苏州立达中学数学高一下期末习题(答案解析)

一、选择题
1．(0分)[ID ：12718]为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+，其中ˆˆˆ0.76,b a y bx ==-，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元
2．(0分)[ID ：12716]已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则
A =R
A ．{}
12x x -<<
B ．{}
12x x -≤≤
C ．}{}{|12x x x x <-⋃
D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥
3．(0分)[ID ：12709]已知集合{
}
22
(,)1A x y x y =+=，{}
(,)B x y y x ==，则A B
中元素的个数为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
4．(0分)[ID ：12705]已知()()()sin cos ,02
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++＞，
＜，()f x 是
奇函数，直线y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2
π
，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,
4π⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭上单调递增 5．(0分)[ID ：12692]已知数列{}n a 的前n 项和2
2n S n n =+，那么它的通项公式是
（ ） A ．21n a n =-
B ．21n a n =+
C ．41n a n =-
D ．41n a n =+
6．(0分)[ID ：12684]设样本数据1210,,
,x x x 的均值和方差分别为1和4，若
(i i y x a a =+为非零常数，1,2,
,10)i =，则1210,,
,y y y 的均值和方差分别为（ ）
A ．1,4a +
B ．1,4a a ++
C ．1,4
D ．1,4a +
7．(0分)[ID ：12629]设正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2019=6057，则1
a 2
+
4a 2018
的最小值为
A ．1
B ．2
3
C ．13
6
D ．3
2
8．(0分)[ID ：12666]已知函数21(1)()2(1)
a
x x f x x x x x ⎧++>⎪=⎨
⎪-+≤⎩在R 上单调递增，则实数
a 的取值范围是
A ．[]0,1
B ．(]0,1
C ．[]1,1-
D ．(]1,1-
9．(0分)[ID ：12663]设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛
⎫
><
⎪⎝
⎭
的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）
A ．()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 B ．()f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减
C ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减
D ．()f x 在,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递增
10．(0分)[ID ：12656]某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
11．(0分)[ID ：12650]下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，
P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）
A ．①③
B ．②③
C ．①④
D ．②④
12．(0分)[ID ：12645]如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面
ECD ⊥平面,ABCD M 是线段ED 的中点，则（ ）
A ．BM EN =，且直线,BM EN 是相交直线
B ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是相交直线
C ．BM EN =，且直线,BM EN 是异面直线
D ．BM EN ≠，且直线,BM EN 是异面直线
13．(0分)[ID ：12644]若函数()(),1
231,1
x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的
取值范围是( )
A ．2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．2,3⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
14．(0分)[ID ：12657]函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
15．(0分)[ID ：12652]将直线2x －y ＋λ＝0沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则实数λ的值为( ) A ．－3或7 B ．－2或8 C ．0或10
D ．1或11
二、填空题
16．(0分)[ID ：12813]函数2sin 26y x π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 17．(0分)[ID ：12805]不等式223
1()
12
x x -->的解集是______．
18．(0分)[ID ：12803]已知函数())
2ln
11f x x x =++，()4f a =，则
()f a -=________．
19．(0分)[ID ：12796]直线l 将圆22240x y x y +--=平分，且与直线20x y +=垂直，则直线l 的方程为 ．
20．(0分)[ID ：12793]已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.
21．(0分)[ID ：12746]在圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上且到直线x ＋y ＋1＝02的点共有________个．
22．(0分)[ID ：12738]已知函数42,0()log ,0
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若1
[()]2f f a =-，则a 的值是
________.
23．(0分)[ID ：12735]已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（−∞，0）上单调
递增.若实数a 满足f （2|a-1|）＞f
（，则a 的取值范围是______.
24．(0分)[ID ：12753]在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，
1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．
25．(0分)[ID ：12744]已知四棱锥P ­ABCD 的底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则 ①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△PAB 的面积； ④直线AE 与直线BF 是异面直线．
以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
三、解答题
26．(0分)[ID ：12917]解关于x 的不等式2
(1)10()ax a x a R -++>∈.
27．(0分)[ID ：12909]在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等． （Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率； （Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．
28．(0分)[ID ：12907]在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知
cos a A R =，其中R 为ABC
外接圆的半径，222a c b S +-=
，其中S 为ABC 的面积． （1）求sin C ；
（2
）若a b -=ABC 的周长．
29．(0分)[ID ：12893]记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知22
19a a =，
618S =.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及对应n 的大小.
