高考数学模拟试卷复习试题课时提升作业十七抛物线方程及性质的应用

高考数学模拟试卷复习试题课时提升作业(十七)抛物线方程及性质的应用
(25分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.抛物线y=x2的焦点关于直线xy1=0的对称点的坐标是()
A.(2,1)
B.(1,1)
C. D.
【解析】选A.y=x2⇒x2=4y,焦点为(0,1),其关于xy1=0的对称点为(2,1).
2.(·全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,点A,B是C的准线与E的两个交点,则=()
A.3
B.6
C.9
D.12
【解析】选B.设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),右焦点为(c,0),依题意得解得a=4,由b2=a2c2=164=12,所以椭圆E的方程为+=1,因为抛物线C:y2=8x的准线为x=2,将x=2代入到+=1,解得A(2,3),B(2,3),故=6.
3.已知抛物线C:x2=y,过点A(0,1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()
A.(∞,1)∪(1,+∞)
B.∪
C.(∞,2)∪(2,+∞)
D.(∞,)∪(,+∞)
【解析】选D.显然t≠0,直线AB的方程为y=x1,代入抛物线方程得2tx24x+t=0.
由题意Δ=168t2<0,解得t<或t>.
【补偿训练】设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则直线斜率的取值范围是()
A. B.[2,2]
C.[1,1]
D.[4,4]
【解析】选C.准线x=2,Q(2,0),设y=k(x+2),
由得k2x2+4(k22)x+4k2=0,
当k=0时,x=0,即交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,
1≤k<0或0<k≤1,综上所述,k的取值范围是[1,1].
4.(·黄冈高二检测)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过点F且斜率为的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是()
A.4
B.3
C.4
D.8
【解析】选C.由抛物线的定义知AF=AK,
又∠KAF=60°,所以△AFK是正三角形.
联立方程组
消去y得3x210x+3=0,
解得x=3或x=.由题意得A(3,2),
所以△AKF的边长为4,面积为×4×2=4.
5.(·成都高二检测)将两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n,则()
A.n=0
B.n=1
C.n=2
D.n≥3
【解题指南】借助抛物线及正三角形的对称性求解本题,注意数形结合.
【解析】选C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线倾斜角分别为30°和150°,如图,所以正三角形的个数n=2.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.沿直线y=2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为(抛物线的光学性质:从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平行).
【解析】由直线y=2平行于抛物线的对称轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=2.
答案:x=2
7.直线y=x1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是.
【解析】设直线y=x1与抛物线y2=4x交于A(x1,y1),
B(x2,y2),其中点为P(x0,y0),
由题意得
消去y,整理得(x1)2=4x,即x26x+1=0.
所以x0==3,y0=x01=2.所以P(3,2).
答案:(3,2)
【一题多解】=4x2,=4x1,=4x24x1,=4.
所以y1+y2=4,即y0=2,因此x0=y0+1=3.故中点为P(3,2).
答案:(3,2)
8.(·吉林高二检测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与抛物线的一个交点为B,若=,则p=.
【解析】由题知准线l为x=(p>0),
过点M且斜率为的直线为y=(x1),
则A,
设B(x,0),由=可知
M为AB的中点,又M(1,0),
所以
即
代入y2=2px可知,
p2+4p12=0,
即p=2或p=6(舍去).
答案:2
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图,直线l:y=x+b与抛物线C:x2=4y相切于点A.
(1)求实数b的值.
(2)求以点A为圆心,且与抛物线C的准线相切的圆的方程.
【解题指南】利用直线l与抛物线C相切,联立方程,由Δ=0求实数b的值;由直线与圆相切求圆的方程.
【解析】(1)由得x24x4b=0.(*)
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ=(4)24×(4b)=0.
解得b=1.
(2)由(1)可知b=1,故方程(*)为x24x+4=0.
解得x=2,代入x2=4y,得y=1,
故点A(2,1).
因为圆A与抛物线C的准线相切,
所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y=1的距离,
即r=|1(1)|=2,
所以圆A的方程为(x2)2+(y1)2=4.
10.(·济南高二检测)如图,已知点P(3,0),点Q在x轴上,点A在y轴上,且·=0,=2.当点A在y轴上移动时,求动点M的轨迹方程.
【解题指南】设出点M的坐标,利用·=0,=2,求动点M的轨迹方程.
【解析】设动点M(x,y),A(0,b),Q(a,0),
因为P(3,0),
所以=(3,b),=(a,b),=(xa,y),
因为·=0,
所以(3,b)·(a,b)=0,即3ab2=0.①
因为=2,
所以(xa,y)=2(a,b),即x=3a,y=2b.②
由①②得y2=4x.
