1_最新_有限单元法的基本概念和理论基础

<<结构分析中的有限单元法>>
By Xiaojun Wang
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有限元法的基本概念
单元与结点
• 单元：即原始结构离散后，满足 一定几何特性和物理特性的最小 结构域 • 结点：单元与单元间的连接点。 • 结点力：单元与单元间通过结点 的相互作用力 • 结点载荷：作用于结点上的外载 荷 注意： 1) 结点是有限元法的重要概念，有 限元模型中，相邻单元的作用通 Fy11 过结点传递，而单元边界不传递 力，这是离散结构与实际结构的 重大差别； 1 2) 结点力与结点载荷的差别
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应力
• 正应力σ
为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上 一个角码，例如，正应力 x 是作用在垂直于x轴 的面上同时也沿着x轴方向作用的。
• 剪应力τ
加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪 一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一 个坐标轴。例如，剪应力 xy是作用在垂直于x轴的 面上而沿着y轴方向作用的。
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变 形状态，一般有两种方式来描述： 1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z三个 坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴正方向 为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分 量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不 是定值，而是坐标的函数。
联立得到几何方程，表明应变分量与位移分量之间的关系。
u v w ， y ， z x y z u v v w w u ， yz ， zx y x z y x z
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应力 应力的正负
如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方 向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿 坐标轴负方向为负。 相反，如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴 的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴的负方向 为正，沿坐标轴正方向为负。
x y z T x y z xy yz zx xy yz zx
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位移及应变、几何方程、刚体位移
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有限元法的基本步骤
P
力学模型 (平面应力问题)
• 研究问题的力学建模 • 结构离散
• 单元分析
• 整体分析与求解 • 结果分析及后处理
P
有限元模型
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场问题的一般描述
简化得 剪应力互等
yz zy
xy yx， yz zy， zx xz
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平衡微分方程
考虑微元体各个面上的法向应力和剪应力与其体 力平衡，注意应力从一个面到对面是变化的，即有增 量，将作用于微元体各个方向的力求和，略去高阶项， 可得平衡方程： x xy xz X 0 x y z y yx yz Y 0 y x z z zy zx Z 0 z y x xy yx xz zx yz zy
有限元法的应用实例
某型飞机全机有限元模型图
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有限元法的基本概念
结构离散（有限元建模）
内容： 1）网格划分---即把结构按一定规则分割成有限单元 2）边界处理---即把作用于结构边界上约束和载荷处理 为结点约束和结点载荷
要求： 1）离散结构必须与原始结构保形---单元的几何特性 2）一个单元内的物理特性必须相同---单元的物理特性
2
① Y2 X2 ②
结点载荷
1 3
Fy12
Fy22
结点力
Fx22
2
①
Fx12
2
②
Fy23 Fx11
3
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Fx23
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有限元法的基本概念
非法结构离散
结点不合法 不同材料
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• 应力场----弹性力学 • 温度场----热传导

y
微分方程组
A1 ( u) A( u) A2 ( u) 0 ...
x
在 内边Biblioteka 条件 B1 (u) B (u) B2 ( u) 0 ... 在上

