高二数学下学期半期考试试题 文 试题

智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹高二数学下学期半期
考试试题文
一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60分〕
1.点M的直角坐标〔，-1〕化成极坐标为〔〕
A.〔2，〕
B.〔2，〕
C.〔2，〕
D.〔2，〕
2.F1〔-1，0〕，F2〔1，0〕是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，假设△MF2N的周长为8，
那么椭圆的HY方程为〔〕
A. B. C. D.
3.抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕两点，x1+x2=3，那么AB中点到y
轴的间隔为〔〕
A.3
B.
C.
D.4
4.以下运算正确的个数为〔〕
A.
'
2
e x x x
xe e
x x
⎛⎫-
=
⎪
⎝⎭
B.〔3x〕'=3x log3e
C.
D.〔x2cos x〕'=-2x sinx
5.某箱子的容积V〔x〕与底面边长x的关系为，那么当箱子的容积最大时，箱子底面
边长为〔〕
A.30
B.40
C.50
D.以上都不正确
6.函数y=f〔x〕的导函数y=f′〔x〕的图象如下列图，那么函数y=f〔x〕的图象可能是〔〕
A. B.
C. D.
7.动点P在曲线2x2-y=0上挪动，那么点A〔0，-1〕与点P连线中点的轨迹方程是〔〕
A.y=2x2
B.y=8x2
C.2y=8x2-1
D.2y=8x2+1
8.直线l的参数方程为：〔t为参数〕，圆C的极坐标方程为，那么直线l与
圆C的位置关系为〔〕
A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定
9.函数f〔x〕=ax-ln x在区间[1，+∞〕上为减函数，那么实数a的取值范围是〔〕
A.〔-∞，-2]
B.〔-∞，0]
C.〔-∞，1]
D.[1，+∞〕
10.函数f〔x〕=ln x+ax2-2x有两个极值点，那么a的取值范围是〔〕
A.〔-∞，1〕
B.〔0，2〕
C.〔0，1〕
D.〔0，3〕
11.参数方程〔t为参数〕所表示的曲线是〔〕
A. B.
C. D.
12. 定义在R 上的函数f
〔x 〕的导函数为()f x '，()()()xf x f x f x ''+<-，f 〔2〕=，那么不等式f 〔e x
-2〕-＜0〔其中e 为自然对数的底数〕的解集为〔〕
A.〔0，ln4〕
B.〔-∞，0〕∪〔ln4，+∞〕
C.〔ln4，+∞〕
D.〔2，+∞〕 二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20分〕
13. 抛物线的准线方程是x =，那么其HY 方程是______．
14. 曲线f 〔x 〕=2x 2+1在点M 〔x 0，y 0〕处的瞬时变化率为-8，那么点M 的坐标为______． 15. M 是椭圆上的任意一点，F 1、F 2是椭圆的左、右焦点，那么|MF 1|•|MF 2|的最大值是______．
16. 双曲线
一条渐近线的倾斜角为，离心率为e ，那么的最小值为______．
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分〕
17. 〔本小题总分值是10分〕函数f 〔x 〕=x 3+ax 2+bx 〔a ，b ∈R 〕．假设函数f 〔x 〕在x =1处有极值-4．
〔1〕求f 〔x 〕的单调递减区间；
〔2〕求函数f 〔x 〕在[-1，2]上的最大值和最小值．
18. 〔本小题总分值是12分〕直线l 的参数方程为〔t 为参数〕，曲线C 的极坐标方程为
ρ=2sin 〔θ+〕，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ．
〔1〕求曲线C 的直角坐标方程； 〔2〕求
+
的值．
19. 〔本小题总分值是12分〕直线y =ax +1和抛物线y 2=4x 〔F 是抛物线的焦点〕相交于A 、B 两点．
〔Ⅰ〕务实数a 的取值范围； 〔Ⅱ〕务实数a 的值，使得0FA FB ⋅=．
20. 〔本小题总分值是12分〕曲线C 的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面
直角坐标系，直线l 的参数方程为〔t 为参数〕．