所以动点M的轨迹方程为y2=4x.
【补偿训练】若动点P在y=2x2+1上移动,求点P与Q(0,1)连线中点的轨迹方程.
【解析】设PQ中点为M(x,y),P(x0,y0),
则所以
又因为y0=2+1,所以2y+1=8x2+1.
即y=4x2为所求的轨迹方程.
(20分钟40分)
一、选择题(每小题5分,共10分)
1.(·辽宁高考)已知点A(2,3)在抛物线C:y2=2px的准线上,过点A的直线与C在第一象限相切于点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为()
A. B. C. D.
【解题指南】由直线与C相切求B点的坐标,由斜率公式求直线BF的斜率.
【解析】选D.因为抛物线C:y2=2px的准线为x=,且点A(2,3)在准线上,所以p=4.设直线AB的
方程为x+2=m(y3),与抛物线方程y2=8x联立得到y28my+24m+16=0,由题易知Δ=0,解得m=(舍)
或m=2,这时B点的坐标为(8,8),而焦点F的坐标为(2,0),故直线BF的斜率kBF==.
2.(·四川高考)已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两
侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是()
A.2
B.3
C.
D.
【解析】选B.由题意可知,F.设A(,y1),B(,y2),
所以·=y1y2+=2,
解得y1y2=1或y1y2=2.又因为A,B两点位于x轴两侧,所以y1y2<0,即y1y2=2.
当≠时,AB所在直线方程为yy1=(x)=(x),
令y=0,得x=y1y2=2,即直线AB过定点C(2,0).
于是S△ABO+S△AFO=S△ACO+S△BCO+S△AFO=×2|y1|+×2|y2|+×|y1|=×(9|y1|+8|y2|)≥×2 =3,当且仅当9|y1|=8|y2|且y1y2=2时,等号成立.当=时,取y1=,y2=,则AB所在直线的方程为x=2,此时求得
S△ABO+S△AFO=2××2×+××=.而>3,故最小值为3.
【误区警示】本题在求解时常因忽略条件“点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧”导致解题错误.
二、填空题(每小题5分,共10分)
3.平面上有三个点A(2,y),B,C(x,y),若AB⊥BC,则动点C的轨迹方程为.
【解析】=(2,y)=,=(x,y)=.因为AB⊥BC,所以·=0,
所以·=0,即y2=8x.所以动点C的轨迹方程为y2=8x.
答案:y2=8x
4.(·漳州高二检测)已知过抛物线y2=4x焦点的一条弦AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB所在直线与y轴的
交点坐标为(0,2),则+=.
【解析】弦AB是过焦点F(1,0)的弦,又过点(0,2),
所以其方程为x+=1,
2x+y2=0与y2=4x联立得
y2+2y4=0,y1+y2=2,y1y2=4,
+===.
答案:
【补偿训练】线段AB是抛物线y2=x的一条焦点弦,且|AB|=4,则线段AB的中点C到直线x+=0的距离是.
【解析】线段AB的中点C到准线x=的距离为|AB|长的一半,则中点C到直线x+=0的距离为.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
5.如图,过抛物线y2=x上一点A(4,2)作倾斜角互补的两条直线AB,AC,交抛物线于B,C两点,求证:直线BC的斜率是定值.
【证明】设kAB=k(k≠0),
因为直线AB,AC的倾斜角互补,
所以kAC=k(k≠0),
AB的方程是y=k(x4)+2.
由方程组
消去y后,整理得
k2x2+(8k2+4k1)x+16k216k+4=0.
因为A(4,2),B(xB,yB)的横坐标是上述方程的解,
所以4·xB=,
即xB=.
以k代换xB中的k,得xC=,
所以kBC==
===.
所以直线BC的斜率是定值.
【补偿训练】如图,已知△AOB的一个顶点为抛物线y2=2x的顶点O,A,B两点都在抛物线上,且∠AOB=90°.
(1)证明直线AB必过一定点.
(2)求△AOB面积的最小值.
【解析】(1)设OA所在直线的方程为y=kx(k≠0),则直线OB的方程为y=x,
由解得或
即A点的坐标为.
同理由
解得B点的坐标为(2k2,2k).
所以AB所在直线的方程为y+2k=(x2k2),
化简并整理,得y=x2.
不论实数k取任何不等于0的实数,当x=2时,恒有y=0.
故直线过定点P(2,0).
(2)由于AB所在直线过定点P(2,0),所以可设AB所在直线的方程为x=my+2.
由消去x并整理得y22my4=0.
所以y1+y2=2m,y1y2=4.
