上海宜川中学附属学校必修一第二单元《函数》检测题(有答案解析)

一、选择题
1．已知函数()1,0112,12x x x f x x +≤<⎧⎪
=⎨-≥⎪⎩
，若0a b >≥，()()f a f b =，则()bf a 的取值范
围是（ ）
A ．3
,24⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．(]1,2
D ．3,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭
2．如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x
=
在区间I 上是减函数，那
么称函数()f x 在区间I 上为“缓增函数”，区间I 为()f x 的“缓增区间”.若函数
()224f x x x =-+是区间I 上的“缓增函数”，则()f x 的“缓增区间”I 为（ ）
A ．[)1,+∞
B ．[)2,+∞
C ．[]0,1
D ．[]1,2
3．设函数()y f x =的定义域D ，若对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得
()()121f x f x ⋅=，则称函数()y f x =具有性质M .下列结论：
①函数3x y =具有性质M ； ②函数3y x x =-具有性质M ；
③若函数8log (2)y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，则510t =. 其中正确的个数是（ ） A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．已知函数f (x )满足f (x -1)=2f (x )，且x R ∈，当x ∈[-1，0)时，f (x )=-2x -2x +3，则当x ∈[1,2)时，f (x )的最大值为（ ） A ．
5
2
B ．1
C ．0
D ．-1
5．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与
2(22)f a a ++的大小关系是（ ）
A ． 2(1)(22)f f a a ->++
B ．2(1)(22)f f a a -<++
C ．2(1)(22)f f a a -≥++
D ． 2(1)(22)f f a a -≤++
6．若函数()()21225,012,1b
b x f x x x b x x -⎧-+<<⎪
=⎨⎪+-≥⎩
对于任意的实数12x x ≠，都有
()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数b 的取值范围为（ ）
A ．1,42
⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．[)4,+∞
C ．[]1,4
D ．1,2⎛⎫+∞
⎪⎝⎭
7．已知()f x 在[],x a b ∈的最大值为M ，最小值为m ，给出下列五个命题：（ ） ①若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],m -∞. ②若对任何[],x a b ∈都有()p f x ≤，则p 的取值范围是(],M -∞. ③若关于x 的方程()p f x =在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是[],m M . ④若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],m -∞. ⑤若关于x 的不等式()p f x ≤在区间[],a b 有解，则p 的取值范围是(],M -∞. A ．4
B ．3
C ．2
D ．1 8．已知53()1f x ax bx =++且(5)7,f =则(5)f -的值是（ ） A ．5-
B ．7-
C ．5
D ．7
9．已知函数()f x 的定义域为R ，(1)f x -是奇函数，(1)f x +为偶函数，当11
x -≤≤时，()131
31
x x f x +-=+，则以下各项中最小的是（ ）
A ．()2018f
B ．()2019f
C ．()2020f
D ．()2021f
10．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:
①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数， 下列判断正确的是（ ） A ．①正确②正确
B ．①错误②错误
C ．①正确②错误
D ．①错误②正确
11．已知函数()1,0,
21,0,
x x f x x x +≥⎧=⎨--<⎩若()()0a f a f a -->⎡⎤⎣⎦
，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．()2,+∞
B ．[)
(]2,00,2-
C ．(]
(),22,-∞-+∞ D ．()
()2,00,2-
12．若函数()y f x =为奇函数，且在(),0∞-上单调递增，若()20f =，则不等式()0f x >的解集为( )
A ．()()2,02,∞-⋃+
B ．()(),22,∞∞--⋃+
C ．()(),20,2∞--⋃
D ．()()2,00,2-⋃
二、填空题
13．已知实数0a ≠，函数()2,12,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的取值
范围是___________.
14．函数y x =+______．
15．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式
()0xf x <的解集是___________.
