在ππ,155⎛⎫
⎪⎝⎭上有且只有一个最大值，所以ππ2π251515T -=≤，得030ω<≤，即()321304
k +≤，所以19.5k ≤，又k Z ∈，因此19k ≤．
①当19k =时，1174ω=，此时取3π4ϕ=可使12
π
π,3πππ+,
3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，
()1173π 2.7π,6.6π44x +∈，所以当11173π
4.5π44
x +=或6.5π时，()13f x =都成立，舍去； ②当18k =时，1114ω=，此时取π4ϕ=可使12
π
π,3
πππ+,
3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，
()111π 2.1π,5.8π44x +∈，所以当1111π
2.5π44
x +=或4.5π时，()13f x =都成立，舍去； ③当17k =时，1054ω=，此时取3π4ϕ=可使12
π
π,3πππ+,
3
2k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩成立，当ππ,155x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，
()1053π 2.5π,6π44x +∈，所以当11053π
4.5π44
x +=时，()13f x =成立； 综上所得ω的最大值为105
4
．
故选:C 【点睛】
本小题主要考查三角函数的零点和最值，考查三角函数的性质，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
9．已知i 为虚数单位，则
()2312i
i i
+=-（ ）
A ．
7455
i + B ．
7455
i - C ．
4755
i + D ．
4755
i - 【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数乘除运算法则，即可求解. 【详解】
()()()()()232232374
1222255
i i i i i i i i i i +-++===+-++-.
故选：A. 【点睛】
本题考查复数代数运算，属于基础题题.
10．若执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）
A ．1-
B ．
23
C ．
32
D ．4
【答案】D 【解析】 【分析】
模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S 的变化以4为周期出现，由此可得结论． 【详解】
23
4,1;1,2;,3;,4;4,532
S i S i S i S i S i ===-=======；如此循环下去，当2020i =时，
3
;4,20212
S S i ===，此时不满足2021i <，循环结束，输出S 的值是4.
故选：D ． 【点睛】
本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论． 11．设实数满足条件
则
的最大值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
，即
，表示直线在轴的截距加上1，
根据图像知，当时，且时，有最大值为.
故选：
.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
12．已知()()11,101,012
x f x f x x x ⎧
--<<⎪+⎪
=⎨⎪≤<⎪⎩，若方程()21f x ax a -=-有唯一解，则实数a 的取值范围是
( )
A ．{}()81,-⋃+∞
B ．{
}()116,12,2⎛⎤
-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦
C ．{}()18,12,2⎡⎤-⋃⋃+∞⎢⎥⎣⎦
D ．{}[]()321,24,-⋃⋃+∞
求出()f x 的表达式，画出函数图象，结合图象以及二次方程实根的分布，求出a 的范围即可． 【详解】
解：令10x -<<，则011x <+<， 则1
(1)2
x f x ++=
， 故2
1,101
(),012
x x f x x x ⎧--<<⎪⎪+=⎨⎪<⎪⎩„，如图示：
由()21f x ax a -=-， 得()(21)1f x a x =+-，
函数(21)1y a x =+-恒过1
(2
A -，1)-，
由1
(1,)2B ，(0,1)C ，
可得1
1
21112
AB
k +==+，2OA k =，114
12AC k +==，
若方程()21f x ax a -=-有唯一解， 则122a <„或24a >，即1
a 12
<„或2a >； 当2
2111
ax a x +-=
-+即图象相切时， 根据0∆=，298(2)0a a a --=， 解得16(0a =-舍去）， 则a 的范围是{}()116,12,2⎛⎤
-⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦
， 故选：B ．
【点睛】
本题考查函数的零点问题，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况，随机抽取了这两个景点20天的游客人数，得到如下茎叶图：
由此可估计，全年（按360天计算）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多______天.
【答案】72
【解析】
【分析】
根据给定的茎叶图，得到游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，进而求得全年中，甲景点比乙景点多的天数，得到答案.
【详解】
由题意，根据给定的茎叶图可得，在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中，
游客人数在(625,635)内时，甲景点共有7天，乙景点共有3天，
所以在全年）中，游客人数在(625,635)内时，甲景点比乙景点多
73
36072
20
-
⨯=天.
故答案为：72.
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的基本知识，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
14．已知点F为双曲线
2
2
2
1(0)
y
E x b
b
-=>
：的右焦点，M N
，两点在双曲线上，且M N
，关于原点对
称，若MF NF ⊥，设MNF θ∠=，且,126ππθ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣
⎦，则该双曲线E 的焦距的取值范围是________. 【答案】[22,232]+ 【解析】 【分析】
设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形，故
||2MN FF c '==，由双曲线定义'||||||||2NF NF NF FM a -=-=可得
1
2cos 4c πθ=
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭，再求2cos 4y πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的值域即可.