〔Ⅰ〕写出直线l 与曲线C 的直角坐标系下的方程； 〔Ⅱ〕设曲线C 经过伸缩变换得到曲线C ′设曲线C ′上任一点为M 〔x ，y 〕，求
的
取值范围．
21.〔本小题总分值是12分〕函数f〔x〕=e x-x-1〔e是自然对数的底数〕．
〔1〕求证：e x≥x+1；
〔2〕假设不等式f〔x〕＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，求正数a的取值范围．
22.〔本小题总分值是12分〕函数f〔x〕=a ln x-bx-3〔a∈R且a≠0〕
〔1〕假设a=b，求函数f〔x〕的单调区间；
〔2〕当a=1时，设g〔x〕=f〔x〕+3，假设g〔x〕有两个相异零点x1，x2，求证：ln x1+ln x2＞2．
高2021级第四学期文科数学半期试题答案
一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60分〕
23.点M的直角坐标〔，-1〕化成极坐标为〔〕
A.〔2，〕
B.〔2，〕
C.〔2，〕
D.〔2，〕
【答案】D
【解析】解：点M的直角坐标〔，-1〕，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴=ρcosθ，-1=ρsinθ，解得：ρ=2，θ=，∴极坐标为〔2，〕，应选D．
根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得极坐标．
此题考察了直角坐标化成极坐标的计算．要牢记x=ρcosθ，y=ρsinθ的关系．比较根底．
24.F1〔-1，0〕，F2〔1，0〕是椭圆的两个焦点，过F1的直线l交椭圆于M，N两点，假设△MF2N的周长为8，
那么椭圆的HY方程为〔〕
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：由题意，4a=8，∴a=2，∵F1〔-1，0〕、F2〔1，0〕是椭圆的两焦点，∴b2=3，
∴椭圆方程为：．应选：A．由题意可知△MF2N的周长为4a，从而可求a的值，进一步可求b的值，那么椭圆方程可求．
此题主要考察椭圆的定义及HY方程的求解，属于根底题．
25.抛物线y2=4x，直线l过焦点且与抛物线交于A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕两点，x1+x2=3，那么AB中点到y
轴的间隔为〔〕
A.3
B.
C.
D.4
【答案】B
【解析】解：直线l过抛物线的焦点且与抛物线y2=4x交于A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕两点，x1+x2=3，AB 中点的横坐标为：，那么AB中点到y轴的间隔为：．应选：B．
利用条件求出A、B的中点的横坐标即可．此题考察抛物线的简单性质的应用，是
4.以下运算正确的选项是〔〕 A
2'
e x e xe x x x x -=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛B 〔x 2cos x 〕'=-2x sinxC 〔3x 〕'=3x
log 3e D
【答案】A
【解析】解：B 〔x 2
cos x 〕'=2x cosx-x 2
sin x ；C 〔3x 〕'=3x
ln3； D
应该为〔lg x 〕'=
应选A ．
运用导数的求导公式对各运算检验即可．此题考察了导数的运算；熟记公式是关键． 5.某箱子的容积V 〔x 〕与底面边长x 的关系为，那么当箱子的容积最大时，箱子底面边
长为〔〕
A.30
B.40
C.50
D.以上都不正确
【答案】B
【解析】解：某箱子的容积V 〔x 〕与底面边长x 的关系为，可得x ∈〔0，60〕．V ′〔x 〕
=60x -，令60x -=0，可得x =40，当x ∈〔0，40〕时，V ′〔x 〕＞0，函数是增函数，当x ∈〔40，60〕
时，V ′〔x 〕＜0，函数是减函数，函数的最大值为：V 〔40〕=16000．此时x =40．应选：B ． 求出函数的定义域，函数的导数，利用函数的最值求解即可．
6.函数y =f 〔x 〕的导函数y =f ′〔x 〕的图象如下列图，那么函数y =f 〔x 〕的图象可能是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：由当f ′〔x 〕＜0时，函数f 〔x 〕单调递减，当f ′〔x 〕＞0时，函数f 〔x 〕单调递增，那么由导函数y =f ′〔x 〕的图象可知：f 〔x 〕先单调递减，再单调递增，然后单调递减，最后单调递增，排除A ，