16．已知函数()1f x x x =+，()12x
g x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
.若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是______. 17．函数2
1
y ax ax =
++的定义域是R ，则a 的取值范围是_________．
18．设函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，2()()g x f x x =-，若函数()y g x =在区
间[0,)+∞上是严格增函数，则不等式2
(1)(1)2f x f x x +->+的解集为___________.
19．已知函数2262()2x ax x f x a x x
⎧-+⎪
=⎨>⎪⎩，≤，，是R 上的减函数，则a 的取值范围为
______．
20．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，若
()()21f m f m ->，则实数m 的取值范围是__________ 三、解答题
21．已知函数()21f x x
=
- （1）证明函数()f x 在()0,∞+上是减函数． （2）求函数()f x 在[)2,x ∈+∞时的值域．
22．设函数()f x 的定义域是(0,)+∞，且对任意的正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知(2)1f =，且1x >时，()0f x >． （1）求12f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值； （2）判断()y f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出你的证明；
（3）解不等式2
()(86)1f x f x >--．
23．已知函数()2
2f x mx mx n =-+ ()0m >在区间[]1,3上的最大值为5，最小值为1，
设()
()=
f x
g x x
.
（1）求
m 、n 的值；
（2）证明：函数()g x 在)+∞上是增函数；
（3）若函数F ()()2
2x
x
x g k =-⋅=0，在[]1,1x ∈-上有解，求实数k 的取值范围.
24．已知函数1
()(1)1
x x a f x a a -=>+，求：
（1）判断函数的奇偶性；
（2）证明()f x 是R 上的增函数； （3）求该函数的值域. 25．设函数1
2
ax y x +=
-. （1）当1a =时，在区间[)(]2,22,6-⋃上画出这个函数的图像；
（2）是否存在整数a ，使该函数在[4,)+∞上是严格减函数，且当4x ≥时，都有4y ≤，如果存在，求出所有符合条件的a ，若不存在，请说明理由. 26．已知2
2()2
x a
f x x -=
+.
（1）若0a =，证明：()f x 在递增，若()f x 在区间(12,1)m m --递增，求实数m 的范围；
（2）设关于x 的方程1
()f x x
=
的两个非零实根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2
121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成立？如果存在求出m 的范围，如果不存在请说明理由.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由()f x 在每一段上单调递增可知01b a ≤<≤，由()f x 每一段上的值域可知
()3,22f b ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
，进一步确定112b ≤<，由()()()1bf a bf b b b ==+，根据二次函数的
值域得到结果. 【详解】
()f x 在[)0,1和[)1,+∞上单调递增，∴由()()f a f b =得：01b a ≤<≤，
当[)0,1x ∈时，()[)1,2f x ∈；当[)1,x ∈+∞时，()3,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭
，
若()()f a f b =，则()3,22f x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即()31,22f b b ⎡⎫
=+∈⎪⎢⎣⎭
，解得：112b ≤<， ()()()2
211124bf a bf b b b b b b ⎛
⎫==+=+=+- ⎪⎝
⎭，
∴当
112b ≤<时，()3,24bf a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
. 故选：D. 【点睛】
易错点点睛：本题解题关键是能够将()bf a 转化为关于b 的函数，易错点是没有对b 的范围进行细化，造成函数值域求解错误.
2．D
解析：D 【分析】 求得
()4
2f x x x x
=+-，利用双勾函数的单调性可求出函数()f x x 的单调递减区间，并求出函数()f x 的单调递增区间，取交集可得出()f x 的“缓增区间”. 【详解】
由二次函数的基本性质可知，函数()2
24f x x x =-+的单调递增区间为[)1,+∞.
设()()4
2f x g x x x x
=
=+-，则函数()g x 在区间(]0,2上为减函数，在区间[)2,+∞上为增函数，下面来证明这一结论.
任取1x 、[
)22,x ∈+∞且12x x >，即122x x >≥，
()()()121212121244
4422g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()()()()
21121212121244x x x x x x x x x x x x ---=-+=，
122x x >≥，则120x x ->，124x x >，所以，()()12g x g x >，
所以，函数()g x 在区间[)2,+∞上为增函数，同理可证函数()g x 在区间(]
0,2上为减函数. 因此，()f x 的“缓增区间”为[)(][]1,0,21,2I =+∞=.
