高一数学向量的加减与数乘运算北师大版知识精讲

高一数学向量的加减与数乘运算北师大版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
①向量的概念；
②向量的加法与减法； ③数乘向量的运算 ④平面向量基本定理
二、学习目标 1、了解向量的物理学背景，从“位移”“速度”“力”等物理概念中抽象出向量的概念； 2、从代数与几何两个方面理解向量概念；了解零向量、单位向量、相等向量、相反向量等基本概念；
3、从“位移的合成”“速度的合成”“力的合成”抽象概括出向量加法运算；
4、从“位移的分解”“速度的分解”“力的分解”抽象概括出向量减法运算；
5、从“速度”的倍数概括数乘向量运算；
6、理解两个向量共线的条件和平面向量的基本定理．
三、知识要点 1、向量的概念
①向量——在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．
②有向线段——规定了起点和终点的线段（或规定了正方向的线段）称为有向线段，如有向线段AB ，A 为起点，B 为终点，正方向是从A 到B 。

③向量的表示
——几何表示：用有向线段来表示，其中，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。

——字母表示：用黑体小写字母a ，b ，c 来表示，书写用c b a ,,来表示，或用表示该向量的有向线段的字母来表示，如向量AB 。

④向量的模——|AB |，也称向量的大小、向量的长度。

⑤零向量——模为零的向量；记作0或O ；
⑥单位向量——与向量a 同向，且长度为单位1的向量，叫做a 方向上的单位向量，记作0a ；
⑦相等向量——长度相等且方向相同的向量称为相等向量，记作：b a =
⑧相反向量——与a 长度相等、方向相反的向量叫作a 的相反向量，记作：－a 。

a 和－a 互为相反向量，即－（－a ）=a ；零向量的相反向量仍是零向量。

⑨平行向量——亦称共线向量，指表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线，记作：a //b ； 规定：零向量与任一向量平行。

2、向量的加法
①向量加法的平行四边形法则——已知向量
b a ，，在平面内任取一点A ，作
b AD a AB ==,，作BC//AD ，作DC//AB ，则四边形ABCD 为平行四边形。

连接AC ，则AC
称为向量b a ，的和，记作：b a AC +=（可参照物理学中位移、力或速度的合成）
说明：两个加向量b a ，
平移至起点一致，和向量起点与之相同。

②向量加法的三角形法则——已知向量b a ，
，在平面内任取一点A ，作b a AB ==BC ,，再作向量AC ，则b a AC +=
说明：两个加向量b a ，
平移至首尾顺次连接。

③向量加法的多边形法则——仿照三角形法则，将n 个向量平移到首尾顺次连接，则从第一个向量的起点到第n 个向量的终点所形成的向量即为这n 个向量的和向量，即：
n 1n 32211o n o A A A A A A A A A A -+⋯⋯+++=
④向量加法的运算律 ——交换律：a b b a +=+ ——结合律：())(c b a c b a ++=++
3、向量的减法
①向量a 加上向量b 的相反向量，叫作a 与b 的差，即：）（b a b a -+=-；求两个向量
的差的运算叫作向量的减法。

②向量减法的平行四边形法则——已知向量
b a ，，在平面内任取一点A ，作
b AD a AB ==,，
作BC//AD ，作DC//AB ，则四边形ABCD 为平行四边形。

连接BD ，则DB 称为向量b a ，的差，记作：b a DB -=（可参照物理学中位移、力或速度的分解）。

显然，a b BD -=
说明：两个向量起点一致时，其差即为从减向量的终点指向被减向量的终点的向量。

③向量减法的三角形法则——已知向量b a ，
，在平面内任取一点A ，作b AD ,a AB ==，连接BD ，则DB 称为向量b a ，
的差，记作：b a DB -=（可参照物理学中位移、力或速度的分解）。

显然，a b BD -=
4、数乘向量
①一般地，一个实数λ与向量a 的积是一个向量，记作；a λ，它的长度为λ=λ。

它的方向：当λ>0时，a λ与a 同向；当λ<0时，a λ与a 反向；当λ=0时，a λ的方向任意；
②数乘向量的运算律
——b a b a λλλ+=+)（
——a a
λμμλ=）（ ——()a a a μλμλ+=+
5、向量共线的判定定理和性质定理
——向量共线的判定定理：a 为非零向量，若存在一个常数λ，使得a b λ=，则向量b 与非零向量a 共线。