30．(0分)[ID ：12884]已知函数()()2
21+0g x ax ax b a =-+>在区间[2,3]上有最大值4
和最小值1. (1)求a 、b 的值； (2)设()()
2
g x f x x =-，若不等式()0f x k ->在x ∈(]2,5上恒成立，求实数k 的取值范围．
【参考答案】
2016-2017年度第*次考试试卷参考答案
**科目模拟测试
一、选择题
1．B
2．B
3．B
4．A
5．C
6．A
7．D
8．C
9．A
10．C
11．C
12．B
13．C
14．B
15．A
二、填空题
16．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考
查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答
17．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题
18．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题
19．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直
20．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱
21．3【解析】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝8即圆心（﹣1-2）半径r＝2∴圆心到直线x+y+1＝
22．-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题
23．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得
24．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象
25．①③【解析】由条件可得AB⊥平面PAD∴AB⊥PD故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD由PB⊥BC得PB⊥平面ABCD从而PA∥PB这是不可能的故②错；S△PCD＝CD·PDS△PAB＝AB·PA由
三、解答题
26．
27．
28．
29．
30．
2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析
【参考解析】
**科目模拟测试
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：由题
，
，所以
．
试题解析：由已知
，
又因为ˆˆˆy
bx a =+，ˆˆˆ0.76,b a y bx ==- 所以
，即该家庭支出为
万元．
考点：线性回归与变量间的关系．
2．B
解析：B 【解析】
分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果. 详解：解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}
|12A x x x =<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.
点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.
3．B
解析：B 【解析】
试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆
2
2
1x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
，则A B 中有2个元素.故选B.
【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
4．A
解析：A 【解析】 【分析】
首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，
由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】
由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛
⎫=
++ ⎪⎝
⎭，
函数为奇函数，则当0x =时：()4
k k Z π
ϕπ+
=∈.令0k =可得4
π
ϕ=-
.
因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2
π
结合最小正周期公式可得：
22
ππ
ω
=
，解得：4ω=.
故函数的解析式为：()4f x x =.
当3,88x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，函数在所给区间内单调递减； 当0,
4x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A .
本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5．C
解析：C 【解析】
分类讨论：当1n =时，11213a S ==+=，
当2n ≥时，2
2
1(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦， 且当1n =时：1414113n a -=⨯-== 据此可得，数列的通项公式为：41n a n =-. 本题选择C 选项.
6．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为样本数据1210,,
,x x x 的平均数是1,所以1210,,...y y y 的平均数是
121012101210
.........1101010y y y x a x a x a x x x a a ++++++++++++==+=+；根据
i i y x a =+（a 为非零常数，1,2,
,10i =），以及数据1210,,,x x x 的方差为4可知数
据1210,,
,y y y 的方差为2144⨯=，综上故选A.
考点：样本数据的方差和平均数．
7．D
解析：D 【解析】 【分析】
先利用等差数列的求和公式得出S 2019=
2019(a 1+a 2019)
2
=6057，再利用等差数列的基本性
质得出a 2+a 2018=a 1+a 2019=6，再将代数式a 2+a 2018和1
a 2
+4
a 2018
相乘，展开后利用
基本不等式可求出1a 2
+4
a
2018
的最小值.
【详解】
由等差数列的前n 项和公式可得S 2019=
2019(a 1+a 2019)
2
=6057，所以，a 1+a 2019=6，
由等差数列的基本性质可得a 2+a 2018=a 1+a 2019=6， ∴6(1a 2
+4
a
2018
)=(a 2+a 2018)(1a 2
+4
a
2018
)=5+4a 2
a
2018
+
a 2018a 2
≥5+2√4a 2
a
2018
⋅
a 2018a 2
=9，
所以，1a 2
+4a
2018
≥
96
=3
2
，当且仅当
4a 2
a 2018
=
a 2018a 2
，即当a 2018=2a 2时，等号成立，
因此，1
a 2
+4
a
2018
的最小值为32
，故选：D.