故选：D. 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的新定义，求解本题的关键在于理解“缓增区间”的定义，结合二次函数和双勾函数的单调性求对应函数的单调区间.
3．C
解析：C 【分析】
根据函数性质M 的定义和指数对数函数的性质，结合每个选项中具体函数的定义，即可判断. 【详解】
解：对于①：3x
y =的定义域是R ，所以1
2
12()()13x x f x f x +⋅==，则120x x +=.
对于任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=， 所以函数3x
y =具有性质M ，①正确； 对于②：函数3y x x =-的定义域为R ，
所以若取10x =，则1()0f x =，此时不存在2x R ∈，使得12()()1f x f x ⋅=，
所以函数3
y x x =-不具有性质M ，②错误；
对于③：函数8log (2)y x =+在[]0,t 上是单调增函数，其值域为[]88log 2,log (2)t +，
要使得其具有M 性质，则88
8
81log 2log (2)1log (2)log 2t t ⎧
≤⎪+⎪⎨⎪+≤
⎪⎩
，即88log 2log (2)1t ⨯+=，
解得3
(2)8t +=，510t =， 故③正确； 故选：C. 【点睛】
本题考查函数新定义问题，对数和指数的运算，主要考查运算求解能力和转换能力，属于中档题型.
4．B
解析：B 【分析】 首先设[)1,2x ∈，利用函数满足的关系式，求函数的解析式，并求最大值.
【详解】 设[)1,2x ∈
，[)21,0x -∈-，
()()()2
22222323f x x x x x ∴-=----+=-++，
()()()()211214f x f x f x f x -=--=-=⎡⎤⎣⎦， ()()()()2
211122311444
f x f x x x x ∴=
-=-++=--+， [)1,2x ∈，()f x ∴在区间[)1,2单调递减，函数的最大值是()11f =.
【点睛】
思路点睛：一般利用函数的周期，对称性求函数的解析式时，一般求什么区间的解析式，就是将变量x 设在这个区间，根据条件，转化为已知区间，再根据关系时，转化求函数
()f x 的解析式. 5．C
解析：C 【分析】
由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2
(22)f a a ++的大小即可，
而2222(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与
2(22)f a a ++大小关系.
【详解】
因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，
又22
22(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，
所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2
(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作出判断．
6．C
解析：C 【分析】
根据函数单调性的定义判断出函数()f x 为()0,∞+上的增函数，进而可得出关于实数b 的不等式组，由此可解得实数b 的取值范围. 【详解】
对任意的正实数1x 、2x ，当12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦， 不妨设12x x >，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，
则()()
120212122512b b b b b -<⎧⎪-⎪
≤⎨⎪--+≤+-⎪⎩，解得14b ≤≤. 因此，实数b 的取值范围是[]1,4. 故选：C.
思路点睛：利用分段函数的单调性求参数范围，应该各支函数在各自的区间内利用单调性以及函数在间断点处端点值的大小关系得出参数的不等式组，从而解得参数的取值范围.
7．B
解析：B 【分析】
这是一个对不等式恒成立，方程或不等式解集非空的理解，概念题．对各个选项分别加以判断，在①②中，得出①正确②错误，④⑤中得出⑤正确④错误，而不难发现③是一个真命题，由此可得正确答案. 【详解】
对任何x ∈[a ，b]都有()p f x ≤，说明p 小于等于()f x 的最小值，①是正确的; 由于①正确，所以②是一个错误的理解，故不正确;
关于x 的方程p =f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 应属于函数f (x ）在[a ，b ]上的值域[m ，M ]内，故③是正确的;
关于x 的不等式p ≤f (x ）在区间[a ，b ]上有解，说明p 小于或等于的最大值，所以④是错误的，而⑤是正确的 正确的选项应该为①③⑤ 故选： B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了命题的真假判断与应用，属于基础题．不等式或方程解集非空，只要考虑有解;而不等式恒成立说明解集是一切实数，往往要考虑函数的最值了．
8．A
解析：A 【解析】
()()53531,1f x ax bx f x ax bx =++∴-=--+，
()()()()2,552f x f x f f +-=∴+-=，()5275f -=-=-，故选A. 9．D
解析：D 【分析】
利用已知条件可知(2)()0f x f x --+=、(2)()f x f x -=，进而得到(8)()f x f x +=，即周期为8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知()2018f 、()2019f 、
()2020f 、()2021f 中最小值.