C ，且第二个拐点〔即函数的极大值点〕在x 轴上的右侧，排除B ，应选D
根据导数与函数单调性的关系，当f′〔x〕＜0时，函数f〔x〕单调递减，当f′〔x〕＞0时，函数f〔x〕单调递增，根据函数图象，即可判断函数的单调性，然后根据函数极值的判断，即可判断函数极值的位置，即可求得函数y=f〔x〕的图象可能
此题考察导数的应用，考察导数与函数单调性的关系，考察函数极值的判断，考察数形结合思想，属于根底题．
此题考察函数的最值的求法、导数的应用，考察转化思想以及计算才能．
7.动点P在曲线2x2-y=0上挪动，那么点A〔0，-1〕与点P连线中点的轨迹方程是〔〕
A.y=2x2
B.y=8x2
C.2y=8x2-1
D.2y=8x2+1
【解析】解：设AP中点坐标为〔x，y〕，那么P〔2x，2y+1〕在2x2-y=0上，
即2〔2x〕2-〔2y+1〕=0，∴2y=8x2-1．应选C．
先设AP中点坐标为〔x，y〕，进而根据中点的定义可求出P点的坐标，然后代入到曲线方程中得到轨迹方程．此题主要考察轨迹方程的求法．
8.直线l的参数方程为：〔t为参数〕，圆C的极坐标方程为，那么直线l与圆C 的位置关系为〔〕
A.相切
B.相交
C.相离
D.无法确定
【答案】B
【解析】解：直线l的参数方程为：，消去t为参数可得：2x-y+1=0．
圆C的极坐标方程为，根据x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得：，
圆心为〔0，〕，半径r=．
那么：圆心到直线的间隔d=∵d，∴直线l与圆C相交．
应选B．消去t为参数可得直线l的普通方程；根据x=ρcosθ，y=ρsinθ带入可得圆C的直角坐标方程．圆心到直线的间隔与半径比较可得直角的关系．
此题主要考察了极坐标、参数方程与直角坐标方程的转换．点到直线的间隔公式．属于根底题．
9.函数f〔x〕=ax-ln x在区间[1，+∞〕上为减函数，那么实数a的取值范围是〔〕
A.〔-∞，-2]
B.〔-∞，0]
C.〔-∞，1]
D.[1，+∞〕
【答案】B
【解析】解：∵f〔x〕=ax-ln x，〔x＞0〕，∴f′〔x〕=a-，
假设函数f〔x〕=ax-ln x区间[1，+∞〕上为减函数，那么a-≤0在区间[1，+∞〕恒成立，
即a≤0，应选：B．
求出函数的导数，问题转化为a-≤0在区间[1，+∞〕恒成立，求出a的范围即可．
此题主要考察利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的性质，属于根底题．
10.函数f〔x〕=ln x+ax2-2x有两个极值点，那么a的取值范围是〔〕
A.〔-∞，1〕
B.〔0，2〕
C.〔0，1〕
D.〔0，3〕
【答案】C
【解析】解：f′〔x〕=+ax-2=，〔x＞0〕，假设函数f〔x〕=ln x+ax2-2x有两个极值点，那么方程ax2-2x+1=0有2个不相等的正实数根，∴，
解得：0＜a＜1，应选：C．
求出函数的导数，根据函数的极值的应用以及二次函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．此题考察了函数的极值问题，考察二次函数的性质，是一道中档题．
11.参数方程〔t为参数〕所表示的曲线是〔〕
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解：∵，∴x与y同号〔t=±1除外〕，
将代入消掉参数t得：x2+y2=1〔xy≥0，x≠0〕；
应选D．
根据可知x与y同号〔t=±1除外〕，将代入消掉参数t后即可判断．
此题考察圆的参数方程，易错点在于对“x与y同号〔t=±1除外〕〞的判断与应用，也是此题的难点，属于中档题．
12.定义在R上的函数f〔x〕的导函数为f'〔x〕，xf'〔x〕+f〔x〕＜-f'〔x〕，f〔2〕=，那么不等式f〔e x-2〕-＜0〔其中e为自然对数的底数〕的解集为〔〕
A.〔0，ln4〕
B.〔-∞，0〕∪〔ln4，+∞〕
C.〔ln4，+∞〕
D.〔2，+∞〕
【答案】B
【解析】解：由xf'〔x〕+f〔x〕＜-f'〔x〕，得xf'〔x〕+f〔x〕+f′〔x〕＜0，
即〔x+1〕f'〔x〕+f〔x〕＜0，设g〔x〕=〔x+1〕f〔x〕，
那么g′〔x〕=f〔x〕+〔x+1〕f'〔x〕＜0，即g〔x〕为减函数，
∵f〔2〕=，∴g〔2〕=3f〔2〕=3=1，那么不等式f〔e x-2〕-＜0等价为，