【详解】 如图，
设双曲线的左焦点为F '，连接',MF NF '，由于MF NF ⊥.所以四边形F NFM '为矩形， 故||2MN FF c '
==.
在Rt FM N ∆中||2cos ,||2sin FN c FM c θθ==， 由双曲线的定义可得
'22||||||||2cos 2sin 22cos 4a NF NF NF FM c c c πθθθ⎛
⎫==-=-=-=+ ⎪⎝
⎭
1
24c πθ∴=
⎛
⎫+ ⎪
⎝
⎭ 12
6
π
π
θ≤≤
Q
，53
4
12
π
π
π
θ∴
≤+
≤
312242πθ-⎛⎫∴
≤+≤ ⎪⎝⎭
231 222232c c ≤≤+≤≤，.
故答案为：2] 【点睛】
本题考查双曲线定义及其性质，涉及到求余弦型函数的值域，考查学生的运算能力，是一道中档题.
15．已知()1,3a =r ，()2,1b =-r
，求()
2a b a +⋅=r r r ____________.
【答案】21 【解析】 【分析】
求出向量2a b +r r
的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果.
【详解】
()1,3a =r Q ，()2,1b =-r ，()()()221,32,10,7a b ∴+=+-=r r
，
因此，()
2017321a b a +⋅=⨯+⨯=r r r
.
故答案为：21. 【点睛】
本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S =____. 【答案】42- 【解析】 【分析】
由3S ，63S S -，96S S -成等差数列，代入366,8S S ==-可得9S 的值. 【详解】
解：由等差数列的性质可得：3S ，63S S -，96S S -成等差数列， 可得：633962()S S S S S -=+-，代入366,8S S ==-， 可得：942S =-， 故答案为：42-. 【点睛】
本题主要考查等差数列前n 项和的性质，相对不难.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()ln f x x =．
（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点；
（2）设函数()f x 的图象与函数1
a y x x
=+
-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；
（3）若0k >，且不等式()()()2
211x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．
【答案】 (1)x=1 (2)证明见解析 (3) 02k <„ 【解析】 【分析】
（1）令()1g x lnx x =-+，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解； （2）转化思想，要证1a x < 21x x -，即证1x 212121(1)lnx lnx x x x x --<-g 21x x -，即证2112
()1x x
ln x x >-，构造
函数进而求证；
（3）不等式22(1)()x lnx k x --… 对一切正实数x 恒成立，222(1)
(1)(1)(1)[]1
k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ，设(1)
()1
k x h x lnx x -=-
+，分类讨论进而求解． 【详解】
解：（1）令()1g x lnx x =-+，所以11()1x
g x x x
-'=
-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减； 所以()()10min g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．
（2）由题意Q 111
22211
a lnx x x a lnx x x ⎧
=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
， 211221
(1)lnx lnx a x x x x -∴=-
-g ， 要证121a x x x <- 21x x -，即证21
1212121
(1)lnx lnx x x x x x x x --<--g
，即证2112()1x x ln x x >-，
令2
11x t x =
>，则11lnt t >-，由（1）知1lnx x -„，当且仅当1x =时等号成立，所以111ln t t
<-， 即1
1lnt t
>-，所以原不等式成立．
（3）不等式22(1)()x lnx k x --…
对一切正实数x 恒成立， 222(1)
(1)(1)(1)[]1
k x x lnx k x x lnx x ----=--
+Q ， 设(1)
()1k x h x lnx x -=-+，22
2122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x +-+'=-=++， 记2()2(1)1x x k ϕ=+-+，△24(1)44(2)k k k =--=-，
①当△0„时，即02k <„时，()0h x '…
恒成立，故()h x 单调递增． 于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 又当1x =时，22(1)(1)x ln k x -=-，
因此，当02k <„时，22(1)(1)x lnx k x --…
， ②当△0>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为3x ，434()x x x <， 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<，
故当(1,1)x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在(1,1)k -单调递减；
当(1,1)x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是2(1)()0x h x -<， 即22(1)(1)x lnx k x -<- 舍去， 综上，k 的取值范围是02k <„． 【点睛】
（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题.
18．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足
129
4
PF PF ⋅=u u u r u u u u r
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线1l 与2l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间），是否存在直线2l ，使得直线1l ，2l ，,PM PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程，若不能，请说理由.