于是|y1y2|====2.
S△AOB=×|OP|×(|y1|+|y2|)
=|OP|·|y1y2|=×2×2=2.
所以当m=0时,△AOB的面积取得最小值为4.
6.(·安徽高考)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),过原点O的两条直线l1和l2,l1与E1,E2分别交于A1,A2两点,l2与E1,E2分别交于B1,B2两点.
(1)证明:A1B1∥A2B2.
(2)过原点O作直线l(异于l1,l2)与E1,E2分别交于C1,C2两点.记△A1B1C1与△A2B2C2的面积
分别为S1与S2,求的值.
【解题指南】(1)设出两条直线的方程,联立抛物线方程,求出点A1,A2,B1,B2的坐标,利用向量证明平行关系.
(2)利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解.
【解析】(1)设直线l1,l2的方程分别为y=k1x,y=k2x(k1,k2≠0),
则由⇒A1,
由⇒A2,
同理可得B1,B2,
所以=
=2p1,
=
=2p2,
故=,所以A1B1∥A2B2.
(2)由(1)知A1B1∥A2B2,同理可得B1C1∥B2C2,A1C1∥A2C2,所以△A1B1C1相似于
△A2B2C2,
因此=,又由(1)中的=知=,故=.
高考理科数学试卷普通高等学校招生全国统一考试
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =
（A ）{1}（B ）{1
2}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， （2）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是
（A ）(31)
-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， （3）已知向量(1,)(3,2)m =-，=a b ，且()⊥a +b b ，则m=
（A ）－8（B ）－6 （C ）6 （D ）8
（4）圆
2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= （A ）43-（B ）34-（C ）3（D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（A ）24 （B ）18
（C ）12 （D ）9
（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A ）20π（B ）24π（C ）28π（D ）32π
（7）若将函数y=2sin 2x 的图像向左平移π12
个单位长度，则评议后图象的对称轴为 （A ）x=kπ2–π6 (k ∈Z) （B ）x=kπ2+π6 (k ∈Z) （C ）x=kπ2–π12 (k ∈Z) （D ）x=kπ2+π12
(k ∈Z) （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图， 若输入的x=2，n=2，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s=
（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34
（9）若cos(π4–α)=35
，则sin 2α= （A ）725（B ）15（C ）–15（D ）–725
（10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有
m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率
π的近似值为
（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m
n （11）已知F1，F2是双曲线E 22
221x y a b
-=的左，右焦点，点M 在E 上，M F1与x 轴垂直，sin 2113
MF F ∠=,则E 的离心率为 （A
B ）32
（C
D ）2 （12）已知函数学.科网()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x
+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1
()m
i i i x y =+=∑
（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分
(13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos A=45，cos C=513
，a=1，则b=. (14)α、β是两个平面，m 、n 是两条直线，有下列四个命题：
（1）如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β.
（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n.
（3）如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β. （4）如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
（15）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3。

甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是。

（16）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+2）的切线，则b=。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本题满分12分）
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7=128.n a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，.
（I ）求111101b b b ，，；
（II ）求数列{}n b 的前1 000项和.
18.（本题满分12分）
某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下： 上年度出险次数
0 1 2 3 4 ≥5
保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 一年内出险次数
0 1 2 3 4 ≥5
概率
0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 （I ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（II ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；
（III ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19.（本小题满分12分） 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=54，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D EF '的位置，10OD '=
（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；
（II ）求二面角B D A C '--的正弦值.
20. （本小题满分12分）
已知椭圆E:22
13
x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E 于A,M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA.
（I ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积；
（II ）当2AM AN =时，求k 的取值范围.
（21）（本小题满分12分）
(I)讨论函数x x 2f (x)x 2
-=+e 的单调性，并证明当x >0时，(2)20;x x e x -++> (II)证明：当[0,1)a ∈时，函数2
x =(0)x e ax a g x x -->（）有最小值.设g （x ）的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
（22）（本小题满分10分）选修41：集合证明选讲
如图，在正方形ABCD ，E,G 分别在边DA,DC 上（不与端点重合），且DE=DG ，过D 点作DF ⊥CE ，垂足为F.
(I) 证明：B,C,E,F 四点共圆；
(II)若AB=1，E 为DA 的中点，求四边形BCGF 的面积.
（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直线坐标系xoy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25.
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是（t为参数）,l与C交于A、B两点，∣AB∣=，求l的斜率。

（24）（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲
已知函数f(x)= ∣x∣+∣x+∣，M为不等式f(x)＜2的解集.
（I）求M；
（II）证明：当a,b∈M时，∣a+b∣＜∣1+ab∣。