当x＞0时，e x-1＞0，那么不等式等价为〔e x-1〕f〔e x-2〕-1＜0，即〔e x-2+1〕f〔e x-2〕＜1，即g〔e x-2〕＜g〔2〕，那么e x-2＞2，那么e x＞4，那么x＞ln4，
当x＜0时，e x-1＜0，那么不等式等价为〔e x-1〕f〔e x-2〕-1＞0，即〔e x-2+1〕f〔e x-2〕＞1，即g〔e x-2〕＞g〔2〕，那么e x-2＜2，那么e x＞4，那么x＜ln4，∵x＜0，∴此时不等式的解为x＜0，综上不等式的解为x＜0或者x＞ln4，即不等式的解集为〔-∞，0〕∪〔ln4，+∞〕，
应选：B
根据条件构造函数g〔x〕=〔x+1〕f〔x〕，求函数的导数，研究函数的单调性，将不等式进展转化求解即可．此题主要考察不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系进展转化求解是解决此题的关键．，注意要对分母进展讨论．
二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20分〕
13.抛物线的准线方程是x=，那么其HY方程是______．
【答案】y2=-2x．
【解析】解：由题意可知：=，∴p=1且抛物线的HY方程的焦点在x轴的负半轴上
故可设抛物线的HY方程为：y2=-2px，将p代入可得y2=-2x，故答案为：y2=-2x．
先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的HY方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的HY形式，将p的值代入可得答案．
此题主要考察抛物线的HY方程．属根本知识的考察．
14.曲线f〔x〕=2x2+1在点M〔x0，y0〕处的瞬时变化率为-8，那么点M的坐标为______．
【答案】〔-2，9〕
【解析】解：∵y=2x2+1，∴y′=4x，令4x0=-8，那么x0=-2，∴y0=9，
∴点M的坐标是〔-2，9〕，故答案为：〔-2，9〕．
求导函数，令其值为-8，即可求得结论．
此题考察导数知识的运用，考察学生的计算才能，属于根底题．
15.M是椭圆上的任意一点，F1、F2是椭圆的左、右焦点，那么|MF1|•|MF2|的最大值是______．【答案】9
【解析】解：设M〔x0，y0〕，由题意知，，
∴|MF1|•|MF2|=〔3+〕〔3-〕=9-．∴当x0=0时，|MF1|•|MF2|有最大值9．
故答案为：9．由题意可设M〔x0，y0〕，可先求出离心率，然后根据椭圆的第二定义用x0分别表示出|MF1|和|MF2|，求出|MF1|•|MF2|的表达式，把其看为关于x0的二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值．
此题考察椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
16.双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，那么的最小值为______．【答案】
【解析】解：由题意，∴b=，∴c=2a
∴=≥=〔当且仅当a=时取等号〕
∴当a=时，的最小值为故答案为：．
根据条件，确定几何量之间的关系，再利用根本不等式，即可得到结论．
此题考察双曲线的几何性质，考察根本不等式的运用，属于中档题．
三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分〕
17.〔本小题总分值是10分〕函数f〔x〕=x3+ax2+bx〔a，b∈R〕．假设函数f〔x〕在x=1处有极值-4．〔1〕求f〔x〕的单调递减区间；
〔2〕求函数f〔x〕在[-1，2]上的最大值和最小值．
【答案】解：〔1〕f′〔x〕=3x2+2ax+b，依题意有f′〔1〕=0，f〔1〕=-4...............2分，
即得．..............3分
所以f′〔x〕=3x2+4x-7=〔3x+7〕〔x-1〕，..............4分
由f′〔x〕＜0，得，
所以函数f〔x〕的单调递减区间．..............6分
〔2〕由〔1〕知f〔x〕=x3+2x2-7x，f′〔x〕=3x2+4x-7=〔3x+7〕〔x-1〕，
令f′〔x〕=0，解得，x2=1．
f′〔x〕，f〔x〕随x的变化情况如下表：
...............................9分.