【详解】
(1)f x -是奇函数，即(1)f x -关于(0,0)对称，
()f x ∴的图象关于点(1,0)-对称，即(2)()0f x f x --+=．
又
)1(f x +为偶函数，即(1)f x +关于0x =对称，
()f x ∴的图象关于直线1x =对称，即(2)()f x f x -=．
(2)(2)0f x f x --+-=，
(2)(2)0f x f x ∴-++=，即(8)()f x f x +=，函数()y f x =的周期为8， (2018)(2)(0)1f f f ∴===，(2019)(3)(1)0f f f ==-=，
(2020)(4)(2)(0)1f f f f ==-=-=-，(2021)(5)(3)(1)2f f f f ==-=-=-，故
(2021)f 最小．
故选：D 【点睛】
本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.
10．D
解析：D 【分析】
可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案． 【详解】
①错误，可举反例：21()31x
x f x x x ⎧=⎨
-+>⎩
， 230
()30121x x g x x x x x +⎧⎪
=-+<⎨⎪>⎩
，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；
但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数； 故①错误； ②
()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数；
()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；
()f x ∴为奇函数；
同理，()g x ，()h x 均是奇函数； 故②正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．
11．D
解析：D 【分析】
按0a >和0a <分类解不等式即可得． 【详解】
[()()]0a f a f a -->，
若0a >，则()()0f a f a -->，即1[2()1]0a a +--⨯-->，解得2a <，所以
02a <<，
若0a <，则()()0f a f a --<，即21(1)0a a ----+<，解得2a >-，所以
20a -<<，
综上，不等式的解为(2,0)(0,2)-．
故选：D ． 【点睛】
本题考查解不等式，解题方法是分类讨论．掌握分类讨论的思想方法是解题关键．
12．A
解析：A 【分析】
根据题意，由奇函数的性质可得f （﹣2）=﹣f （2）=0，结合函数的单调性分析可得在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0，再结合函数的奇偶性可得在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0，综合即可得答案． 【详解】
根据题意，函数y=f （x ）为奇函数，且f （2）=0， 则f （﹣2）=﹣f （2）=0，
又由f （x ）在（﹣∞，0）上单调递增，
则在区间（﹣∞，﹣2）上，f （x ）＜0，在（﹣2，0）上，f （x ）＞0， 又由函数y=f （x ）为奇函数，
则在区间（0，2）上，f （x ）＜0，在（2，+∞）上，f （x ）＞0， 综合可得：不等式f （x ）＞0的解集（﹣2，0）∪（2，+∞）； 故选A ． 【点睛】
本题考查函数单调性奇偶性的应用，关键是掌握函数的奇偶性与单调性的定义，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】本题首先可讨论的情况此时然后根据函数的解析式求出和通过即可求出的值最后讨论的情况此时通过得出此时无解即可得出结果【详解】若则因为函数所以因为所以解得若则因为函数所以因为所以无解综上所述的取值
解析：32⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
【分析】
本题首先可讨论0a >的情况，此时11a -<、11a +>，然后根据函数()f x 的解析式求出()1f a -和()1f a +，通过()()11f a f a -=+即可求出a 的值，最后讨论0a <的情
况，此时11a ->、11a +<，通过()()11f a f a -=+得出此时a 无解，即可得出结果. 【详解】
若0a >，则11a -<，11a +>， 因为函数()2,1
2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩
，
所以1212f a
a a a ，1121f a a a
a ，
因为()()11f a f a -=+，所以21a a ，解得3
2
a =
， 若0a <，则11a ->，11a +<， 因为函数()2,1
2,1x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩
，
所以11213f a
a a a ，12123f a a a a ，
因为()()11f a f a -=+，所以1323a a ，无解，
综上所述，32a =
，a 的取值范围是32⎧⎫⎨⎬⎩⎭
, 故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
本题考查分段函数的相关问题的求解，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.