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有限元法的收敛准则
在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影 响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛 的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。
收敛准则： 1) 位移函数必须包括单元的刚性位移（即常量项）； 2) 位移函数必须包括常量应变（即线性项）； 3) 位移函数在单元内部必须连续（连续性条件）； 4) 位移函数应使得相邻单元间的位移协调（协调性条件）； 注： 上述四个条件称为有限元解收敛于真实解的充分条件； 前三个条件称为必要条件。满足四个条件的位移函数构成的 单元称为完备协调元；满足前三个条件的单元称为非协调元； 满足前两个条件的单元称为完备元。
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应变分量与位移分量的关系
考察了体素在XOY一个平面内的变形情况，可得 v u v u y x xy y x x y 考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
w v w w u z ， yz ， zx z z y x z
（a）三角形单元
（b）四边形单元
二维结构的有限元离散
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有限元法的基本思想
（a）四面体单元
（b）六面体单元
三维实体的有限元离散
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有限元法的基本思想
(2) 有限元法用每一个单元内所假设的近似函数来分片地表示 全求解域内待求的未知场变量。而每个单元内的近似函数由未 知函数或其导数在单元各个结点上的数值和与其对应的插值函 数来表示。由于在联结相邻单元的结点上，场函数应具有相同 的数值，因而将它们用作数值求解的基本未知量。这样一来， 求解原来待求场函数的无穷自由度问题转换为求解场函数结点 值的有限自由度问题。 (3) 有限元法是通过和原问题数学模型（基本方程、边界条件） 等效的变分原理或加权余量法，建立求解基本未知量（场函数 的结点值）的代数方程组或微分方程组。此方程组称为有限元 求解方程，并表示成规范的矩阵形式。接着用数值方法求解此 方程，从而得到问题的解答。
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应力分量
可以证明：如果 x、 y、 z、 xy、 yz、 zx 这六个量在P点 是已知的，就可以求得经过该点的任何面上的正应力和剪应 力，因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就 称为在该点的应力分量。 一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此， 描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而 是坐标x、y、z的函数。 六个应力分量的总体，可以用一个列向量来表示：
u Nue , 其中N 为形函数, ue 为结点位移
选择位移函数的一般原则： 1）位移函数在单元结点的值应等于结点位移（即单元内部 是连续的）； 2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。 注： 为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单 元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解。
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应力
弹性体内微小的平行六面体PABC，称为体素
• PA=dx, PB=dy, PC=dz
Z
Y X
• 每一个面上的应力分解 为一个正应力和两个剪 应力，分别与三个坐标 轴平行 • 正应力σ • 剪应力τ
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应力
剪应力互等定律 作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面 交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相 同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调。
dy dZ 由力矩平衡得出 2 yz dXdZ 2 zy dXdy 0 2 2
1000111000111000111112?2???11112?2?xxyyzze????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????应力应变关系物理方程3037结构分析中的有限单元法byxiaojunwang000002112???000002112???0000021xyxyyzyzzxzx???可简写为
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有限单元法 的基本概念和理论基础
王晓军 航空科学与工程学院固体力学研究所
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有限元法的基本思想
(1) 有限元法，也叫有限单元法，它的基本思想是将一个结 构或连续体的求解域离散为若干个子域（单元），并通过它 们边界上的结点相互联结成为组合体。
有限元法的基本概念
单元类型
杆单元 梁单元
单元图形
结点数 结点自由度 2 2 2 3 3 4 3 4 4 2 2 2 6 3
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典 型 单 元 类 型
平面单元
平面四边形
轴对称问题
板壳单元 四面体单元
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有限元法的基本概念
插值函数（或位移函数） 用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。 由于该近似函数常由单元结点物理量值插值构成，故称为插 值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。
• 电磁场----电磁学 • 流速场----流体力学
u为未知场函数
A, B为微分算子 Ω为体积域或面积域等 Γ 为域Ω的边界
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应力
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有两种：
表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体 与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常 分解为平行于座标轴的三个成分，用记号、、 来表示。 体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯 性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X、 Y、Z表示。 弹性体受外力以后，其内部将产生应力。
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有限元法的应用实例
某型飞机前机身Catia模型图
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有限元法的应用实例
某型飞机前机身有限元模型图
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应变
体素的变形可以分为两类： 一类是长度的变化，一类是角度的变化。 任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变 (或称正应变)，用符号 来表示。沿坐标轴的线应变，则加 上相应的角码，分别用 x、 y、 z 来表示。当线素伸长时，其 线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应 力的正负号规定相对应。 任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化 值称为角应变或剪应变，用符号 来表示。两坐标轴之间的 角应变，则加上相应的角码，分别用 xy、 yz、 zx 来表示。规 定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定 相对应(正的 xy引起正的 xy，等等)。
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有限元法的收敛准则
影响有限元解的误差： 1) 离散误差
边界上以直线代曲线导致离散化模型与实际物体的差异。
单元数目←→计算量 2) 位移函数误差
一般情况下单元位移函数不可能与实际单元的位移场一致。 3) 计算机计算误差 计算机字长的限制、相差悬殊的数值加减运算。