本题考查的等差数列求和公式以及等差数列下标性质的应用，考查利用基本不等式求最值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题。

8．C
解析：C 【解析】
x ⩽1时,f (x )=−(x −1)2+1⩽1， x >1时,()()21,10a a
f x x f x x x
=+
+'=-在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽x 2在(1,+∞)恒成立， 故a ⩽1，
而1+a +1⩾1，即a ⩾−1， 综上,a ∈[−1,1]， 本题选择C 选项.
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f (x 1)－f (x 2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】
()π
f x ωx φ,4⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，
又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππ
φk π42
-=+, k Z ∈
∵πφ2<
,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛
⎫=-∴=--= ⎪⎝
⎭,
当2k π2x 2k ππ≤≤+,即π
k πx k π2
≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A. 【点睛】
本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．
【详解】
详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，
所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n =+()n *∈N ，
若8610n =+，则15n =
，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ．
【点睛】
本题主要考查系统抽样.
11．C
解析：C
【解析】
【分析】
用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性.
【详解】
对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .
对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.
对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.
对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .
综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 12．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．
【详解】
如图所示， 作EO CD ⊥于O ，连接ON ，过M 作MF OD ⊥于F ．
连BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ．
,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，
MFB ∴∆与EON ∆均为直角三角形．设正方形边长为2，易知
3,12EO ON EN ===，
35,722
MF BF BM ==∴=BM EN ∴≠，故选B ．
【点睛】
本题考查空间想象能力和计算能力， 解答本题的关键是构造直角三角性．
13．C
解析：C
【解析】
【分析】
由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围.
【详解】
当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，
当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >
， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34
a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤
⎥⎝⎦
. 本题选择C 选项.
【点睛】 对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．
14．B
解析：B
【解析】
【分析】
可采用构造函数形式，令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=
-，采用数形结合法即可求解 【详解】
由题可知，1x >-，当1x =时，()80f x =-≠， 令358()(1)lg(1)350lg(1)311
x f x x x x x x x +=-+--=⇒+==+--，
令()()()35lg 1,1x h x x g x x +=+=-，画出函数图像，如图：
则两函数图像有两交点，故函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为2个 故选：B
【点睛】
本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题
15．A
解析：A
【解析】
试题分析：根据直线平移的规律，由直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．
解：把圆的方程化为标准式方程得（x+1）2+（y ﹣2）2=5，圆心坐标为（﹣1，2），半径为，
直线2x ﹣y+λ=0沿x 轴向左平移1个单位后所得的直线方程为2（x+1）﹣y+λ=0， 因为该直线与圆相切，则圆心（﹣1，2）到直线的距离d=
=r=，
化简得|λ﹣2|=5，即λ﹣2=5或λ﹣2=﹣5，
解得λ=﹣3或7
故选A
考点：直线与圆的位置关系．
二、填空题
16．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答 解析：5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：因为,所以只要求函数
的减区间即可.解
可得,即
,所以,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣
⎦. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用．
【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如
的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数
的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通
过解不等式使得本题获解. 17．【解析】【分析】先利用指数函数的单调性得再解一元二次不等式即可
【详解】故答案为【点睛】本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法属中档题
解析：()1,3-
【解析】
【分析】
先利用指数函数的单调性得2230x x --<，再解一元二次不等式即可．
【详解】
22321 ()1230132
x x x x x -->⇔--<⇔-<<． 故答案为()1,3-
【点睛】
本题考查了指数不等式和一元二次不等式的解法，属中档题．
18．【解析】【分析】发现计算可得结果【详解】因为且则故答案为-2【点睛】本题主要考查函数的性质由函数解析式计算发现是关键属于中档题 解析：2-
【解析】
【分析】
发现()()f x f x 2+-=，计算可得结果.
【详解】
因为()())()()2222
f x f x ln 1x 1ln 1x 1ln 122x x x x +-=+++++=+-+=， ()()f a f a 2∴+-=，且()f a 4=，则()f a 2-=-.
故答案为-2
【点睛】
本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现()()f x f x 2+-=是关键，属于中档题.