14．【分析】利用换元法将函数换元构造出新函数由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域【详解】设则所以原函数可化为：由二次函数性质当时函数取最大值2由性质可知函数无最小值所以值域为：故答案为 解析：(],2-∞
【分析】
利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域. 【详解】
设)0t t =≥，则21x t =-， 所以原函数可化为：()2
210y t t t =-++≥，
由二次函数性质，当1t =时，函数取最大值2，由性质可知函数无最小值， 所以值域为：(],2-∞. 故答案为：(],2-∞. 【点睛】
本题考查换元法求函数值域，当函数解析式中含有根式时，一般考虑换元法，用换元法时
要注意一定写出新变量数的取值范围.
15．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在-50上的图象这样根据f （x ）在上的图象便可得出xf （x ）<0的解集【详解】奇函数图象关于原点对称作出在的图象如下：由得或由图可知或的解集为【点睛 解析：[)
(]5,22,5--
【分析】
由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在[-5，0]上的图象，这样根据f （x ）在
[]5,5-上的图象便可得出xf （x ）<0的解集．
【详解】
奇函数图象关于原点对称，作出()f x 在[]5,5-的图象如下：
由()0xf x <得()00x f x <⎧⎨>⎩或()
0x f x >⎧⎨<⎩，
由图可知52x -≤<-或25x <≤，
()0xf x ∴<的解集为[)
(]5,22,5--.
【点睛】
本题考查函数奇偶性、函数图象的综合，解题关键是根据函数奇偶性作出函数图象，利用数形结合思想求解，属于中等题.
16．【分析】转化为可求得结果【详解】因为在上单调递增所以当时因为在上单调递减所以当时若使只要使即可即解得所以实数的取值范围为故答案为：【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题可按如下规则转化：
解析：3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
【分析】
转化为()()12min min f x g x ≥可求得结果. 【详解】
因为()f x 在[1,2]上单调递增， 所以当[]11,2x ∈时，()15
22
f x ≤≤
， 因为()12x
g x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
在[1,1]-上单调递减，
所以当[]21,1x ∈-时，
()21
22
m g x m -≤≤-. 若[]11,2x ∀∈，[]21,1x ∃∈-，使()()12f x g x ≥， 只要使()()12min min f x g x ≥即可. 即
122
m -≤，解得32m ≥-，
所以实数m 的取值范围为3,2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
. 故答案为：3,2⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
.