【答案】（1）22143
x y +=；
（2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设()12(,0),,0F c F c -，则2
12
99144
PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线1l 的方程为3(1)2
y k x -=-，联立直线与椭圆的方程可求得12k =-，则直线2l 斜率为1
2，
设其方程为11221
,(,),(,)2
y x t M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得,PM PN 关于
1x =对称，可求得1211
,22
l l k k =-=，假设存在直线2l 满足题意，设,PM PN k k k k =-=，可得12k =，由
此可得答案． 【详解】
解：（1）设()12(,0),,0F c F c -，则2
12
99144PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ， 21,2,3c a b ∴===，
所以椭圆方程为22
143
x y +=；
（2）设直线1l 的方程为3
(1)2
y k x -
=-， 与22143
x y +=联立得222(34)4(32)(32)120k x k k x k ++-+--=，
∴1
0,2
k ∆==-
， 因为两直线的倾斜角互补，所以直线2l 斜率为12
， 设直线的方程为11221
,(,),(,)2
y x t M x y N x y =
+， 联立整理得2222
121230,0,4,,3x tx t t x x t x x t ++-=∆><+=-=-，
121212121233
(2)()(23)22011(1)(1)PM PN
y y x x t x x t k k x x x x -
-+-+--∴+=
+==----， 所以,PM PN 关于1x =对称， 由正弦定理得
,sin sin sin sin PM MK PN NK
PKM MPK PKN NPK
==∠∠∠∠，
因为,180MPK NPK PKM PKN ︒
∠=∠∠+∠=,所以PM KN PN KM ⋅=⋅，
由上得1211,22
l l k k =-=
， 假设存在直线2l 满足题意，
设,PM PN k k k k =-=，11,,,22
k k --按某种排列成等比数列，设公比为q ，则1q =-， 所以1
2
k =
，则此时直线PN 与2l 平行或重合，与题意不符，
所以不存在满足题意的直线2l ． 【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．
19．在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：
()2sin 2cos 0a a ρθθ=>.过点()2,4P --的直线l
：22
42
x y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）与曲线C 相交于M ，N 两点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若MN PN
PM MN
=，求实数a 的值. 【答案】（1）()2
20y ax a =>，20x y --=；（2）1a =.
【解析】 【分析】
（1）将cos ,sin x y ρθρθ==代入2
sin 2cos a ρθθ=
求解，由22
42
x t y ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩（t 为参数）消去t 即可. （2
）将2242
x t y ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）与2
2y ax =
联立得)()24840t a t a -+++=，设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t
，则)124t t a +=+，()1284t t a =+，再根据
MN PN
PM MN
=，即2
MN PM PN =，利用韦达定理求解.
【详解】 （1）把cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入2
sin 2cos a ρθθ=，
得()2
20y ax a =>，
由22
42
x t y t ⎧
=-+⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数），
消去t 得20x y --=，
∴曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程分别是()2
20y ax a =>，20x y --=.
（2）将2
22242
x t y t ⎧
=-+⎪⎪
⎨
⎪=-+⎪⎩
（t 为参数）代入2
2y ax =得()()2224840t a t a -+++=， 设M ，N 两点对应的参数为1t ，2t ，则()12224t t a +=+，()1284t t a =+，
由MN PN PM MN
=得2
MN PM PN =， 所以()21212t t t t -=，即()2
12125t t t t +=， 所以()()2
84584a a +=⨯+，而0a >， 解得1a =. 【点睛】
本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
20．如图AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 为圆周上不同于,A B 的任意一点
（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）设24,PA AB AC D ===为PB 的中点，M 为AP 上的动点（不与A 重合）求二面角A BM C --的正切值的最小值 【答案】（1）见解析（216
【解析】 【分析】
（1）推导出AC BC ⊥，PA BC ⊥，从而BC ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理即可得证． （2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系，设(0,0,)(0,4]M t t ∈，利用空间向量法表示出二面角的余弦值，当余弦值取得最大时，正切值求得最小值； 【详解】
（1）因为PA O ⊥e ，BC ⊂面O e
PA BC ∴⊥
BC AC ⊥Q ，AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， BC ∴⊥平面PAC ，
又BC ⊂平面PBC ，
∴平面PAC ⊥平面PBC ；
（2）过A 作Ax AB ⊥，以A 为坐标原点，建立如图所示空间坐标系， 则(0,0,0),(3,1,0),(0,4,0)A C B ，设(0,0,)(0,4]M
t t ∈，
(3,3,0),(0,4,)BC BM t =-=-u u u r u u u u r
则平面AMB 的一个法向量为(1,0,0)m =u r
设平面BMC 的一个法向量为(,,)n x y z =r
则00
n BC n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v ，即330
40x y y tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令3x =，
43,1,n t ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭r 如图二面角A BM C --的平面角为锐角，设二面角A BM C --为θ，
则234
cos 124m n t m n
θ⋅==-+⋅u r r
u r r ，
4t ∴=时cos θ取得最大值，最大值为
155
，则tan θ最小值为16
3
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法解决立体几何问题，属于中档题. 21．已知函数()36f x x =+()14g x x =-x 使()()f x g x a +>成立，求实数a 的取
值范围.