由上表知，函数f〔x〕在〔-1，1〕上单调递减，在〔1，2〕上单调递增．
故可得f〔x〕min=f〔1〕=-4，f〔x〕max=f〔-1〕=8．..............10分
【解析】此题主要考察多项式函数的导数，函数单调性的断定，函数最值，函数、方程等根底知识，考察运算求解才能、推理论证才能及分析与解决问题的才能．
〔1〕首先求出函数的导数，然后令f′〔x〕=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．
〔2〕由〔1〕求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f〔x〕在[-1，2]上的最大值和最小值．
18.〔本小题总分值是12分〕直线l的参数方程为〔t为参数〕，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin
〔θ+〕，直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．
〔1〕求曲线C的直角坐标方程；
〔2〕求+的值．
【答案】解：〔1〕利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin〔θ+〕化为
ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即〔x-1〕2+〔y-1〕2=2；..............5分
〔2〕∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，
把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程〔x-1〕2+〔y-1〕2=2中，
得t2-t-1=0，..............7分
∴；..............9分
∴+=+====．.............12分
【解析】〔1〕利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；
〔2〕把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2-t-1=0，由根与系数的关系，求出+=
的值．
此题考察了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．
19.〔本小题总分值是12分〕直线y=ax+1和抛物线y2=4x〔F是抛物线的焦点〕相交于A、B两点．
〔Ⅰ〕务实数a的取值范围；
〔Ⅱ〕务实数a的值，使得0
FA．
=
•FB
【答案】解：〔Ⅰ〕将直线方程代入双曲线方程，，
整理得：a2x2-〔4-2a〕+1=0．.............2分
由题意可知，△＞0，即〔4-2a〕2-4a2＞0，解得：a＜1，..............4分
由当a=0时直线与抛物线只有一个交点，故不成立，..............5分
实数a的取值范围〔-∞，0〕∪〔0，1〕；..............6分
〔Ⅱ〕设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，由〔Ⅰ〕可知：x1+x2=，x1•x2=，............8分
∴•=〔x1-1〕〔x2-1〕+y1y2=〔x1-1〕〔x2-1〕+〔ax1+1〕〔ax2+1〕，
=〔a2+1〕x1•x2+〔a-1〕〔x1+x2〕+2，..............9分
=〔a2+1〕+〔a-1〕+2=0，
解得：a=-3±2，..............11分
由a∈〔-∞，0〕∪〔0，1〕
所以实数a的值是-3-2或者-3+2．..............12分
【解析】〔Ⅰ〕将直线方程代入椭圆方程，由△＞0及a≠0，即可求得实数a的取值范围；
〔Ⅱ〕由以AB为直径的圆过F，那么•=0，即可求得a的值．
此题考察直线与抛物线的位置关系，考察向量数量积的坐标运算，考察计算才能，属于中档题．
20.〔本小题总分值是12分〕曲线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为〔t为参数〕．
〔Ⅰ〕写出直线l与曲线C的直角坐标系下的方程；
〔Ⅱ〕设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′设曲线C′上任一点为M〔x，y〕，求的取值范围．
【答案】解：〔Ⅰ〕直线l的普通方程x+y-2-1=0..............3分
曲线C的直角坐标方程x2+y2=4；.............5分
〔Ⅱ〕曲线C经过伸缩变换得到曲线C'的方程为，
那么点M参数方程为，..............7分
代入x+y得，x+y=•2cosθ+..............8分
=2sin.............9分
=4sin〔〕∈[-4，4]..............11分
∴x+y的取值范围是[-4，4]..............12分
【解析】〔I〕利用ρ2=x2+y2，将ρ=1转化成直角坐标方程，然后将直线的参数方程的上式化简成t=2〔x-1〕代入下式消去参数t即可；
〔II〕根据伸缩变换公式求出变换后的曲线方程，然后利用参数方程表示出曲线上任意一点，代入，根据三角函数的辅助角公式求出其范围即可．
此题主要考察了圆的极坐标方程与直线的参数方程转化成直角坐标方程，以及利用椭圆的参数方程求最值问题，属于根底题．
21.〔本小题总分值是12分〕函数f〔x〕=e x-x-1〔e是自然对数的底数〕．
〔1〕求证：e x≥x+1；
〔2〕假设不等式f〔x〕＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，求正数a的取值范围．
【答案】证明：〔1〕由题意知，要证e x≥x+1，只需证f〔x〕=e x-x-1≥0，.............1分
求导得f′〔x〕=e x-1，.............2分
当x∈〔0，+∞〕时，f′〔x〕=e x-1＞0，.