——向量共线的性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个常数λ，使得a b λ=。

6、平面向量的基本定理——如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量a ，存在一对实数21,λλ，使得：2211e e a λλ+=。

我们把不共线的向量21,e e 叫作表示这一平面内所有向量的一组基底。

四、考点解析与典型例题 考点一向量的概念 例1、简答：
（1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？ （6）如何判断两个非零向量相等？ （7）共线向量一定在同一直线上吗？
解：（1）不一定；（2）不一定；（3）零向量；（4）零向量；（5）平行向量；（6）长度相等且方向相同；（7）不一定
考点二向量的加法与减法运算
例2、如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是AD 与BC 的中点，求证：
1
()2
EF AB DC =+．
证明：1122
EF ED DC CF AD DC CB =++=
++ 11
()22
AB BD DC CB =+++ 11
()22AB DC CB BD =+++ 11
22AB DC CD =++ 1
()2
AB DC =+
考点三数乘向量运算
例3、△ABC 中，,E AC BC //DE ,AB 3
2
AD 于交=
N DE BC AM 于边上中线且交是。

,,b AC a AB ==设用AN AM DN DE BC AE b a ,,,,,,分别表示向量.如图
解：()()
a b 3
1
DN ,a b 32DE ,a b BC ,b 32AE -=-=-==
()
()
a b 3
1
AN ,a b 21AM +=+=
考点四向量共线的充要条件
例4、在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，用向量的方法证明：DE 平行且等于
2
1
BC 。

分析：要证明DE 平行且等于
21
BC ，只要BC DE 2
1= 解：如图AB AC BC ,AD AE DE -=-= 又D ，E 为AB 、AC 的中点
AC AE AB AD 2
1,21==
∴ 即()
BC AB AC AD AE DE 21
21=-=-=
所以DE 平行且等于2
1
BC
例5、设21,e e 是不共线的向量，已知向量,e 3e CB ,e k e 2AB 2121+=+=
21e e 2CD -=，若A ，B ，D 三点共线，求k 的值。

分析：使BD AB λ=
解：214e e CB CD BD -=-=， 使BD AB λ=)4(22121e e e k e -=+∴λ 得84,2-=⇒-==k k λλ
考点五平面向量基本定理 例6、已知,32,322121
e e b e e a +=-=其中2
1e ,e 不共线，向量2192e e c -=，问是
否存在这样的实数,d ab
λμλμ
=+、使与c 共线. 分析：由平面向量基本定理可知，向量2192e e c -=是21,e e 所在平面内向量，在此平面内
存在无数与之平行的向量，这些向量既可用21,e e 作为基底来表示，也可用b a ，
作为基底来表示。

解：设存在这样的实数,d ab λμλμ=+、使与c 共线，则
则212121e )33(e )22()e 3e 2()e 3e 2(b a d λ-μ+μ+λ=+μ+-λ=μ+λ=
∵c d 与共线，则存在实数k ，使d=kc 即2121ke 9ke 2e )33(e )22(-=λ-μ+μ+λ
∴⎩
⎨⎧-=λ-μ=μ+λk 933k 222，解得μ-=λ2
∴存在实数μλ,，满足μ-=λ2时，d 与c 共线。

考点六三角形的“五心”的向量性质
设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则
（1）O 为ABC ∆的外心2
2
2
O A O B O C ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0
O A O B O C ⇔++=. （3）O 为ABC ∆的垂心O A O B O B O C O C O A ⇔⋅=⋅=⋅.
（4）O 为ABC ∆的内心0a O A b O B c O C ⇔++=.
（5）O 为ABC ∆中A ∠的旁心a O A b O B c O C
⇔=+. 例7、已知G 是△ABC 的重心，求证：0 =++GC GB GA
证明：以向量GC GB ,为邻边作平行四边形GBEC ，则GD GE GC GB 2==+，
又由
G
为△ABC
的重心知
GD AG 2=，从而GD GA 2-=，
∴022 =+-=++GD GD GC GB GA 。