19．【解析】试题分析：设与直线垂直的直线方程：圆化为圆心坐标因为直线平分圆圆心在直线上所以解得故所求直线方程为考点：1直线与圆的位置关系；2直线的一般式方程与直线的垂直关系【思路点睛】本题是基础题考查直 解析：2y x =
【解析】
试题分析：设与直线20x y +=垂直的直线方程：20x y b -+=，圆
22240x y x y +--=化为()()22
125x y -+-=，圆心坐标()12，．因为直线平分圆，圆心在直线20x y b -+=上，所以21120b ⨯-⨯+=，解得0b =，故所求直线方程为2y x =．
考点：1．直线与圆的位置关系；2．直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【思路点睛】本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，直线与直线垂直的方程的设法，据此设出与已知直线垂直的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可． 20．【解析】设正方体边长为则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时可恢复为长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱 解析：92
π 【解析】
设正方体边长为a ，则226183a a =⇒= ，
外接球直径为34427923,πππ3382
R V R ===
=⨯=. 【考点】 球
【名师点睛】求多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三种方法. 21．3【解析】【分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝8即圆心（﹣1-2）半径r ＝2∴圆心到直线x+y+1＝
解析：3
【解析】
【分析】
圆方程化为标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到已知直线的距离，判断即可得到
【详解】
圆方程变形得：（x +1）2+（y +2）2＝8，即圆心（﹣1，-2），半径r ＝，
∴圆心到直线x +y +1＝0的距离d =
=，
∴r ﹣d =
则到圆上到直线x +y +1＝03个，
故答案为3.
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，解题时注意点到直线的距离公式的合理运用.
22．-
1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题
解析：-1或2
【解析】
【分析】 根据函数值的正负，由1[()]02f f a =-
<，可得()0f a >，求出()f a ，再对a 分类讨论，代入解析式，即可求解.
【详解】
当0x ≤时，()0,f x >1[()]02
f f a =-<， 411[()]lo
g (()),()22
f f a f a f a ∴==-∴=， 当410,()lo
g ,22a f a a a >==
∴=， 当10,()2,12
a a f a a ≤==
∴=-， 所以1a =-或2a =.
故答案为:1-或2.
【点睛】
本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思想，属于中档题. 23．【解析】【分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化为则解得 解析：13(,)22
【分析】
【详解】
由题意()f x 在(0,)+∞上单调递减，又()f x 是偶函数， 则不等式1(2)(2)a f f ->-可化为1(2)(2)a f f ->，则122a -<，112a -<，解得1322
a <<． 24．【解析】【分析】先找出线面角运用余弦定理进行求解【详解】连接交于点取中点连接则连接为异面直线与所成角在中同理可得异面直线与所成角的余弦值是故答案为【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角考查了空间想象 解析：3010
【解析】
【分析】
先找出线面角，运用余弦定理进行求解
【详解】
连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC ，连接1A E 1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角
在111Rt AC B 中，111AC =，1111122
C E C B == 15A E ∴= 同理可得16A
D =5D
E =222165530cos 10652A DE +-⎝
⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯, ∴异面直线1A B 与1AC 30
故答案为
10
【点睛】 本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．
25．①③【解析】由条件可得AB⊥平面PAD∴AB⊥PD 故①正确；若平面PBC⊥平面ABCD 由PB⊥BC 得PB⊥平面ABCD 从而PA∥PB 这是不可能的故②错；S△PCD＝CD·PDS△PAB＝AB·PA 由
解析：①③
【解析】
由条件可得AB ⊥平面PAD ，
∴AB ⊥PD ，故①正确；
若平面PBC ⊥平面ABCD ，由PB ⊥BC ，
得PB ⊥平面ABCD ，从而PA ∥PB ，这是不可能的，故②错；S △PCD ＝12
CD ·PD ，S △PAB ＝12
AB ·PA ， 由AB ＝CD ，PD >PA 知③正确；
由E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，
可得EF ∥CD ，又AB ∥CD ，
∴EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，④错．
三、解答题
26．
a ＜0时，不等式的解集是（1a
，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）；
1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠.
01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a
，+∞）； a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a
）∪（1，+∞）． 【解析】
【分析】
讨论a 与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集．
【详解】
当0a =时，原不等式可化为10x -+>，所以原不等式的解集为{|1}x x <.
当0a ≠时，判别式()()22141a a a ∆=+-=-.