【点睛】
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[]
,,y g x x c d =∈ （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()2max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()2min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的
子集 ．
17．【分析】根据函数的解析式可知当定义域为时说明在上恒成立则对进行分类讨论确定满足条件的的范围【详解】由题意可得在上恒成立①当时则恒成立符合题意；②当时则解得综上可得∴实数的取值范围为故答案为：【点睛】 解析：[)0,4
【分析】
根据函数的解析式，可知当定义域为R 时，说明210ax ax ++>在R 上恒成立，则对a 进行分类讨论，确定满足条件的a 的范围. 【详解】
由题意可得210ax ax ++>在R 上恒成立． ①当0a =时，则10>恒成立，
0a ∴=符合题意； ②当0a ≠时，
则2040a a a >⎧⎨-<⎩
，解得04a <<．
综上可得04a ≤<，
∴实数a 的取值范围为[)0,4．
故答案为：[)0,4. 【点睛】
不等式20ax bx c ++>的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当0a ＝时，00b c >＝，；
当0a ≠时，0
0a >⎧⎨∆<⎩； 不等式20ax bx c ++<的解是全体实数(或恒成立)的条件是当0
a ＝时，00
b
c <＝，；当0a ≠时，0
0a <⎧⎨∆<⎩
．
18．【分析】根据题意分析可得为偶函数进而分析可得结合函数的奇偶性与单调性分析可得解可得的取值范围即可得答案【详解】解：根据题意且是定义在上的偶函数则则函数为偶函数又由为偶函数且在区间上是严格增函数则解可 解析：(,2)(0,)-∞-+∞
【分析】
根据题意，分析可得()g x 为偶函数，
进而分析可得()(1)1f x f +-()22
2(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，
结合函数的奇偶性与单调性分析可得|1|1x +>，解可得x 的取值范围，即可得答案． 【详解】
解：根据题意，2
()()g x f x x =-，且()f x 是定义在R 上的偶函数，
则22()()()()()g x f x x f x x g x -=---=-=，则函数()g x 为偶函数， ()(1)1f x f +-()222(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，
又由()g x 为偶函数且在区间[0,)+∞上是严格增函数，则|1|1x +>， 解可得：2x <-或0x >， 即x 的取值范围为：(,2)(0,)-∞-+∞；
故答案为：(,2)(0,)-∞-+∞．
【点睛】
关键点睛：解题关键在于，把题目通过转化化归思想，
转化为：()(1)1f x f +-()22
2(1)(1)11x x f x x f >+⇒+-+>-()(1)1g x g ⇒+>，进而分
析，难度属于中档题
19．2【分析】由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求【详解】解；是上的减函数解可得故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性的应用二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键
解析：[2，209
] 【分析】
由已知利用分段函数的性质及二次函数与反比例函数的单调性可求． 【详解】
解；
226,2(),2x ax x f x a x x
⎧-+⎪=⎨>⎪⎩是R 上的减函数，
∴20446
2a a a a ⎧⎪⎪
>⎨⎪⎪-+⎩
， 解可得，2029
a
． 故答案为：202,9⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题主要考查了分段函数的单调性的应用，二次函数及反比例函数性质的应用是求解问题的关键，属于中档题．
20．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化即可得到结论【详解】解：是定义在上的偶函数且在上是减函数不等式等价为即所以即即解得即故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解根据函数奇偶性和
解析：1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论． 【详解】 解：
()f x 是定义在R 上的偶函数，且()f x 在[)0,+∞上是减函数，
∴不等式()()21f m f m ->，等价为()()21f m f m ->，即21m m -<，
所以()2
221m m -<，即()2
2210m m --<，即()()3110m m --<，解得
1
13
m << 即1,13m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
故答案为：1,13⎛⎫
⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行等价转化是解决本题的关键，属于中档题．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）(]1,0-.
【分析】
（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <，然后怍差
()()()
211212
2x x f x f x x x --=
判断其符号即可. （2）根据（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数，由2x =取得最大值，再由2
0x
>确定值域. 【详解】
（1）在()0,∞+上任意取两个实数1x ，2x ，且12x x <， 则有()()()21121212
222
11x x f x f x x x x x --=
--+=， 又因为120x x <<，所以210x x ->，120x x >， 所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >， 所以()f x 在()0,∞+上是减函数．
（2）由（1）知()f x 在[)2,+∞上是减函数， 所以当2x =时()max 0f x =， 又因为
20x
>，所以2
11x ->-，
所以函数()f x 在()0,∞+上的值域为(]1,0-． 【点睛】
方法点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
22．（1）1-； （2）函数单调递增，证明见解析； （3）3
{|14
x x <<或3}x >. 【分析】
（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；
（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可； （3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解. 【详解】
（1）由题意，函数()f x 对任意的正实数x ，y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立， 令1x y ==，可得(1)(1)(1)f f f =+，所以()10f =，
令12,2x y ==
，可得1(1)(2)()2f f f =+，即11()02f +=，解得1
()12
f =-. （2）函数()f x 为增函数，证明如下： 设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <， 令211,x x x y x ==
，根据题意，可得2
121()()()x f x f f x x +=，即221
1
()()()x f x f x f x -=， 又由1x >时，()0f x >，
因为2
11x x >，可得21
()0x f x >，即21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >， 所以函数()y f x =在(0,)+∞上的单调性.