五、数学思想方法
我们所学习的向量是自由向量，大小和方向是向量的两个要素，所以学习向量时要树立“平移相等”的意识；其次要深刻理解向量共线与平行是同一种关系，这一点与线段平行与共线有所区别；第三，向量的线性运算仍然是一个向量，注意作为运算结果的向量的描述（大小和方向）；第四，向量是联系数和形的重要纽带，学习中要注意数形结合的思想方法的培养和应用。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1、在ABC △中，A B c =，A C b =．若点D 满足2B D D C =，则A D =
A ．
21
33
b c + B ．5
233
c b -
C ．
2133
b c - D ．1
233
b c +
2、平面向量共线的充要条件是 A ．方向相同
B ．两向量中至少有一个为零向量
C ．存在λ∈R ，使b a λ=
D ．存在不全为零的实数1
λ
，2
λ
，12
0a b λλ+= 3、已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2O A O B O C ++=0
，那么
A ．A O O D =
B ．2A O O D
= C ．3A O O D = D ．2A OO D =
4、若O
E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是 A ．E F O F O E
=+ B ．E F O F O E
=- C ．E FO F O E =-+D ．E FO F O E =--
5、设A （a ，1），B （2，b ），C （4，5）为坐标平面上的三点，O 为坐标原点，若方向
在与→
→→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为
A.354=-b a
B.345=-b a
C.1454=+b a
D.1445=+b a 6、如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ （不
包括边界）. 若21OP b OP a OP +=，且点P 落在Ⅲ部分，则实数b a 、满足 A.0,0>>b a . B.0,0<>b a . C.0,0><b a . D.0
,0<<b a .
7、在ABC △中，已知D 是A B 边上一点，若1
23
A D D
B
C
D C A C B λ
==+，，
则λ=
A ．
B ．
C ．13
-
D ．23
-
二、填空题
8、在四面体O A B C
-中，O A O B O C D ===，，，ab c 为B C 的中点，E 为A D 的中点，则OE =（用，，a b c 表示）．
9、如图，在ABC △中，点O 是B C 的中点，过点O 的直线分别交直线A B ，A C 于不
同的两点M N ，，若A Bm A M =，A Cn A N =，则m n +的值为．
三、解答题
10、如图，已知点,,D E F 分别是ABC ∆三边,,A BB CC A 的中点，求证：0
E A
F B D C ++=．
11、如图：OADB 是一平行四边形，Ｃ是对角线交点，a OA =，b OB =，BC BM 3
1=，CD CN 3
1=，试用b a ,表示MN ON OM ,,．
12、设e 1，e 2不共线，如果=AB e 1+e 2，=BC 2（ e 1+4e 2），3=CD （e 1－e 2）． 求证：A 、Ｂ、D 三点共线。

13、（1）如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB （t ∈R ）用OA ，OB 表示OP .
（2）设O A 、O B 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()
O P t O A t O B t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.
【试题答案】
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案
A
D
A
B
A
B
A
二、填空题 8、
111244
++a b c 9、2
三、解答题
10、证明：连结,,D EE F F D ．因为,,D E F 分别是ABC ∆三边的中点，所以四边形A D E F 为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得
E D E
F E A
+=…………（1）， 同理在平行四边形B E F D 中，F D F E F B +=…………（2）， 在平行四边形CFDE 在中，D F D E D C +=…………（3） 将（1）（2） （3）相加，得
E A
F B D C E D E F F D F E D E D F
++=+++++()()()
E F F E E D D E F D D F =+++++0= 11、解：
6
2)(3
2
32656)(61)(61213131b
a OM ON MN
b a OD ON b
a b a b OB OA b BA
b BC b BM OB OM -=
-=+==
+
=-+=-+=⋅+=+=+=
12、证明：⇒=+=+=AB 5e 5e 5CD BC BD 21所以AB 、BD 方向一致，即A 、B 、D 三点共线 13、（1）解：∵AB t AP =
∴OA t OB t OA OB t OA AB t OA AP OA OP )1()(-+=-+=+=+=
（2）证明：()AB t )OA OB (t OA OB t OA t 1OA OP AP =-=-+-=-=，故A 、P 、B 三点共线。