（1）当1a =时，判别式0∆=，原不等式可化为2210x x -+>，
即()210x ->，所以原不等式的解集为{|1}x x ≠.
（2）当0a <时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，此时11a <，所以原不等式的解集为1{|
1}x x a <<.（3）当01a <<时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭， 此时11a >，所以原不等式的解集为1{|1}x x x a
或. （4）当1a >时，原不等式可化为()110x x a ⎛⎫--> ⎪⎝
⎭，此时11a <， 所以原不等式的解集为1{|1}x x x a
或. 综上，a ＜0时，不等式的解集是（
1a
，1）； a ＝0时，不等式的解集是（﹣∞，1）；
1a =时，不等式的解集为{|1}x x ≠. 01a <<时，不等式的解集是（﹣∞，1）∪（1a
，+∞）； a ＞1时，不等式的解集是（﹣∞，1a
）∪（1，+∞）． 【点睛】
本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题．
27．
(1) ． (2) ．
【解析】
【分析】
【详解】
设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x ，y ．
用（x ，y ）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即
（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．
（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A ，
则A ＝{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．
事件A 由4个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝＝．
（2）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B ，
则B ＝{（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）} 事件B 由7个基本事件组成，故所求概率P （A ）＝
．
考点：古典概型的概率计算 28．
（126+23263+ 【解析】
【分析】 （1）由正弦可得R 2sin a A
=，进而可得sin21A =，从而得A ，结合余弦定理可得B ，再由()sin sin C A B =+即可得解；
（2）由正弦定理得
sin 2sin 3a A b B ==，从而可得a b ，，结合sin C 由正弦定理可得c ，从而得解.
【详解】
（1）由正弦定理得cos 2sin a a A A
=，sin21A ∴=，又022A π<<， 22A π
∴=，则4A π
=. 由22231csin 32a c b a B +-=⋅，由余弦定理可得232cos sin 3
ac B ac B =， tan 3B ∴=0B π<<，=3B π
∴，
()26sin sin sin 434C A B ππ⎛⎫∴=+=+= ⎪⎝⎭
. （2）由正弦定理得sin 2sin 3
a A
b B ==， 又23a b -=23
a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩ 又26sin C += 22626422
2
c ∴==
22
a b c ∴++=
+. 【点睛】 解三角形的基本策略：
一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
29．
（1）*(2)10n a n n ∈=-N （2）当4n =或5n =时,n S 有最大值为20．
【解析】
【分析】
（1）将已知条件转化为1,a d 的形式列方程，由此解得1,a d ，进而求得{}n a 的通项公式. （2）根据等差数列前n 项和公式求得n S ，利用配方法，结合二次函数的性质求得n S 的最大值及对应n 的大小.
【详解】
（1）设{}n a 的公差为d ，且0d ≠．
由2219a a =，得140a d +=，
由618S =，得1532
a d +=， 于是18a =,2d =-．
所以{}n a 的通项公式为*(2)10n a n n ∈=-N ．
（2）由（1）得(1)8(2)2
n n n S n -=+⨯- 29n n =-+
2981()24
n =--+ 因为*n ∈N ，
所以当4n =或5n =时,
n S 有最大值为20．
【点睛】
本小题主要考查等差数列通项公式和前n 项和公式基本量的计算，考查等差数列前n 项和的最值的求法，属于基础题.
30．
（1）1,0a b ==；（2）4k <.
【解析】
【分析】
（1）函数()g x 的对称轴方程为1x =，开口向上，则在[]2,3上单调递增，则可根据最值列出方程，可解得,a b 的值.
(2)由题意只需()min k f x <，则只需要求出()f x 在(]2,5上的最小值，然后运用基本不等式求最值即可.
【详解】
解：（1）()g x 开口方向向上，且对称轴方程为 1x =，
()g x ∴在[]2,3上单调递增
()()()()min max
2441139614g x g a a b g x g a a b ⎧==-++=⎪∴⎨==-++=⎪⎩. 解得1a =且0b =.
（2）()0f x k ->在(]2,5x ∈上恒成立
所以只需()min k f x <.
有（1）知()
221112224222
x x f x x x x x x -+==+=-++≥=--- 当且仅当122
x x -=-，即3x =时等号成立. 4k ∴<.
【点睛】
本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式的应用，属于中档题.。