（3）由题意和（1）可得1
1(86)1(86)()[(86)](43)22
f x f x f f x f x --=-+=-=-， 又由不等式2
()(86)1f x f x >--，即2
()(43)f x f x >-，
可得243430
x x x ⎧>-⎨->⎩，解得314x <<或3x >，
即不等式2
()(86)1f x f x >--的解集为3
{|14
x x <<或3}x >. 【点睛】
求解函数有关的不等式的方法及策略： 解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，
具体步骤：①将函数不等式转化为12()()f x f x >的形式；②根据函数()f x 的单调性去掉对应法则“f ”转化为形如：“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解.
利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解. 23．（1）12
m n =⎧⎨=⎩；（2）证明见解析；（3）1
[5]2，. 【分析】
（1）二次函数()f x 的对称轴为1x =，得到()f x 为[]13，
上的增函数， 从而得()()
11335f n m f m n ⎧=-=⎪
⎨
=+=⎪⎩，解得12m n =⎧⎨
=⎩ 得解
（2）()()2
2f x g x x x x
==+-，设任意的12)x x ∈+∞，
且12x x <，用单调性的定义证明即可.
（3）分离变量得2112(
)2()122x x k -=+，令 1()2
x t =，换元得211
2()22k t =-+
利用函数在1[2]2
，
上单调递增，求得函数最大小值得解 【详解】
（1）因为0m >，二次函数()f x 的对称轴为1x =， 所()f x 为
[]13，
上的增函数， 从而得()()11335
f n m f m n ⎧=-=⎪⎨=+=⎪⎩，解得12m n =⎧⎨=⎩，所以()2
22f x x x =-+
（2）()()2
2f x g x x x x
=
=+-，
设任意的12)x x ∈+∞，且12x x <， 则()()221211
22
(2)(2)g x g x x x x x -=+
--+- ()21x x =-+2122(
)x x -=()21122(1)x x x x --=()()211212
2x x x x x x --
12211202x x x x x x ≤∴-<>>，，
所以()()1221200x x g x g x ->->，， ()()12g x g x ∴> 所以g ()2
x x x
=+
—2
为)+∞上的增函数. （3）因为函数(20)()2x x
F x g k =-⋅=， 在[]11x ∈-，上能成立
即222202
x
x
x
k +
--⋅= 在[]11x ∈-，有解 整理得2112(
)2()122
x x k -=+ 令 1()2
x
t =，
因为[]1
11[2]2
x t ∈-∴∈，，
， 221122(2221)k t t t =--++=在1
[2]2，上单调递增，
12t ∴=，时min 1
2k =，2,t =时max 5k =，
所以k 的取值范围为1[5]2
，
【点睛】
利用函数的单调性求解函数最值的步骤： (1)判断或证明函数的单调性；
(2)计算端点处的函数值； (3)确定最大值和最小值．
24．（1）奇函数；（2）证明见解析；（3）()1,1-. 【分析】
（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性； （2）结合单调性的定义可证明()f x 是R 上的增函数； （3）根据指数函数的性质即可求该函数的值域. 【详解】
解：（1）函数的定义域为R ，则111
()()111
x x x x x
x a a a f x f x a a a ------===-=-+++， 则函数()f x 是奇函数；
（2）1122
()1111
x x x x x
a a f x a a a -+-===-+++，1a >，x y a ∴=是增函数，设12x x <，
则()()()()()
1212212
1122222211111111x x x x x x x x a a f x f x a a a a a a -⎛
⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭， 因为120x x a a <<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 即2
()11
x
f x a =-+为增函数，即()f x 是R 上的增函数； （3）