【答案】(),8-∞ 【解析】
试题分析：先将问题“ 存在实数x 使()()f x g x a +>成立”转化为“求函数()()f x g x +的最大值”,再借助柯西不等式求出()()f x g x +的最大值即可获解. 试题解析：
存在实数x 使()()f x g x a +>成立，等价于()()f x g x +的最大值大于a ， 因为
，
由柯西不等式：
(
)
()()2
321143121464x x
x x ⨯++⨯-≤+++-=，
所以()()36148f x g x x x +=++-≤，当且仅当10x =时取“=”， 故常数a 的取值范围是(),8-∞．
考点：柯西不等式即运用和转化与化归的数学思想的运用.
22．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，P ，Q 为抛物线C 上的两个动点，O 为坐标原点. （Ⅰ）若点F 在线段PQ 上，求PQ 的最小值； （Ⅱ）当OP PQ ⊥时，求点Q 纵坐标的取值范围. 【答案】（Ⅰ）4（Ⅱ）(][),88,-∞-+∞U 【解析】 【分析】
（1）由抛物线的性质，当PQ x ⊥轴时，PQ 最小；（2）设点()11,P x y ，()22,Q x y ，分别代入抛物线
方程和0OP PQ ⋅=u u u r u u u r
得到三个方程，消去12,x x ，得到关于1y 的一元二次方程，利用判别式即可求出2y 的
范围. 【详解】
解：（1）由抛物线的标准方程，2p =，根据抛物线的性质，当PQ x ⊥轴时，PQ 最小，最小值为2p ，即为4.
（2）由题意，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，其中120y y ≠，12y y ≠.
则2114y x =，①2
224y x =，②
因为OP PQ ⊥，()11,OP x y =u u u r ，()2121,PQ x x y y =--u u u r ，
所以()()1211210OP PQ x x x y y y ⋅=-+-=u u u r u u u r .③
由①②③，得2121160y y y ++=，
由1y R ∈，且10y ≠，得22640y ∆=-≥，
解不等式，得点Q 纵坐标2y 的范围为(][),88,-∞-+∞U .
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程和性质和二次方程的解的问题，考查运算能力，此类问题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解.
23．如图，O 为坐标原点，点F 为抛物线()2
1:20C x py p =>的焦点，且抛物线1C 上点P 处的切线与圆222:1C x y +=相切于点Q
（1）当直线PQ 的方程为20x y --=时，求抛物线1C 的方程；
（2）当正数p 变化时，记12,S S 分别为,FPQ FOQ ∆∆的面积，求
12
S S 的最小值． 【答案】（1）x 2=42y ．（2）
. 【解析】 试题解析：（Ⅰ）设点P （x 0，202x p ），由x 2=2py （p ＞0）得，y=2
2x p
，求导y′=x p ， 因为直线PQ 的斜率为1，所以0x p =1且x 0-202x p
-√2=0，解得2， 所以抛物线C 1的方程为x 22y ．
（Ⅱ）因为点P 处的切线方程为：y-202x p =0x p
（x-x 0），即2x 0x-2py-x 02=0，
∴ OQ 的方程为y=-0
p x x 根据切线与圆切，得d=r
1=，化简得x 04=4x 02+4p 2， 由方程组2000
220{x x py x p y x x --==-，解得Q （02x ，2042x p -）， 所以|PQ|=√1+k 2|x P -x Q
002x -= 点F （0，2p ）到切线PQ 的距离是
= 所以S 1
=12PQ d
==22200024x p x p x +-， S 2=0
122Q p OF x x =， 而由x 04=4x 02+4p 2知，4p 2=x 04-4x 02＞0，得|x 0|＞2， 所以2222220000012
2022()(2)42x x p x x p x S S p x p p +-+-== =242222000000422000(44)(2)(2)2(4)2(4)
x x x x x x x x x +---=-- =20204424x x -+-
+1，当且仅当20204424x x -=-时取“=”号， 即x 02
． 所以12
S S 的最小值为
+1． 考点：求抛物线的方程，与抛物线有关的最值问题.。