当x∈〔-∞，0〕时，f′〔x〕=e x-1＜0，.
∴f〔x〕在x∈〔0，+∞〕是增函数，在x∈〔-∞，0〕时是减函数，.............4分
即f〔x〕在x=0时取最小值f〔0〕=0，.............5分
∴f〔x〕≥f〔0〕=0，即f〔x〕=e x-x-1≥0，
∴e x≥x+1．.............6分
〔2〕不等式f〔x〕＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，即e x-x-1＞ax-1在x∈[]上恒成立，
亦即a＜在x∈[]上恒成立，.............7分
令g〔x〕=，x∈[]，............8分
以下求g〔x〕=在x∈[]上的最小值，
，.............9分
当x∈[]时，g′〔x〕＜0，
当x∈[]时，g′〔x〕＞0，
∴当x∈[]时，g〔x〕单调递减，当x∈[]时，g〔x〕单调递增，.............10分
∴g〔x〕在x=1处获得最小值为g〔1〕=e-1，.............11分
∴正数a的取值范围是〔0，e-1〕．............12分
【解析】〔1〕要证e x≥x+1，只需证f〔x〕=e x-x-1≥0，求导得f′〔x〕=e x-1，利用导数性质能证明e x≥x+1．〔2〕不等式f〔x〕＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，即a＜在x∈[]上恒成立，令g〔x〕=，x∈[]，利用导数性质求g〔x〕=在x∈[]上的最小值，由此能求出正数a的取值范围．
此题考察不等式的证明，考察正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
22.〔本小题总分值是12分〕函数f〔x〕=a ln x-bx-3〔a∈R且a≠0〕
〔1〕假设a=b，求函数f〔x〕的单调区间；
〔2〕当a=1时，设g〔x〕=f〔x〕+3，假设g〔x〕有两个相异零点x1，x2，求证：ln x1+ln x2＞2．
【答案】解：〔1〕由f〔x〕=a ln x-bx-3知f′〔x〕=，.............1分
当a＞0时，函数f〔x〕的单调增区间是〔0，1〕，单调减区间是〔1，+∞〕，........3分
当a＜0时，函数f〔x〕的单调增区间是〔1，+∞〕，单调减区间是〔0，1〕．........5分
证明：〔2〕g〔x〕=ln x-bx，设g〔x〕的两个相异零点为x1，x2，
设x1＞x2＞0，
∵g〔x1〕=0，g〔x2〕=0，
∴ln x1-bx1=0，ln x2-bx2=0，........................6分
∴ln x1-ln x2=b〔x1-x2〕，ln x1+ln x2=b〔x1+x2〕，........................7分
要证ln x1+ln x2＞2，即证b〔x1+x2〕＞2，
即＞，........................8分
即ln＞，
设t=＞1上式转化为ln t＞，t＞1．........................9分
设g〔t〕=ln t-，.......................10分
∴g′〔t〕=＞0，
∴g〔t〕在〔1，+∞〕上单调递增，........................11分
∴g〔t〕＞g〔1〕=0，
∴ln r＞，
∴ln x1+ln x2＞2．........................12分
【解析】〔1〕先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，
〔2〕设x1＞x2＞0，要证ln x1+ln x2＞2，即证b〔x1+x2〕＞2，即证ln＞，设t=＞1上式转化为ln t ＞，t＞1．够造函数g〔t〕=ln t-，根据导数和函数的最值的关系即可证明．
此题主要考察导数与单调性的关系、不等式恒成立，意在考察逻辑思维才能、等价转化才能、运算求解才能，考察转化思想与分类讨论思想、构造法的应用．。