1122
()1111
x x x x x
a a f x a a a -+-===-+++，1a >， 11x a ∴+>，则1011x a <
<+，所以2
021x a <<+，即
2201
x a -<-<+， 所以2
1111
x a -<-<+，即11y -<<，故函数的值域为(1,1)-. 【点睛】 方法点睛：
高一阶段求函数的单调性常用的思路有：一、紧扣单调性的定义；二、画出函数的图象，结合图象进行求解；三、结合函数单调性的性质，如增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. 25．（1）答案见解析；（2）存在0a =或1． 【分析】
（1）直接作出图象即可；
（2）利用分离常数的方法结合反比例函数的单调性得出a 的范围，化简4y ≤将恒成立问题转化为求最值得出a 的范围，再由a 是整数求值即可． 【详解】
（1）当1a =时，1233
=1222
x x y x x x +-+=
=+---
（2）存在0a =或1符合题意．
()212112=222
a x a ax a
y a x x x -++++=
=+
--- 函数在[4,)+∞上是严格减函数，则120a +>，解得1
2
a >-
当4x ≥时，都有1
24ax y x =-≤+，等价于49ax x ≤-，即min 94a x ⎛⎫≤- ⎪⎝
⎭
又94y x =-
在[)4,+∞上单调递增，则97
444
a ≤-= 故a 的取值范围是17
24
a -<≤，a 为整数，则符合条件的a 有0,1． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的图象，考查函数单调性的应用，以及函数的恒成立问题，解决本题的关键是将当4x ≥时，都有4y ≤进行去分母化简，并分离参变量，将不等式恒成立转化为函数的最值问题，结合反比例函数的单调性求出参数的范围，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 26．（1）证明见解析；212
3m +<≤
2）存在；2m ≥或2m ≤-. 【分析】
（1）运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤，可得f （x ）在
2)递增，由奇函数的性质推得f （x ）在(2,2)递增，可得m 的不等式组，解得
m 的范围；
（2）运用韦达定理和配方，可得|x 1﹣x 2|的最大值，再由m 2+tm ﹣2≥0对任意t ∈[﹣1，1]恒成立，设g （t ）＝m 2+tm ﹣2＝tm +m 2﹣2，由一次函数的单调性可得m 的不等式组，解不等式可得所求范围． 【详解】
（1）当0a =时，任取12,2)x x ∈，12x x <，
则
()()()()()()()()()()2212212112121222222212212122222222222222x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭
，
12x x <∈()()211220x x x x ∴--<，()()120f x f x ∴-<，即()f x
在递增；
∵()f x 为R 上的奇函数，∴()f x
在(递增，
又∵()f x 在区间(12,1)m m --
递增，则121121m m m m ⎧≤-⎪⎪-≤⎨⎪-<-⎪⎩
，解得2132m +<≤ （2）由2212x a x x
-=+，得220x ax --=，此时280a ∆=+>恒成立，由于1x ，2x 是方程220x ax --=的两实根，
所以12122x x a x x +=⎧⎨=-⎩，从而
12x x -==11a -≤≤，
123x x ∴-=，不等式2121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成
立，
当且仅当213m tm ++≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，即220m tm +-≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，
设22
()22g t m tm tm m =+-=+-，则()0g t ≥对任意[1,1]t ∈-恒成立， (1)0(1)0g g ≥⎧∴⎨-≥⎩，即222020m m m m ⎧+-≥⎨-+-≥⎩
，解得2m ≥或2m ≤-. 【点睛】
方法点睛：证明函数的单调性.
定义法：在定义域内任意取值、作差和变形、定符号和下结论；
导数法：给函数求导，在定义域内判断导数的正负，若导数为正，则函数递增，若导数为负，则函数递减.。